Неевклидова геометрия (Н. И. Лобачевский, Я. Больяй)

3. Гаусс, Лобачевский и Янош Больяй


В Геттингене, укрывшись от людей в астрономической башне, живет
равнодушный ко всему, кроме своих формул, «король математиков» Гаусс. Этому
«королю» нет никакого дела до «подданных». Он не читает лекций, не несет
никаких административных обязанностей. Больше всего он ценит покой. Револю-
ции, войны, крушения империй... Время проносится под куполом башни. Старый
Гаусс ведет размеренный образ жизни. Он исключил из обихода все, что может
волновать человека. Политике вход в обсерваторию строго воспрещен. Даже в
письмах. Но от людских страстей трудно спрятаться. Башня с куполом напоминает
осажденную крепость. И математики, и дилетанты, и просто приезжие иностранцы
— каждый стремится засвидетельствовать свое почтение «королю». Особенно
много приходит писем. Гаусс их никогда не читает. Он дорожит временем. И начи-
нающие и маститые математики, геодезисты, физики присылают ему на отзыв
свои работы. Гаусс, не распечатывая, отсылает их обратно. «Колоссу» все-таки
следовало бы быть повнимательнее к людям. Не оттолкнул ли ты будущего гения,
которого лишь ты один во всем мире мог поддержать? Но разве то, чего достиг
Гаусс, не вершина человеческой мысли? Он создал теорию чисел и навсегда
определил все ее дальнейшее развитие; он разработал теорию поверхностей,
ввел понятие о полной кривизне и теорему о том, что полная кривизна не
изменяется при изгибании поверхности; он доказал основную теорему алгебры;
он... Впрочем, все сделанное им трудно охватить разумом. Он «король
математики» — «принцепс математикорум», а не «король математиков», как его
иногда называют. Его упрекают в равнодушии к ученикам. Только ли к ученикам?
Он так же равнодушен и к своей особе: он, например, не может перечислить свои
собственные чины и награды. У «короля математики» имеется возлюбленная:
«царица математики», как он ее называет, — теория чисел.
Но у него есть свое честолюбие: быть всегда первооткрывателем! Вот
почему он возвращает работы, не распечатывая, не давая отзывов. Ведь может
случиться и так: то, над чем сейчас трудится Гаусс, уже открыто другим. И вот тот,
другой, вправе будет обвинить Гаусса в плагиате. Сколько раз ему приходилось
бросать уже начатое дело! Однажды старый приятель Шумахер подсунул статью
Якоби. Результаты Я«оби оказались совершенно верны, но вся беда в том, что
они вытекали из результатов, ранее полученных самим Гауссом. «Колосс»
обругал Шумахера и запретил присылать на отзыв чужие мемуары. «Результаты
Якоби представляют часть моей собственной большой работы, которую я
собираюсь когда-нибудь издать... Вот почему я бы не хотел дать повод обвинить
меня в том, что я воспользовался для своей работы сведениями, полученными
частным образом». Успехи младших братьев не радовали «колосса». В
математике он был законченным эгоистом. Потом появился гениальный
норвежский математик, совсем еще мальчик, Абель. Ему-то, больному, почти
нищему, особенно нужна была поддержка Гаусса. Но Абель, оказывается, решил
проблему, над которой просиживал ночи Гаусс. «Поскольку Абель продемон-
стрировал такую проницательность и такое изящество в вопросах изложения, я
5
чувствую, что могу совершенно отказаться от опубликования полученных мной
результатов». Так и не дождавшись поддержки со стороны «геттингенского
колосса», Абель умер от чахотки на двадцать седьмом году жизни, И только после
Гаусс мог сказать:
—.Это большая потеря для науки. Если где-нибудь будет опубликована
биография этого в высшей степени замечательного человека, дайте мне знать.
Мне также хотелось бы иметь портрет Абеля. В свое время я говорил о нем с
Гумбольдтом, который очень хотел пригласить его в Берлин.
Больше всего раздосадовали затворника Гаусса письма давнего друга —
венгерского математика Фаркаша Больяй. Было время, когда здесь, в Геттингене,
студенты Фаркаш и Гаусс принесли взаимную клятву в вечной дружбе; вместе
пытались доказать пятый постулат Эвклида. Потом Фаркащ вернулся в Венгрию,
женился. А когда подрос его сын Янош, решил потревожить Гаусса. На первое
письмо венгра Гаусс не ответил. Отец и сын — Фаркаш и Янош — рассчитывали
на помощь «геттингенского колосса», мечтали о том, чтобы высокоодаренный
Янош продолжил свое образование под руководством Гаусса. «Колосс» не
пожелал отвечать и :на второе письмо: ему вовсе не хотелось возиться с сыном
человека, которого он успел забыть. Пришлось Яношу податься в военно-
инженерную академию. Потом младшего лейтенанта Яноша Больяя
командировали в небольшую крепость, где он от жестокой скуки занялся теорией
параллельных линий. Он задумал доказать пятый постулат и посрамить
математика-отца, который всю жизнь бился над этой проблемой. Когда Фаркаш
узнал об увлечении сына теорией параллельных, он пришел в отчаяние. «Молю
тебя, не делай только и ты попыток одолеть теорию параллельных линий; ты за-
тратишь на это все свое время, а предложения этого вы не докажете все вместе.
Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем способом, который ты
сообщаешь мне, ни каким-либо другим, — писал Фаркаш сыну. — Я изучил все
пути до конца... Ради бога, молю тебя, оставь эту материю, страшись ее не
меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя
всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни. Этот беспро-
светный мрак может потопить тысячи ньютоновских башен. Он никогда не
прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть
чем-либо совершенным даже в геометрии. Это большая и вечная рана.в моей
душе».
Письмо звучит как заклятие. Старый Фаркаш не разглядел в собственном
сыне гения. А Янош Больяй был гением и шел путями гениев. Над теорией парал-
лельных он трудился около десяти лет. Придя к мысли о недоказуемости пятого
постулата, он стал на тот же путь, что и Лобачевский: решил создать неэвклидову
геометрию.
Военная служба тяготила Яноша. Он сделался мрачным, раздражительным.
Участились ссоры с товарищами. Однажды он разругался со всеми, и его в один
день вызвали на дуэль двенадцать офицеров. Все вызовы Больяй принял. Лишь с
тем условием, чтобы после каждого поединка ему разрешили немного поиграть на
любимой скрипке.
Таков был человек, который, не подозревая о работах казанского геометра, в
