История элементарной геометрии

Данный материал дает представление об элементарной геометрии как одной из составных частей деятельности человека, с тем чтобы люди лучше поняли ее роль в историческом процессе развития, ососнали сущность данной науки и выяснили возможности приложений. Сведения могут быть использованы при подготовке и проведении спецкурсов (спецсеминаров) для студентов педвузов, педуниверситетов. Они окажутся полезными и для учителей математики в их профессиональной деятельности.

Возникновение геометрических понятий в древнем Египте и Вавилоне

Геометрия, как и всякая наука, возникла под влиянием жизненных потребностей. Необходимость повседневного удовлетворения их ставит человека перед целым рядом вопросов о форме окружающих его предметов, вычислениях, связанных с землемерием, строительным делом и т.д. Слово "геометрия" означает "землемерие" и ясно указывает на источник его происхождения.

Имеются вполне достоверные сведения о значительном развитии геометрических знаний в Египте более чем за две тысячи лет до нашей эры. Узкая плодородная полоса земли между пустыней и рекой Нилом ежегодно подвергалась затоплению, и каждый раз разлив смывал границы участков, принадлежавших отдельным лицам. После спада воды требовалось с возможно большей точностью восстановить эти границы, ибо каждый из участков ценился весьма высоко. Это заставило египтян заниматься вопросами измерения, то есть землемерием. Помимо этого, они вели развитую торговлю и поэтому нуждались в умении измерять емкость сосудов. Искусство кораблевождения привело их к астрономическим сведениям. Выдающиеся постройки египтян - пирамиды, которые сохранились до нашего времени, свидетельствуют, что их сооружение требовало знания пространственных форм. Все это указывает на чисто опытное происхождение геометрии.

В древнейшие времена египтяне, приступая к постройке пирамиды, дворца или обыкновенного дома, сначала отмечали направление сторон горизонта (это очень важно, так как освещенность в строении зависит от положения его окон и дверей по отношению к солнцу). Действовали они следующим образом. Для того чтобы найти направление север - юг, втыкали вертикально палку и следили за ее тенью. Она становилась наименьшей, когда ее конец указывал на север.

В строительстве очень важно было знать площадь участка, отведенного под застройку. Для этого древние египтяне использовали особый треугольник, у которого были фиксированные длины сторон.

Занимались измерениями особые специалисты, их называли "натягивателями веревки" - гарпетонаптами. Они брали длинную веревку, делили ее узелками (расстояние между ними равно одному локтю фараона) на двенадцать частей, а концы ее связывали. В направлении север-юг строители устанавливали два колышка на расстоянии четырех частей, отмеченных на веревке. Затем при помощи третьего колышка натягивали ее так, чтобы образовался треугольник, у которого одна сторона имела три части, другая четыре, а третья - пять. Получался прямоугольный треугольник, площадь которого принимали за эталон, если пользовались одной и той же веревкой. При этом сторона, имеющая три части, указывала восточно-западное направление. Вряд ли египетские строители осознавали, что их метод нуждался в каком-либо обосновании.

Но мы теперь знаем, что он основан на доказанном гораздо позднее утверждении, являющимся обратным теореме Пифагора. А последняя была "открыта" через много веков после того, как ею научился пользоваться обыкновенный древнеегипетский мастеровой. Египетская геометрия была практической; в ней не столько рассуждали, сколько интуитивно устанавливали правила действий, удобные для приложений, но никогда их не исследовали. Египтяне правильно вычисляли площади некоторых прямолинейных фигур, таких, как прямоугольник, квадрат, треугольник и трапеция: основание треугольника делилось пополам и умножалось на высоту.

Погребальная камера отца фараона Рамзеса II (около 1300 год до н.э.), оставшаяся недостроенной, дает представление о том, как египтяне украшали внутренние стены. Они переносили рисунок при помощи деления стены на квадратики. Таким методом сейчас широко пользуются художники для переноса изображения. Данный факт подтверждает то, что им были знакомы элементарные свойства подобныx фигур и зачатки теории пропорций.