1832 году выпустил в свет свое сочинение «Аппендикс», где излагались элемен-
тарные начала неэвклидовой геометрии. «Аппендикс» вышел не отдельным
изданием, а как приложение к курсу математики Фаркаша Больяя.
А в 1826 году Лобачевский сделал доклад, содержавший изложение основ
неэвклидовой геометрии; в 1829 году опубликовал мемуар «О началах
Геометрии»; затем появились другие работы — «Воображаемая Геометрия»,
«Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», «Применение
6
воображаемой геометрии к некоторым интегралам», то есть это был целый
комплекс фундаментальных исследований. За десять лет Лобачевский создал
новую науку, стал основоположником, провозвестником небывалого учения.
Кроме того, «Воображаемую Геометрию» он послал во французский журнал, где
она была опубликована в 1837 году; в 1840 году в Берлине отдельной брошюрой
на немецком языке вышли «Геометрические исследования по теории па-
раллельных линий» Лобачевского — наиболее популярное изложение идей
неэвклидовой геометрии.
Маленькое сочинение Яноша Больяя «Аппендикс», что значит
«Приложение», разумеется, не может идти ии в какое сравнение с трудами
Лобачевского.
Но гений остается гением. У мыслей своя единица измерения — глубина. И
хотя Я«ош Больяй сделал всего лишь первые элементарные шаги в новой науке,
он может по праву считаться одним из создателей неэвклидовой геометрии.
Он как-то сказал: «Многие идеи как бы имеют свою эпоху, во время которой
они открываются одновременно в различных местах подобно тому, как фиалки
весной произрастают всюду, где светит солнце». Эти слова целиком можно
отнести к идеям неэвклидовой геометрии.
В том-то и дело, что неэвклидова геометрия выросла не на голом месте. Сам
ход развития естествознания неизбежно подводил к ее открытию. Интерес к
теории параллельных со временем не угасал, а, наоборот, увеличивался. Не
проходило и года, в который не появилось бы несколько сочинений, посвященных
доказательству пятого постулата.
Саккери, Ламберт, Бошкович, Швейкарт, Тауринус, де Тилли, Вахтер — все
они еще до Лобачевского и Больяя смутно сознавали идеи новой геометрии. Но
нужен был именно гениальный ум, который превратил бы догадки,
предвосхищения, допущения в строгую науку, в вершину завоеваний
человеческой мысли.
Был еще один, кто сделал первые шаги на пути создания неэвклидовой
геометрии: Гаусс! Именно он назвал новую геометрическую систему «неэвкли-
довой».
Вот почему, когда Янош Больяй послал Fayccy оттиск своего «Аппендикса»,
«геттингенский колосс» наконец-то отозвался. Он писал Фаркашу Больяю:
«Теперь кое-что о работе твоего сына. Если я начну с того, что я ее не должен
хвалить, то на мгновение ты поразишься, но я не могу поступить иначе: хвалить
ее — значило бы хвалить самого себя, ибо все содержание этой работы, путь, по
которому твой сын пошел, и результаты, которые он получил, почти сплошь
совпадают с моими, которые я частично получил уже тридцать — тридцать пять
лет тому назад. Я действительно этим крайне поражен.
Я имел намерение о своей собственной работе, кое-что из которой я теперь
нанес на бумагу, при жизни ничего не публиковать. Большинство людей со-
вершенно не имеет правильного понятия о том, о чем здесь идет речь; я встретил
только очень немногих людей, которые с особенным интересом восприняли то,
что я им об этом сообщил... Но я имел намерение со временем нанести на бумагу
все, чтобы эти мысли по крайней мере не погибли со мной.
Я поэтому очень поражен тем, что я освобожден от этой необходимости, и
меня очень радует, что именно сын моего старого друга таким удивительным
образом меня предвосхитил».
Лавры первооткрывателя опять уплыли из рук «короля математики».
Спрашивается: если Гаусс уже до этого трудился над новой геометрией, то
почему в таком случае не сделал достоянием гласности свои результаты?
— Я боюсь криков «беотийцев»! — заявил он ближайшим друзьям.
7
Еще в 1829 году он писал Бесселю: «Вероятно, я еще не скоро смогу
обработать свои пространные исследования по этому вопросу, чтобы их можно
было опубликовать. Возможно даже, что я не решусь на это во всю свою жизнь,
потому что я боюсь крика «беотийцев», который поднимется, когда я выскажу свои
воззрения».
Другого приятеля, сомневавшегося в справедливости пятого постулата, он
предупреждал:
— Я очень рад, что вы имеете мужество высказаться так, как будто вы
признаете возможным, что наша теория параллельных линий, а следовательно,
и вся наша геометрия ложны. Но осы, гнездо которых вы разрушаете,
подымутся над вашей головой!
«Геттингенский колосс» трусил. Он оберегал свою репутацию «короля» и
побаивался сумасшедшего дома. Чего доброго, объявят свихнувшимся!
Go всеми, кто трудился над теорией параллельных, он безжалостно
порывал связи; от посвященных в его сокровенные мысли требовал сохранения
тайны.
«Колосс» всегда дерзал в рамках дозволенного. Роль ниспровергателя его
страшила. Он хотел оставаться респектабельным во всех случаях. Сейчас его
страхи не могут не вызвать смеха: сделанное Гауссом для обоснования
неэвклидовой геометрии так ничтожно, что «криков беотийцев» .и «ос» можно
было бы и не опасаться.
Научная добросовестность все же не позволяла ему зачеркивать то, что
сделано другими в этом направлении. В одном из писем он даже называет Яноша
Больяй «гением первого ранга». Но оказать поддержку молодому ученому,
назвать его. «гением первого ранга» публично не хочет. Ведь Больяй лишь
повторил то, о чем думал сам «король» еще тридцать лет назад. Тут, разумеется,
содержится большая доля неправды. Гаусс часто размышлял о теории парал-
лельных линий — и только. Систематического изложения своих взглядов он не
дал.
Получив ответ Гаусса, Янош Больяй пришел в бешенство. Он вообразил, что
«жадный колосс Гаусс» хочет присвоить открытие себе; не мог поверить, что
«принцепс математикорум» охватил своим умом и эту, казалось бы,
неизведанную область. Как жаль, что «королей» на дуэль вызывать не принято!
В жизни Больяй начался самый мучительный период. Он близок был к
сумасшествию.
Гаусс справедливо полагал, что на «Аппендикс», содержащийся как
приложение к увесистому тому сочинений Фаркаша Больяя, никто не обратит
внимания. Он был убежден, что время для идей неэвклидовой геометрии еще не
наступило. Все забудется. Затеряется на пыльных полках библиотек и «Аппен-