Как видим, в древнем Египте перед писцами в основном стояли практические проблемы. Многие решения находились путем проб, эмпирически. На наряду с этим в начале II тысячелетия до нашей эры шла интенсивная работа творческой мысли, задачи мысленно обобщались и принимали более абстрактный характер. В начале XX века в результате археологических раскопок, проводившихся между реками Тигром и Ефратом, там, где когда-то процветало государство Вавилон, было обнаружено несколько сотен глиняных табличек. Около трехсот из них относятся к математике и датируются либо временем первой вавилонской династии Хаммурапи (с 1894 по 1595 гг. до н.э.), либо периодом эпохи Селевкидов (VI-III в.в. до н.э.). На табличках встречаются последовательности чисел, геометрические соотношения и задачи. Математические познания вавилонян применялись при денежном и товарном обмене, в задачах на простые и сложные проценты, при вычислении налогов и распределении урожая. Большинство задач можно отнести к разряду хозяйственных. Хотя характер вавилонской математики был в основном алгебраическим, происхождение задач, записанных писцами, было часто геометрическим, например, вычисление площадей, объемов некоторых простых фигур и тел. Уже 4 - 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат служил эталоном при измерении площадей благодаря своему совершенному виду. Но геометрическая форма задачи обычно являлась только средством для того, чтобы поставить алгебраический вопрос.

К задачам, которые вавилоняне решали алгебраическим и арифметическим методом, относятся и многие задания на определение длин, площадей при делении земельных участков, объемов земляных выемок, хозяйственных построек. Все решения, встречающиеся в клинописных текстах, ограничиваются простым перечислением этапов вычисления в виде догматических правил: "делай то - то, делай так - то". В дошедших до нас вавилонских табличках имеются задачи абстрактного характера и внешне кажущиеся не связанными с практическими нуждами. Но это не так: они возникли в результате теоретической обработки условий, первоначально порожденных потребностями практики при межевании земель, возведении стен и насыпей, при строительстве каналов, плотин, оборонительных сооружений и пр. Сохранилось немало планов земельных угодий, разделенных на участки прямоугольной, трапецеидальной или треугольной форм. Но соответствующие геометрические фигуры воспринимались ими как абстрактные, так прямоугольник они называли "то, что имеет длину и ширину", трапецию - "лбом быка", сегмент - "полем полумесяца", параллельные прямые - "двойными прямыми". У вавилонян не было таких геометрических понятий как точка, прямая, линия, поверхность, плоскость, параллельность. Измерение производилось при помощи веревки. Геометрические познания вавилонян превышали египетские.

Расцвет государства Вавилон коснулся различных областей знаний. Наблюдения за небесными светилами, вызванные необходимостью путешествий по водным путям и караванными тропами, оформились у вавилонских жрецов в науку астрологию. Изучение небесных явлений позволило им создать астрономию. Они знали скорость движения Луны, продолжительность лунного месяца, периодичность солнечных и лунных затмений. Знания вавилонян оказали заметное влияние на последующее развитие математики.

Геометрия в древней Греции

Древнеегипетскую и вавилонскую культуру в области математики продолжали греки. Они не только усвоили весь опыт их геометрии, но и пошли гораздо дальше. Ученые древней Греции сумели привести в систему накопленные геометрические знания и, таким образом, заложить начала геометрии как дедуктивной науки.

Греческие купцы познакомились с восточной математикой, прокладывая торговые пути. Но люди Востока почти не занимались теорией, и греки быстро это обнаружили. Они задавались вопросами: почему в равнобедренном треугольнике два угла при основании равны; почему площадь треугольника равна половине площади прямоугольника при одинаковых основаниях и высотах?

К сожалению, не сохранилось первоисточников, описывающих ранний период развития греческой математики. Только благодаря восстановленным текстам четвертого столетия до нашей эры и трудам арабских ученых, которые были богаты переводами сочинений авторов античной Греции, мы располагаем изданиями Евклида, Архимеда, Аполлония и других великий людей. Но в этих произведениях уже представлена вполне развитая математическая наука.