дикс». Во всяком случае, ему, Гауссу, до всего этого нет никакого дела,
… «Король математики» буквально потерял дар речи, когда обнаружил у
себя на столе изящную книжицу, заглавие которой сразу же бросалось в глаза:
«Геометрические исследования по теории параллельных линий Николая
Лобачевского».
Заинтригованный Гаусс взглянул на первую страницу и сразу же забыл обо
всем на свете. Он испытывал радость открытия. Какая ясность мысли! Какой
сверкающий ум! Нет, ничего подобного никогда не приходило в голову «королю
математиков»!
Охваченный восторгом, он перечитывает книжку несколько раз и, забыв о
«беотийцах» и «осах», делится счастьем со старым другом Шумахером, директо-
ром обсерватории в Копенгагене: «Недавно я имел случай вновь просмотреть
книжку Лобачевского («Геометрические исследования по теории параллельных»,
8
Берлин, 1840, в издательстве Г. Финке, размером в четыре печатных листа). Она
содержит основы той геометрии, которая должна была бы иметь место и была бы
строго последовательной, если бы эвклидова геометрия не была истинной. Некто
Швейкарт назвал такую геометрию звездной, Лобачевский называет ее
воображаемой геометрией. Вы знаете, что я уже пятьдесят четыре года (с 1792
года) имею то же убеждение (с некоторым позднейшим расширением, на котором
не хочу здесь останавливаться); по материалу я таким образом в сочинении
Лобачевского не нашел для себя ничего нового; но в его развитии автор следует
другому пути, отличному от того, которым я шел сам; оно выполнено Лобачевским
с мастерством, в чисто геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить
Ваше внимание на эту книгу, которая наверное доставит Вам совершенно
исключительное наслаждение».
Совершенно исключительное наслаждение... Его испытал сам «принцепс
математикорум». Прежде всего поражала смелость Лобачевского. Вот так прямо,
черным по белому изложить то, что Гаусс берег, как сокровенную тайну!
Железная логика, величайший ум, перед которым даже он, Гаусс, испытывает ро-
бость.
Книжка Лобачевского произвела на Гаусса такое могучее впечатление, что он
под ее влиянием даже изменил весь уклад своей жизни. Он больше не отшельник!
К черту вычисления! Ко всем чертям башню!.. Родилась новая геометрия. Ее
создал другой. Но что из того? Она родилась!
…Он буквально понуждает своих друзей заняться изучением трудов
Лобачевского, пишет пространные письма, не жалея ни времени, ни бумаги. Он
возмущен пасквильными рецензиями на труды Лобачевского, помещенными в
«Сыне отечества» и в справочнике Герсдорфа.
«...Очень обидная критика этого труда находится в № 41 другого русского, по
моему предположению, выходящего в Петербурге журнала «Сын отечества», от
1834 года, которой Лобачевский противопоставил антикритику и которая, однако,
не была набрана до начала 1835 года.
… [Однако] Гаусс не хочет брать на себя никаких обязательств. Он слишком
стар, чтобы выступать в печати с поддержкой чужого учения, не желает ввязы-
ваться в полемику. А то, что полемика будет, он не сомневается. Он
наслаждается творениями русского гения, как скупой рыцарь, и не хочет, чтобы
«крики беотийцев» омрачали радость. А может быть, он просто не понимает, как
нуждается в его поддержке Лобачевский… Если «принцепс математикорум» не
торопится вступать в перебранку с «беотийцами», то он делает все возможное,
чтобы распространить труды Лобачевского среди своих друзей. Когда в
Геттингене появляется молодой венгерский математик Ментович, Гаусс сразу же
вспоминает Яноша Больяй. Вот кого следует порадовать! Он ведь тоже работает
над теорией параллельных.
17 октября 1848 года Янош Больяй получил «Геометрические исследования»
Лобачевского. Это был удар ножом в сердце. Конечно же, Больяй не поверил в
существование какого-то Лобачевского; он решил, что сам «геттингенский
колосс», опасаясь скандала, скрылся под псевдонимом. Гаусс обокрал Яноша
Больяй! Жадный старик не мог смириться с темг что кто-то другой станет
родоначальником новой геометрии.
— Гаусс сам обработал теорию и выпустил в свет под именем Лобачевского!
— воскликнул Больяй.
Однако вскоре он убедился, что Лобачевский— лицо не вымышленное, а
вполне реальное. Значит, где-то в Казани живет великий геометр. Больяй
пытается вникнуть в каждое слово. «Геометрических исследований». Он не может
9
не восхищаться ходом мысли своего соперника, называет его выводы
гениальными.
Военную службу Янош давно бросил. С отцом рассорился. Дело дошло до
того, что он вызвал старого Фаркаша на дуэль. К счастью, дуэль не состоялась. С
каждым годом Янош все больше впадал в тяжелую меланхолию. Он был болен.
Нервное потрясение не могло пройти бесследно.
Больяй ставит перед собой задачу превзойти Лобачевского и Гаусса. Он еще
покажет миру!.. Он вызывает этих колоссов на своеобразную дуэль разума. Еще
неизвестно, чем закончится поединок. Скорее всего поражением и Лобачевского и
Гаусса. Ведь еще не было такой дуэли, когда бы Янош Больяй не выходил
победителем! Дни заполнены лихорадочными поисками, вычислениями.
Безумным взором смотрит он на брошюру казанского математика. Превзойти!.. Он
ведь не знает, что Лобачевским созданы капитальные труды, законченная теория.
Дуэлянт искусно владеет шпагами и пистолетами, но...
Запутавшись в вычислениях, он вдруг приходит к выводу, что неэвклидовой
геометрии быть не может. Есть одна, незыблемая — эвклидова! Он доказал пятый
постулат Эвклида!
Он берет лист бумаги, выводит крупными буквами: «Доказательство XI
эвклидовой аксиомы (пятого постулата), которая до сих пор на земле оставалась
сомнительной, действительно в высшей степени важное, так как она служит
основанием всего учения о пространстве и движении».
Но дальше заглавия не пошло. Опять вкралась ошибка в вычислениях!
В своем стремлении превзойти Лобачевского oн бросается из одной
крайности в другую. Он берется за решение неразрешимых задач и терпит
неудачи.
Постепенно он приходит к мысли, что нужно создать науку наук — учение о
всеобщем благе. Он хочет осчастливить весь род человеческий, построить
государственную систему на математической основе.
Это уже была агония разума, сломленного неудачами.
А Лобачевский так никогда и не узнает, что в Венгрии живет страдалец, его
единомышленник Янош Больяй. Не узнает и того, что в веках их имена будут
стоять рядом.