Математика древней Греции прошла длительный и сложный путь развития, начиная с VI столетия до н.э. и по VI век. Историки науки выделяют три периода ее развития в соответствии с характером знаний:

1 - Накопление отдельных математических фактов и проблем (6 - 5B.B. до н.э.).

2 - Систематизация полученных знаний (4 - 3 в.в. до н.э.).

3 - Период вычислительной математики (3в. до н.э. - 6 в.).

Необыкновенный расцвет науки и культуры был тесно связан с общим подъемом греческого производства 6 - 4 в.в. до н.э., жизненными потребностями людей. Проблемы механики, астрономии, строительства, архитектуры, мореплавания требовали совершенствования математических методов, начиная от вычислительной геометрии и до учения об отношениях, способах определения площадей, объемов, центров тяжести.

Большое значение для развития наук имела общественно - политическая жизнь городов - полисов, особенно после установления демократии. В математике так же, как и в политических или судебных спорах, становилось нужным давать точные определения понятий, развивать строгие обоснования. В это время возникли первые философские школы, которые логически объясняли свое миропонимание, исходя из небольшого числа положений, принимаемых без доказательства. Такой логический подход был введен также в геометрию и скоро стал в ней основным методом установления истинности предложений. Как и естествознание, математика, начиная с самого своего формирования как науки, явилась ареной борьбы материализма и идеализма. Выступая против религиозных мифологических фантазий, древнегреческие философы, разделявшие стихийно-материалистические взгляды, искали в самой природе начало бытия, и математика служила средством, содействовавшим им в этих поисках. Между тем философы-идеалисты видели в числах начало всех вещей, а в математике - основу всей науки. Таким образом, пока она не обособилась от философии, борьба двух мировоззрений происходила непосредственно внутри нее самой.

Опыт филосовских школ


Первой среди научных и философских школ древней Греции была ионийская (VI в. до н.э.). Ее ученые впервые стали заниматься геометрией, однако строгой геометрической системы не создали. У них имелось лишь собрание правил, найденных эмпирическим путем, которыми они пользовались при конкретных построениях.

Представителем новой формы рационального мышления в математике, основателем ионийской школы считается Фалес Милетский (640 - 548 г.г. до н.э.). Во время путешествий он посетил Египет, где и познакомился с астрономией и геометрией. Легенда рассказывает о том, что Фалес привел в изумление египетского царя Амазиса, измерив высоту одной из пирамид по величине отбрасываемой ею тени (рис. 6). Задача. Измерить высоту пирамиды по отбрасываемой ею тени. (Размеры даны в локтях; 1 локоть = 7 ладоням = 466 мм.) В геометрии ему приписывают ряд утверждений. Вот первое из них: "Диаметр делит окружность (круг) пополам". Доказательством служил рисунок - круг, разделенный на равные секторы. Он обосновал также и другие: "Углы при основании равнобедренного треугольника равны", второй признак равенства треугольников. Фалес мыслил углы не как величины, а как фигуры, имеющие некоторую форму.

В этой школе был введен процесс обоснования как необходимый компонент математической деятельности, что являлось отличительной чертой их математики. Свое существование школа прекратила после падения Милета, завоеванного персами в 494 году до н. э. Дальнейшее развитие математики происходило в другой древнегреческой школе, основателем которой был легендарный Пифагор (564-473 г.г. до н. э.).
Ученый был, по преданиям, уроженцем острова Самос. Он учился у Фалеса и Анаксимандра. По совету первого Пифагор отправился для усовершенствования своих знаний в Египет, где прожил около 22 лет и познакомился с теми математическими сведениями, которые хранились жрецами со времен глубокой древности. Возвратившись в Грецию, он основал в Кротоне (южная Италия) научную школу, больше походившую на политическую партию и религиозное братство. Философия пифагорейцев стремилась обосновать вечный и неизменный мировой порядок, а вместе с ним и власть аристократии.

Пифагор и его ученики считали, что с помощью чисел можно выразить все закономерности мира, они являлись основой всех вещей и явлений природы. Пифагорейцы изображали числа в виде точек, группируемых в геометрические фигуры, и называли их фигурными. Так, среди них они выделяли плоские и телесные. Точка, изображавшая единицу была неделимой и имела вокруг себя "поле". Поэтому каждое число можно было задать не только при помощи точек, но и квадратных полей.

Автор: Обухова Анастасия Ивановна; http://isgeom.narod.ru/index.html

Комментарии (3)

Всего: 3 комментария
#1 | Андрей Бузик »» | 16.11.2013 10:42
  
3
Развитие геометрии в Европе

В середине I тысячелетия произошел социальный и политический распад Римской империи, причиной которого был кризис рабовладельческого хозяйства. На месте древней греческой колонии Византии возникло одноименное государство, столицей его в 330 г. стал Константинополь. В первые столетия Византийской империи еще продолжали существовать философские и научные школы. После разгрома такой школы в Александрии в V в. и запрета императором Юстинианом преподавания на территории империи языческой философии многие ученые эмигрировали в Иран и Сирию. Так, в Афинах работал Прокл Диадох (410 - 485), возглавляя афинскую "Академию" - философскую школу последователей Платона. Он был автором комментариев к I книге "Начал" Евклида, являющихся одним из наиболее важных источников по истории античной математики. Из собственных математических результатов ученого наиболее важна его попытка доказать V постулат.

Первыми христианскими византийскими математиками были Анфемий (VI в.) из Тралл и его ученик Исидор из Милета. Первый известен как строитель собора св. Софии в Константинополе; ему принадлежал трактат о зажигательных зеркалах, весьма интересный для истории конических сечений. Второй являлся автором сочинения о правильных многоугольниках, часто присоединяемого к "Началам" в качестве XV книги.

В течение двенадцатого и тринадцатого столетий Генуя, Пиза, Венеция, Милан вели обширную торговлю с арабским миром и Севером. Итальянские купцы посещали Восток и знакомились с его цивилизацией. Одним из них был Леонардо из Пизы, чьи математические работы отличались известной зрелостью. В книге "Практика геометрии" (1220) он рассказал о том, что открыл в области геометрии и тригонометрии во время путешествий. Среди разнообразных сведений было первое доказательство теоремы о пересечении медиан треугольника в одной точке.

В эпоху раннего феодализма и полного господства религии в духовной жизни не было стимулов для научных занятий естествознанием и математикой. Для хозяйства использовали правила измерения простейших фигур. Несколько большие требования к математике предъявлялись в монастырях, так как это были крупные религиозно - идеологические и хозяйственные организации. Заслуживающие внимания результаты получил английский мыслитель, магистр Томас Брадвардин (ок. 1300), который учился в Оксфордском университете, а в конце жизни стал архиепископом Кентерберийским. Его сочинение "Теоретическая геометрия" состояло из четырех разделов, каждый из которых открывался соответствующими определениями. В первом рассматривались звездчатые многоугольники, получаемые из правильных выпуклых многоугольников путем продолжения их сторон до пересечения. Брадвардин установил, что сумма острых углов звездчатого пятиугольника равна двум прямым и увеличивается каждый раз на два прямых с появлением новой вершины. Исследования звездчатых многоугольников представляло собой самостоятельный вклад ученого в науку.

В XIV в. жил Иоанн Педиасим - хранитель печати патриарха в Константинополе, который сочинил трактат об удвоении куба и труд "Геометрия", близкий к "Измерениям" Герона. Монахом Аргиром - переводчиком персидских астрономических сочинений - были написаны комментарии к первым шести книгам Евклида, "Геодезия", а также трактат об извлечении квадратных корней. Деятельность этих ученых приходилась на время политического упадка Византии, вокруг которой все плотнее смыкалось кольцо турецких завоевателей. В начале XV в. наиболее развитой частью Римской империи как в экономическом, так и культурном планах был Восток. Испания и Сицилия являлись самыми близкими пунктами соприкосновения между Западом и Востоком, именно здесь купцы и студенты ознакомились с цивилизацией Ислама. Установившиеся торговые связи, денежное обращение, постепенное усовершенствование техники привели к возникновению национальных государств. Под непосредственным влиянием торговли, навигации, астрономии, землемерия распространялся и интерес к математике. Горожане занимались в основном арифметикой и вычислениями. После падения Константинополя (1453), когда Византийская империя перестала существовать, многие греческие ученые переселились в города Западной Европы. Профессора университетов и образованные миряне стали изучать греческие тексты, бережно сохраненные и переведенные арабами.