4. Гаусс, Лобачевский и Риман


Гаусс думал о Лобачевском до последнего дня. «Принцепс
математикорум» верил в свою гениальность и знал, что после его смерти вся его
личная переписка будет опубликована. Так уж повелось испокон веков. Он
ценил иронию и заранее предвкушал удовольствие от мысли, что «беотийцы»,
узнав из писем о взглядах Гаусса на неэвклидову геометрию, поднимут шум; это
будет его посмертная месть. Потому-то и пропагандирует взгляды казанского
геометра при каждом удобном случае. «Беотийцы» всегда портили жизнь
Гауссу. Каждый из них считал своим долгом совать нос в его дела, давать советы,
учить, «подправлять», ограждать от ереси. Самому себе он всегда казался
Гулливером, спутанным по рукам и ногам.
Еще до знакомства с работами Лобачевского он догадывался, что, помимо
эвклидовой, может иметь место иная геометрия и что природа пространства,
возможно, совсем не такова, как мы привыкли считать.
Он имел неосторожность высказать «крамольные» мысли вслух. Больше
того: он дерзнул на практике проверить положение о том, что сумма внутренних
углов треугольника равна двум прямым. Он вымерил треугольник, образованный
10
вершинами гор Брокен, Хохер Хаген и Инзельсберг. Отклонений от эвклидовой
геометрии, разумеется, не обнаружил.
Но «беотийцы» словно с ума посходили. Казенные философы, попы, пигмеи
научной мысли, математические крохоборы освистали Гаусса. Они объявили, что
математика — это наука, в которой никогда не знают, о чем говорят, и не знают,
истинно ли то, о чем говорят; и всякий не придерживающийся подобного взгляда
на математику не может считаться настоящим ученым. Они, едва познавшие азы
науки, читали ему мораль, говорили, что «чувственной» реальности не место в
математике. Наука должна обладать чистой красотой и в этом ее эстетическая
ценность; и что если бы Гаусс даже и нашел отклонение от эвклидовой геометрии,
то это в лучшем случае могло бы значить, что существуют какие-то неизвестные
нам причины, отклоняющие световые лучи между двумя зрительными трубами;
природа пространства может быть лишь эвклидовой. Недаром Кант обожествил
эвклидову геометрию, признал ее положения истинными априори.
С тех пор «колосс» решил не связываться больше с «беотийцами».
Да, на неэвклидову геометрию Гауссу не повезло с самого начала. Тогда он
решил создать дифференциальную геометрию — внутреннюю геометрию кривых
поверхностей.
, Любая поверхность несет в себе свою собственную геометрию; однако эта
геометрия никоим образом не определяет несущую ее поверхность: при помощи
изгибания можно получить бесконечно много поверхностей, разных по форме, но
с общей внутренней геометрией. Например, листу бумаги легко придать
цилиндрическую форму. Так же легко развернуть цилиндр на плоскость. Сумма
углов треугольника на плоскости и на поверхности цилиндра всегда одинакова.
Таким образом, мы наглядно доказываем, что кусок плоскости и некоторая часть
цилиндра имеют одинаковую внутреннюю геометрию. Наложить лист на глобус
или на седловидную поверхность нам не удастся: в первом случае образуются
складки, во втором — разрывы. Следовательно, у плоскости, сферы и
гиперболического параболоида разные внутренние геометрии. Само собой
разумеется, что кривизна плоскости равна нулю (на то она и плоскость!) г кри-
визна сферы определяется радиусом, ее принято называть положительной (хотя
бы потому, что сумма углов треугольника на поверхности сферы всегда больше
180°); существуют поверхности, где сумма углов треугольника меньше двух
прямых — их называют поверхйостями отрицательной кривизны; сюда можно
отнести гиперболический параболоид или седло.
Одним словом, каждая поверхность имеет свою геометрию.
В повседневной практике о свойствах той или иной поверхности мы судим с
точки зрения жителя трехмерного пространства. Мы говорим: шар, плоскость. Но,
оказывается, можно также отыскивать внутренние свойства самой поверхности
безотносительно к ее внешнему положению, так сказать, не выходя за ее
пределы. Произведем маленький мысленный эксперимент. Поверхность есть не
что иное, как пространство двух измерений. Пусть на поверхности шара обитают
некие двумерные существа, не имеющие никакого представления о третьем
измерении. Поверхность сферы будет их пространством, их «плоскостью»;
измеряя треугольники на своей «плоскости», они каждый раз убеждаются в том,
что сумма внутренних углов треугольника больше 180°. Это незыблемый закон их
пространства. Им и в голову не придет, что могут существовать другие
поверхности — такие, скажем, как стол, седло. На поверхности шара нет прямых
линий, но гипотетические двумерные существа упрямо будут считать свои кривые
прямыми, так как в их мире это кратчайшие линии, геодезические, как их принято
называть. Всякого дерзнувшего утверждать, что их «пространство» искривлено и
11
представляет поверхность сферы, они сочтут безумцем. Им никогда не выйти из
двумерности своего мира.
Как видим, понятие кривизны поверхности, пока мы не выходим за ее
пределы, не является чем-то наглядным. Мы могли бы продолжить эксперимент:
населить двумерными существами плоскость. Можно . ли дать обитателям
плоскости представление о кривизне? Да, можно. Пусть плоская поверхность в од-
ной области доступного им пространства по каким-то причинам
деформировалась, вспучилась, сделалась сферической. Обитатели плоскости
обнаружат, что, в этой области сумма углов треугольника больше 180°. По
отклонениям суммы углов треугольника от '-1 двух прямых они и будут судить о
кривизне, о мере «неэвклидовости» .своего пространства, вкладывая в понятие
кривизны лишь метрические соотношения — и ничего более.
По замечанию Гельмгольца, Гаусс установил геометрию поверхности в том
виде, в каком ее строил бы обитатель этой поверхности, которому недоступно.
третье измерение пространства.
Гаусс не производил мысленных опытов. Создавая геометрию кривых
поверхностей, он имел в виду лишь свои многолетние геодезические измерения и
не отождествлял поверхность с пространством.
Все последние годы он проводил в своей башне и ничего не хотел знать о
своих учениках. А они настойчиво стучались в дверь, несли скороспелые ме-
муары, требовали внимания.
Зимой 1847 года «король математики», наконец, вышел из себя.
В святая святых, в башню Гаусса ворвался студент Геттингенского
университета, некто Бернгард Риман. Сын бедного провинциального священника,
Риман, не желая изучать теологию (к чему побуждал его отец), бежал в Геттинген.
Конечно же, в кармане у него лежал совершенно гениальный доморощенный
мемуар «Опыт обобщения действий интегрирования и дифференцирования».
Риман осознавал свое исключительное математическое дарование, мечтал завое-
вать мир, а потому сразу же сунулся к «колоссу».
Гаусс с недоумением разглядывал смельчака: впалая грудь, впалые щеки,
реденькие волосы на голове, близорукие глаза. Все время щурится. А тот, кто
имеет привычку щуриться, быстро теряет зрение.
— Я Бернгард Риман, — представился юноша таким тоном, словно кому-
кому, а «королю математики» следовало бы уж давно знать это звучное имя. — Я
проштудировал ваши «Общие изыскания о кривых поверхностях» и был поражен
глубиной мысли... Превосходная работа!
— А я и не подозревал, — ответил Гаусс сухо.— Мне лестно слышать ваш
отзыв, господин... м... м...
— Риман!
— Вот именно. А теперь перейдем к делу. Вы принесли на отзыв свой
мемуар, не так ли?
Риман смутился.
— В некотором роде да.
— Молодой человек! — сказал «колосс» резко. — Вам двадцать лет, а мне
семьдесят. Я не хочу обкрадывать вас, но и вы не должны...
Риман понял. Он побелел, сжал зубы. Повернулся и ушел. Наутро он оставил
Геттингенский университет, уехал в Берлин. Гаусс оттолкнул еще одного гения,
который мог бы стать самым преданным его учеником. В Берлине Риман обратил
на себя внимание выдающегося математика Дирихле, позднее свел знакомство с
Гельмгольцем.
Риман был своеобычным молодым человеком. Его интересовало буквально
все. Так, в письме брату Вильгельму, почтмейстеру в Бремене, он сообщает: «Я
12
снова взялся за исследования по связи между электричеством, гальванизмом,
светом и тяготением и продвинулся настолько, что смогу, безусловно, опубли-
ковать их в нынешней редакции. Между прочим, я имею подтверждение сведений,
что уже много лет Гаусс занимается теми же вопросами и теперь сообщил об этом
нескольким друзьям, в том числе Вебе-ру, однако с обязательством сохранения
тайны. Надеюсь, что еще не поздно и что можно будет установить, что все это
найдено мною независимо от Гаусса. Пишу тебе без опасения, что ты бросишь
мне упрек в неуместной заносчивости».
Молодой, увлекающийся, впечатлительный и разносторонний, Риман
занимался вопросами топологии, теории функций, математической физикой, газо-
вой динамикой, психологией, написал «Новые математические принципы
натурфилософии», в которых предвосхитил теорию Максвелла; под влиянием
Гельмгольца составил работу о механизме уха и глаза. Он был поэтом, хотя и не
писал стихов: ему хотелось Считать, что небесные тела, в том числе и Земля,
одушевлены. Он мечтал получить кафедру в Берлинском университете и начать
деятельность большого размаха, стать главой школы в области интегрирования
дифференциальных уравнений в частных производных и математической физики.
Он чувствовал' избыток сил, грандиозные планы переполняли его. Он замыслил
построить вполне законченную математическую теорию, которая, исходя из
элементарных законов взаимодействия отдельных точек, охватила бы все
процессы, происходящие в окружающем нас физическом непрерывном
пространстве, независимо от того, идет ли речь о тяготении, электричестве,
магнетизме или равновесии тепла.
Прошло много лет, и вот Риман вновь в Геттинге-не. Он успешно защитил
докторскую диссертацию, где содержалась целая программа научных исследо-
ваний в области аналитических функций, указывающая один из путей развития
этой теории на целое столетие.
Но Гаусс верен себе: он слышать не желает о «самоучке». Какое дело
семидесятисемилетнему Гауссу до Римана? Говорят, этот Риман тяжело болен,
харкает кровью. Что из того?
И все же иметь дело с Риманрм Гаусс вынужден. Риману по существующим
правилам следует вступить в профессорскую общину. А для этого он должен про-
читать перед факультетом пробную лекцию. Тему утверждает Гаусс. Они снова
встречаются. Риман от-лустил усы и бороду. В свои двадцать семь лет он
выглядит весьма солидно. Никаких воспоминаний. Холодная вежливость.
Подобная сдержанность импонирует Гауссу. Риман представил три темы. Гаусс
рекомендует взять самую сложную: «О гипотезах, лежащих в основания
геометрии». -Ему интересно знать, как выпутается из всего этого «бородатый
мальчишка-самоучка».
— Вы знакомы с мемуаром Лобачевского «Геометрические исследования»?
Предложение казанского геометра я считаю одной из гипотез, лежащих в ос-
новании геометрии.
Да, Риман знаком с работами Лобачевского, восхищен ими, хотя и не
понимает, почему русский математик так^легко отбросил «теорию тупого угла».
Изыскания самого Гаусса и Лобачевского и побудили Римана включить в список
тему «О гипотезах». Он много размышлял о так называемых «многократно
протяженных многообразиях», а также о «теории тупого угла» Саккери и
Ламберта. Неэвклидовых геометрий может'быть несколько.
Гаусс заинтригован.
— Да, да, я обязательно приду на .вашу лекцию, господин Риман. А
мемуар Лобачевского все-таки возьмите, проштудируйте еще раз.
13
— Весьма признателен, господин тайный советник. Каков тон! «Многократно
протяженные многообразия»... Что бы это могло значить?
10 июня 1854 года в заседании философского факультета Геттингенского
университета Риман прочитал вводную лекцию «О гипотезах, лежащих в осно-
вании геометрии».
Все, что он говорил, лежало на грани здравого смысла. Во всяком случае,
профессора ничего не поняли. Многие из них, не будучи математиками, не
восприняли то, что уже давно витало в воздухе, ожидая кристаллизации. Это
была идея многомерной геометрии.
Риман глубоко усвоил достижения Лобачевского и Гаусса и пошел дальше.
Например, Риман выдвинул свой постулат: через точку, взятую вне прямой,
нельзя провести ни одной параллельной линии к данной прямой! И создал свою
геометрию.
В этой геометрии параллельных линий нет совсем, а сумма внугренних углов
треугольника больше двух прямых; различные перпендикуляры к прямой не па-
раллельны (как в эвклидовой геометрии) и не расходятся (как в геометрии
Лобачевского), а пересекаются; все прямые — замкнутые линии. То, что в такой
геометрии нарушаются и другие аксиомы Эвклида, а не только один пятый
постулат, мало смущало Ри-мана. А почему бы новой геометрии не иметь свои
собственные аксиомы, отличные от эвклидовых?
Замкнутость прямой влечет за собой признание замкнутости, конечности
плоскости, поверхности или пространства. На какой же поверхности реализуется
эта диковинная геометрия? Оказывается, планиметрия Римана может быть
истолкована при помощи Обыкновенной геометрии на поверхности сферы.
Спрашивается: зачем было городить огород и открывать то, что давным-
давно открыто Гауссом и другими? Ведь Гаусс уже создал геометрию кривых
поверхностей, в том числе и сферы.
Но все дело в том, что Гаусс стремился понять законы внутренней геометрии
той или иной поверхности, а Римана волновала загадка пространства. Он вслед
за Лобачевским показал, что метрика пространства зависит от характера
действующих сил. Эллиптическая геометрия может осуществляться не только на
поверхности сферы, но и в трехмерном пространстве.
Что такое пространство? Почему пространство Лобачевского и пространство
Римана отличается от эвклидова пространства? Что означает, к примеру,
отклонение суммы внутренних углов треугольника от 180°? При измерении
поверхностей оно означало меру кривизны той или иной поверхности. Но может
ли быть искривлено пространство? Как это наглядно можно было бы себе
представить?
Пространство, физическое трехмерное пространство искривлено, и лишь в
бесконечно малых областях его можно считать плоским, неискривленным,
эвклидовым! — вот к такому выводу приходит Риман. Мерой отличия любого
пространства от эвклидова является кривизна.
Уже Лобачевский близко подошел к мысли о кривизне пространства. Он
вопреки Ньютону считал, что в мире пустоты не существует; все тела в природе
можно представлять частями одного целого — пространства. Пространство есть
протяженность, присущая всем телам, кроме того, оно обладает структурой.
Соприкосновение тел как форма их взаимодействия образует основу
пространственных отношений. Может ли материальная протяженность быть
искривленной? По-видимому, да. Как уже отмечалось, понятие кривизны
поверхности' — этого двумерного пространства, если мы не выходим за ее
пределы, не является наглядным. Также не является наглядным и понятие
кривизны трехмерного пространства. А выйти за его пределы мы не в состоянии,
14
так как в природе не существует четвертого геометрического измерения. Во
всяком случае, три измерения выражают всю полноту связи сосуществующих
явлений.
Эвклидово пространство можно считать плоским, обладающим нулевой
кривизной; пространство Лобачевского имеет отрицательную кривизну, Римана —
положительную.
— Какова же истинная геометрия физического пространства? Это можно
установить только опытным путем, — повторяет Риман вслед за Лобачевским.
. ,
Геометрия реального мира есть вопрос физический.
Человечество могло поздравить себя: оно стало обладателем трех
геометрий — плоской эвклидовой, гиперболической Лобачевского и
эллиптической Римана! Три пространства со своей внутренней геометрией. Это в
полном смысле трехмерные физические пространства, и в каждом существуют
свои типы поверхностей: в эвклидовом — поверхность шара, плоскость; в
пространстве Лобачевского — плоскость, на которой осуществляется
гиперболическая геометрия, поверхность шара и некая предельная поверхность,
несущая на себе планиметрию Эвклида. Есть свои поверхности и у риманова
пространства.
Но Риману всего этого показалось мало: он решил создать еще одну
геометрию — общую, которая включала бы в себя все мыслимые геометрии,
причем наиболее простые из них — три нам уже известные. Оказывается,
геометрий может быть бесчисленное множество. Стоило Лобачевскому сдвинуть
многовековой обомшелый камень, как геометрии посыпались, словно из рога
изобилия.
Риман стал творцом геометрии множеств. Что такое множество или
многообразие? Это совокупность чего-либо, коллектив вещей, понятий, идей, чис-
ловые группы. Всякая поверхность, например, не что иное, как двумерное
множество, так как каждый элемент, точка определяется здесь двумя
координатами; физическое пространство — трехмерное множество — оно имеет
три измерения; совокупность всех окружностей на плоскости — тоже трехмерное
множество: каждый ее элемент — окружность — определяется координатами
центра и радиусом.
Множество может состоять, и не из геометрических элементов: рой
несущихся в пространстве, и времени материальных частиц — четырехмерное
множество. Можно строить геометрию кругов, шаров, множества цветов, звуков,
роя частиц и т. д. Нужно только найти для каждого множества свое
мерооеределение.. То есть геометрия свойственна ме только реальному про-
странству, а любому множеству; ее следует рассматривать не как абсолютно
точную геометрию реального пространства, а как приближение, модель форм и
отношений этого пространства. Риман приходит к понятию кривизны
многообразия. Всякое многообразие имеет свою кривизну. Одна и та же
геометрия может иметь несколько истолкований, если она находит свое
осуществление на нескольких различных множествах.
В понятие многомерности «римановых пространств» не следует вкладывать
ничего мистического: ведь это всего-навсего «идеальные» математические
«пространства». Совокупность звуков является двумерным многообразием лишь
потому, что они отличаются амплитудой и частотой колебаний; в кинетической
теории газов применяют пространство 36-Ю23 измерений. Риман расщепил
пространство на его малые элементы и показал, как из упрощенной метрики
элемента, точки разворачивается метрика всего физического пространства.
15
Пространства Эвклида, Лобачевского, эллиптическое Римана имеют
постоянную кривизну; общая гео-уетрия Римана не может обладать постоянной
кривизной.
Как видим, Риман мыслил весьма непрямолинейно. Он довершил дело,
начатое Лобачевским. Остальным математикам осталось лишь отыскивать все но-
вые и новые множества. Из идей Лобачевского и Римана впоследствии родился
четырехмерный мир теории относительности.
Всю эту ученую тарабарщину Гаусс слушал, расплываясь в блаженной
улыбке. Наконец-то нашелся достойный ученик, преемник! Предел изощренности.
Тут уж все кривое: даже цвета и звуки. А Гаусс обожал кривизну, особенно в
математике. Кривизна многообразия... Уплотненность математической мысли
Римана поразила «геттингенекого колосса», и он из недоброжелателя
превратился в поклонника и покровителя крепнущего гения.
Выступать в печати с защитой идей Римана Гаусс все же не стал. Да и не
успел: он умер через несколько месяцев. №а его рабочем столе нашли два эк-
земпляра «Геометрических исследований» Лобачевского.
Не понятый современниками (ведь человечество — тоже многообразие со
своей кривизной в мышлении!), тяжелобольной, Риман забросил свой мемуар,
находя его недостаточно обработанным. Мемуар нашли в куче бумаг только после
смерти ученого. Скончался он в Италии, на сороковом году жизни. Вся его научная
деятельность длилась немногим более пятнадцати лет.
Лобачевский никогда не слышал имени Римана; но такова уж геометрия
непрерывного многообразия гениальности — в истории науки им стоять рядом.
На русском языке мемуар «О гипотезах, лежащих в основании геометрии»
появился в 1893 году в сборнике, изданном Казанским физико-математическим
обществом в связи со столетним юбилеем Лобачевского.
5. Заключение
…Когда назревает необходимость в подобных «коренных» идеях, они, как
правило, почти одновременно возникают в совершенно разных местах земного
шара.
Так случилось и с неэвклидовой геометрией. Пространственно-временные
представления Ньютона постепенно перестали удовлетворять пытливую, тонкую
человеческую мысль. Правда, переворот в воззрениях еще только созревал.
Практика пока еще довольствовалась ньютоновской концепцией. Но наиболее
чуткие умы уже догадывались, что кризис близок.
Лобачевский мечтал хотя бы об одном-единственном человеке, который
понял бы и оценил по достоинству его геометрию. Но их в мире, во всем
человечестве, было двое — кроме самого Лобачевского — венгр Янош Больяй и
Гаусс...
… Не следует думать, что те профессора, которым он растолковывал в
течение десятков лет ОСНОВЫ своей геометрии, не понимали его. Они,
разумеется, понимали все и внешне даже признавали идеи Лобачевского. Но
внутренне они не были в состоянии проникнуться этими идеями. Они не могли
уяснить, зачем нужна новая геометрия. Они не обладали неким инстинктом
предвидения, как Лобачевский. Будущие столетия стучали в виски
Лобачевского, он один осознавал свое назначение на земле. А люди, окружавшие
его, считали, что гений может явиться где угодно, но только не в Казани.
Николай Иванович Лобачевский не дожил всего лишь нескольких лет до
своей славы. После кончины Гаусса были опубликованы его дневники и переписка
с Шумахером. Содержание писем, в которых дается оценка трудам казанского
16
геометра, нам уже известно. Восторженные отзывы «геттингенского колосса» о
работах Лобачевского взбудоражили математиков всего мира. Гауссу привыкли
верить. О Лобачевском заговорили, кинулись разыскивать его сочинения.
Полетели запросы в Казань. В Казани всполошились. Перерыли всю библиотеку,
но нашли только один экземпляр «Воображаемой Геометрии», да и то неполный.
А требования из-за границы становились все настойчивей. Подайте труды
гениального математика! Тогда-то и удалось Мариану Ковальскому добиться
издания полного собрания геометрических сочинений Лобачевского.
Кто же способствовал возрождению идей Лобачевского?
В Германии это были профессор гимназии Бальт-цер, естествоиспытатель
Гельмгольц; во Франции — профессор университета в Бордо Гуэль; в Италии —
Баттальини, Дженокки; в Америке — ученый Гальстед; в Англии — Клиффорд; в
Бельгии — Тилли; в России — профессора А. А. Летников, П. И. Котельников, Э.
А. Кнорре, Ф. М. Суворов.
За первыми пропагандистами необычайного учения двинулась целая армия
ученых.
Но триумфальное шествие учения Лобачевского началось после того,
как итальянский математик Евгений Бельтрами показал, что внутренняя геомет-
рия на псевдосфере совпадает с геометрией на куске3 плоскости Лобачевского.
В обычном эвклидовом пространстве был найден реальный, наглядный
двумерный геометрический образ, обладающий указанными Лобачевским
свойствами.
… Началась новая эра в развитии естествознания.
К столетию со дня рождения Лобачевского его имя сделалось известным во
всех уголках земного шара. Юбилей в Казани в 1893 году вылился в торжество
науки. В комитет по сбору капитала имени Лобачевского вошли почетными
членами ученые с мировой славой: Гельмгольц, Бельтрами, Пуанкаре, Клейн,
Софус Ли, Сильвестр, Кэли, Эрмит и многие другие. Казанским физико-
математическим об-ществом была учреждена премия Н. И. Лобачевского,
великому геометру поставили памятник перед зданием университета.
… Космологических моделей вселенной существует великое множество.
Каждая из них претендует на объяснение мира в целом. Есть модели конечной
вселенной, разбегающейся вселенной, иерархически построенной вселенной,
статической, динамической. Но после Лобачевского во всех этих моделях
вынуждены признавать полную зависимость геометрического от физического. Так,
геометрические свойства пространства в теории относительности ставятся в.
зависимость от структуры полей тяготения. Геометрия мирового пространства
носит неэвклидов характер: оно искривлено. Любопытно, что даже близ земной
поверхности геометрия пространства является неэвклидовой, хотя отклонения
незначительны. «Искривление» пространства вблизи тяжелых материальных тел
воспринимается нами как поле тяготения.

Геометрия Лобачевского. Неевклидовы геометрии

Среди аксиом Евклида была аксиома о параллельности прямых, а точнее, пятый постулат о параллельных линиях: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. В современной формулировке она говорит о существовании не более одной прямой, проходящей через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.

Сложность формулировки пятого постулата породила мысль о возможной зависимости его от других постулатов, и потому возникали попытки вывести его из остальных предпосылок геометрии. Как правило, это заканчивалось неудачей. Были попытки доказательства от противного: прийти к противоречию, предполагая верным отрицание постулата. Однако и этот путь был безуспешным.

Наконец, в начале XX века почти одновременно сразу у нескольких математиков: у К. Гаусса в Германии, у Я. Больяи в Венгрии и у Н. Лобачевского в России возникла мысль о существовании геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.

В силу приоритета Н. Лобачевского, который первым выступил с этой идеей в 1826, и его вклада в развитие новой, отличной от евклидовой геометрии последняя была названа в его честь «геометрией Лобачевского».

Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на ее отрицание – аксиому параллельности Лобачевского


Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.


Как уже отмечалось в § 15.1, непротиворечивость системы аксиом доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы. Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости, которая будет здесь представлена, сделана по материалам учебника «Геометрия» (А. Д. Александров, А. Л. Вернар, В. И. Рыжик, М: Просвещение, 1991). Эта модель была предложена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 году.

Для начала напомним основные понятия и аксиоматику, на которой базировалось изложение, систематизировав их заново и дополнив необходимыми аксиомами.

За основные объекты были приняты точка, прямая и фигура. За основные отношения между этими объектами принимаются:

1) точка принадлежит фигуре, в частности прямой;

2) точка лежит между двумя точками для точек прямой.

Следующие определения базируются на основных определениях.

Фигура называется объединением некоторых данных фигур, если ей принадлежат все точки этих фигур, и никакие другие.
Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка.
Лучом AB называется часть прямой, состоящая из всех ее точек, лежащих по ту же сторону от точки A, что и точка B. Точка A называется вершиной луча.
Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла и двух различных лучей, исходящих из этой точки, – сторон угла.
Полуплоскостью, ограниченной прямой a, называется фигура, обладающая следующими свойствами:
она не содержит прямую a;
если точки A и B принадлежат полуплоскости, то отрезок AB не имеет общих точек с a;
если же A принадлежит полуплоскости, а B нет, то отрезок AB имеет общую точку с прямой a.
Приведем систему аксиом, обозначив римской цифрой номер группы, а арабской – номер аксиомы в группе.


I. Аксиомы связи прямой и точки.

Существуют, по крайней мере, две точки.
Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую и только одну.
Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.


II. Метрические аксиомы отрезка.

Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
На каждом луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины и только один.


III. Аксиома непрерывности.



IV. Аксиомы плоскости.

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.


V. Аксиома параллельности Евклида.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.


Построение модели Пуанкаре начнем с того, что придадим конкретный смысл основным объектам и основным отношениям планиметрии Лобачевского. Для этого фиксируем на евклидовской плоскости E горизонтальную прямую x. Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.

Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему.

Фигура на плоскости Лобачевского – это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту (см. рис. 15.2.1). Точка K лежит между точками C и D, значит, что K принадлежит дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K' лежит между C' и D', где C', K' и D' – проекции точек C, K и D соответственно на абсолют. Чтобы ввести понятие равенства неевклидовых отрезков в модели Пуанкаре, определяют неевклидовы движения в этой модели.

Рисунок 15.2.1

Неевклидовым движением называется преобразование L, которое является композицией конечного числа инверсий с центрами на абсолюте и осевых симметрий плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту. Инверсии с центром на абсолюте и осевые симметрии плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту, называют неевклидовыми симметриями. Два неевклидовых отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести во второй.

Свойства неевклидовых движений.

Суперпозиция неевклидовых движений есть снова неевклидово движение. Это вытекает непосредственно из определения неевклидова движения.
При неевклидовых движениях образами неевклидовых отрезков, прямых, лучей и углов являются соответственно неевклидовы отрезки, прямые, лучи и углы. Это свойство вытекает из свойств инверсии и свойств евклидовой осевой симметрии. Необходимо отметить, что неевклидовы углы, преобразующиеся друг в друга неевклидовым движением, равны в смысле приведенного ранее определения, и их величины (в евклидовом смысле) также равны.
Если неевклидово движение переводит неевклидов луч в себя, то либо это тождественное преобразование, либо неевклидова осевая симметрия относительно неевклидовой прямой, содержащей данный луч. В обоих случаях все точки этой прямой для данного преобразования неподвижны. Это свойство дается без доказательства.
Выше дана реализация всех основных понятий аксиоматики планиметрии Лобачевского через понятия евклидовой геометрии. Теперь необходимо проверить справедливость приведенных выше аксиом.

Из группы аксиом I очевидна справедливость аксиом I.1, I.2, I.4.

Аксиома I.3.
Пусть даны точки A и B.

Рисунок 15.2.2

Прямая (евклидова) AB не перпендикулярна к абсолюту (рис. 15.2.2). Тогда серединный перпендикуляр p отрезка AB пересекает абсолют в некоторой точке O. Так как по построению OA = OB, то полуокружность окружности S с центром в точке O и радиусом OA, лежащая выше абсолюта, является неевклидовой прямой, содержащей точки A и B. Эта прямая (неевклидова) единственна, так как на абсолюте есть лишь одна точка, равноудаленная от точек A и B, – это точка O.
Прямая (евклидова) AB перпендикулярна абсолюту (рис. 15.2.3). Тогда ее часть, лежащая выше абсолюта, будет неевклидовой прямой, проходящей через точки A и B, поскольку p || x.

Рисунок 15.2.3

Аксиома II.1.

Так как каждый неевклидов отрезок AB представляет из себя либо евклидов отрезок (если прямая AB перпендикулярна абсолюту), либо дугу окружности, то в первом случае аксиома выполнена очевидно.

Для анализа второго случая допустим, что AB есть искомый неевклидов отрезок. Рассмотрим инверсию i относительно окружности S с центром в точке O, пересечения неевклидовой прямой AB и абсолюта и радиусом R, равным OA > OB (рис. 15.2.4). При этом образом невклидовой прямой AB будет луч где


а образом неевклидова отрезка – отрезок евклидова луча Здесь – вторая точка пересечения неевклидовой прямой AB и абсолюта. Так как является образом отрезка AB при неевклидовом движении, то они равны по определению и, следовательно, имеют равные длины. Так как аксиома выполнена для евклидова отрезка , то она выполнена и для неевклидова отрезка AB.

Рисунок 15.2.4

Аксиома II.2.

Возможны несколько случаев.

Пусть неевклидов луч представляет из себя луч евклидовой прямой, который не имеет точки пересечения с абсолютом (рис. 15.2.5). Тогда выполнение аксиомы следует из ее справедливости для евклидова луча.
Пусть неевклидов луч представляет из себя часть евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту и ограниченной началом A луча (включая точку A) и точкой O, лежащей на абсолюте (рис. 15.2.6).




Сделаем преобразование инверсии относительно окружности S с центром в точке O и радиусом OA. По свойствам инверсии отрезок OA преобразуется в луч евклидовой прямой OA с началом в точке A. В соответствии с аксиомой II.2 на полученном луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины и только один. Пусть B – конец этого отрезка. Тогда ее прообразом при инверсии i является некоторая точка искомого евклидова луча. Так как отрезок переводится в отрезок AB неевклидовым движением, то они равны и равны их длины. Это завершает доказательство.

Неевклидов луч – дуга AO полуокружности, содержащая точку A – начало луча, и не содержащая точку O, точку пересечения полуокружности с абсолютом (рис. 15.2.7). Как и в случае рассмотрения аксиомы II.1, сделаем преобразование инверсии i относительно окружности S с центром в точке O и радиусом AO. Образом неевклидова луча AO будет луч евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту. На этом луче можно отложить отрезок данной длины и только один. Пусть B – конец этого отрезка. Далее обоснование дословно повторяет обоснование, приведенное в предыдущем пункте

Рисунок 15.2.7

Аксиома непрерывности III для неевклидовых отрезков сводится к случаю евклидовых отрезков проектированием на абсолют (рис. 15.2.8) или преобразованием неевклидова отрезка в отрезок евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту, с помощью инверсии, описанной при доказательстве справедливости аксиомы II.1. В модели Пуанкаре выполняется аксиома IV.1. Неевклидовы полуплоскости изображены на рис. 15.2.9. Неевклидов отрезок, соединяющий две точки неевклидовой полуплоскости, не пересекает ее границы. Действительно, предположив противное, мы пришли бы к тому, что евклидовы окружности пересекались бы в четырех точках (рис. 15.2.10), что невозможно

Рисунок 15.2.8

Рисунок 15.2.8

Рисунок 15.2.10

Аксиома IV.2.
Возможные реализации углов в модели Пуанкаре для неевклидовых углов показаны на рис. 15.2.11.

Рисунок 15.2.11

Рисунок 15.2.12

Из рисунка видно, что неевклидовыми углами являются угол между пересекающимися окружностями, а также между окружностью и пересекающей ее прямой. В соответствии с определением, данным в разделе 13, угол между пересекающимися окружностями это – угол между касательными к ним прямыми, проведенными в точке пересечения, а угол между окружностью и пересекающей ее прямой – это угол между касательной к окружности в точке пересечения и прямой.

Таким образом величины неевклидовых углов определяются через величины соответствующих евклидовых углов. Отсюда достаточно очевидна справедливость аксиомы IV.2.


Аксиома IV.3.

Пусть неевклидовым лучом является луч (или часть луча) евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту (рис. 15.2.12). В соответствии с аксиомой IV.3 отложим от луча в данную полуплоскость евклидов угол с заданной градусной мерой. Это можно сделать и единственным образом. Пусть p – другая сторона этого угла. Через вершину луча проведем прямую q, перпендикулярную к лучу p до пересечения с абсолютом в точке O. Такая точка существует и единственна. Проведем полуокружность с центром в точке O и радиусом OA. Такая окружность существует и единственна. В силу определения и построения угол между искомым неевклидовым лучом и построенной окружностью имеет данную градусную меру.
Пусть неевклидовым лучом с вершиной A является часть AB полуокружности (рис. 15.2.13) с центром в точке O на абсолюте.

Рисунок 15.2.13

Проведем касательную p к полуокружности в точке A и отложим от луча AC угол, равный данному, в полуплоскость, не содержащую данную полуокружность. Пусть q – вторая сторона угла. Восстановим перпендикуляр к лучу q в точке A. Если этот перпендикуляр пересекает абсолют в точке H, то, построив полуокружность с центром в точке H и радиусом, равным AH, получим две пересекающиеся в точке A полуокружности, угол между которыми равен α по построению. Если же перпендикуляр не пересекает абсолют, т. е. он параллелен абсолюту или, что то же самое, луч q перпендикулярен x, то второй стороной неевклидова луча является искомый евклидов луч q. Единственность такого угла следует из справедливости аксиомы для евклидовой плоскости.


Проверку аксиомы IV.4 проведем только для случая, когда данный неевклидов луч есть часть полуокружности


Утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и некоторой точки A, не лежащей на a, но и для любой неевклидовой прямой a и любой не лежащей на ней точки A (рис. 15.2.14).

Рисунок 15.2.14

Приведенное выше рассмотрение позволяет сделать вывод о непротиворечивости геометрии Лобачевского и обосновать независимость аксиомы параллельности от остальных аксиом групп I–IV с той степенью строгости, конечно, с которой была построена и обоснована модель Пуанкаре в данном изложении.

Используя модель Пуанкаре, можно изучить свойства плоскости Лобачевского. На плоскости Лобачевского L' через каждую точку A, не лежащую на прямой a, проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих прямую a (рис. 15.2.15).

Рисунок 15.2.15

Рисунок 15.2.16

Все эти прямые заполняют два вертикальных угла, ограниченных прямыми p и q. Граничные прямые p и q, не пересекающие прямую a, называются на плоскости Лобачевского параллельными прямой a и проходящими через A. Каждому направлению на прямой a соответствует своя параллельная прямая, проходящая через A.

Характерным свойством параллельных прямых на плоскости Лобачевского является то, что они неограниченно сближаются в направлении параллельности и неограниченно расходятся в противоположном направлении (рис. 15.2.16).

Те прямые на плоскости Лобачевского, которые и не пересекаются, и не параллельны, называются расходящимися. Характерное свойство расходящихся прямых – наличие у них единственного перпендикуляра.

В модели Пуанкаре параллельные прямые изображаются полуокружностями и лучами, касающимися на абсолюте (рис. 15.2.17, а).

Рисунок 15.2.17

Рисунок 15.2.18

Существование таких зависимостей между длинами отрезков и углами означает, что на плоскости Лобачевского нет подобных фигур.

Например, на плоскости Лобачевского справедлив признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского меньше 180°. Разность между 180° и суммой углов треугольника называется избытком треугольника. Оказывается, что на плоскости Лобачевского площадь треугольника пропорциональна его избытку. Следовательно, на плоскости Лобачевского площади треугольников ограничены некоторой постоянной. Величины углов на плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре равны величинам соответствующих углов на евклидовой плоскости. Поэтому все перечисленные свойства углов плоскости L можно увидеть на модели Пуанкаре.

Для иллюстрации аксиомы о параллельности прямых рассмотрим следующую схему. Имея прямую a и точку A вне ее, соединяем A с точкой P, лежащей на a, и отодвигаем точку P в положение P', P'', ... и все дальше, и дальше на a (иными словами, представляется последовательность точек P, P', P'', ... или соответственно последовательность прямых AP, AP', AP'', ...). Прямая AP при этом вращается вокруг A и достигнет некоторого предельного положения, когда P удалится в бесконечность, и эту предельную прямую и надо понимать как прямую, параллельную прямой a, проходящую через A.

При этом нет никаких изначальных соображений, в силу которых прямая AP должна приближаться к одному и тому же предельному положению при удалении P в бесконечность как в одну, так и в другую сторону, что дает абстрактную возможность существования двух различных прямых, проходящих через A, параллельных прямой a. В этой связи постулат параллельных прямых в евклидовой геометрии – не что иное, как соглашение о том, что эти два предельных положения должны совпадать, и через точку A должна проходить только одна прямая, параллельная прямой a. На примере геометрии Лобачевского было показано, что допущение о несовпадении предельных прямых, а именно отрицание аксиомы о единственности прямой, проходящей через точку A, не привело к противоречию, а наоборот, привело к построению новой неевклидовой геометрии. Однако наряду с геометрией Лобачевского существует еще один вид неевклидовой геометрии, которую полезно упомянуть.

15.3. Геометрия Римана
В своей лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854 году, немецкий математик Риман замечает, что в основе всех предшествовавших исследований лежит допущение того, что прямые имеют бесконечную длину, которое является, конечно, крайне естественным. Но что получится, если отбросить это допущение, если, например, вместо него предположить, что прямые – суть линии замкнутые, вроде больших кругов на сфере. Речь идет по сути о различии между бесконечностью и безграничностью; это различие лучше всего можно понять, рассматривая аналогичное соотношение в двумерной области: безграничными являются как обыкновенная плоскость, так и поверхность сферы, но только первая бесконечна, в то время как другая имеет конечное протяжение.

Риман считает пространство лишь неограниченным, но не бесконечным; тогда прямая становится замкнутой линией, на которой точки расположены как на окружности. Если заставить теперь снова, как и прежде, точку P перемещаться по прямой a все время в одном направлении, то она в конце концов снова вернется к исходному месту, а луч AP вообще не будет иметь никакого предельного положения; не существует вообще никакой прямой, проходящей через точку A параллельно прямой a. Таким образом у Римана строится второй вид неевклидовой геометрии в противоположность геометрии Лобачевского.


Источник: http://www.mathematics.ru