Выдающимся математиком и астрономом второй половины XV века был Иоганн Мюллер из Кенигсберга, получивший имя Региомонтан по названию места его рождения. Работал в Венгрии, с 1471 года в Нюрнберге, где создал типографию для издания научных трудов. Систематически вел астрономические наблюдения, совершенствовал свои знания в греческом языке, собирал и переписывал рукописи древнегреческих и арабских ученых, готовил сокращенное изложение "Альмагеста" Птолемея, исправлял ошибки более ранних переводчиков этого произведения. Круг интересов Региомонтана был исключительно широк. Мы остановимся главным образом на его вкладе в развитие тригонометрии.

Становление тригонометрии происходило на стыке различных наук, куда ее включали в качестве вспомогательного раздела. Прошел длительный период, прежде чем она смогла превратиться в самостоятельную отрасль математики. Этому способствовал трактат Региомонтана "Пять книг о треугольниках всех видов" (1464). Он справедливо считается одним из первых сочинений, посвященных тригонометрии как самостоятельной области исследований. Это глубоко оригинальное сочинение несет на себе печать широкой осведомленности автора, как в древнегреческой математике, так и в арабской. Первое выразилось в строгой отточенности и логичности изложения, стройности структуры и ясности доказательств, второе - в использовании известных из арабских источников сведений по тригонометрии, а также в явном стремлении алгебраизировать геометрический раздел математики.

Большое значение для науки имела деятельность Региомонтана по отысканию древнегреческих и арабских рукописей. Результаты своих библиографических изысканий он намеревался опубликовать в личной типографии. Как собиратель и ценитель древних рукописей ученый знал, что при многократном переписывании в оригинальный текст попадают многочисленные описки, ошибки. Кроме того, книгопечатание облегчает распространение научных сведений, содействует развитию науки, стимулирует появление интереса к ней. Но ранняя смерть ученого не дала осуществить даже малую долю его задумок.

В Европе Нового времени (XVII - XVIII в.в.) и, прежде всего, в экономически развитых государствах, укреплялся новый общественный строй - капитализм. Составной частью этого процесса была техническая революция - переход от мануфактурной промышленности к фабричной и как следствие ее - целая серия изобретений, среди которых создание паровой машины. Стремительное развитие математики в эту эпоху было также обусловлено усовершенствованием машин для предприятий, изобретением огнестрельного оружия и книгопечатания, постройкой судов для океанского плавания. От машин путь вел к теоретическому и научному изучению движения, изменения вообще. Н. Тарталья в своей "Новой науке" (1537) рассматривал конструкцию часов и траектории движения снарядов, но еще не смог обнаружить их параболической орбиты. Среди последователей Архимеда выдающееся место занимал фламандский инженер и математик Симон Стевин, который написал работы о центрах тяжести и по гидравлике (1586), способствовал введению десятичной системы счисления.

Революция в астрономии, связанная с именами Н. Коперника, Тихо Браге и И. Кеплера, позволила по-новому взглянуть на место человека во Вселенной и его умение рациональным образом объяснить астрономические явления. Небесная механика давала возможность пополнить земную, что придавало смелости людям науки .

Кеплер отказался от архимедовой точности при вычислении объемов тел, получающихся при вращении конических сечений вокруг оси, лежащей в одной плоскости с ними. Круг в его представлении состоял из бесконечно большого числа треугольников с общей вершиной в центре, а сфера - из бесконечно большого числа утончающихся пирамид. Его книга " Стереометрия винных бочек" (1615) произвела большое впечатление на читателей, так как ученый описал доступный метод определения объема более 80 различных тел вращения (бочек) . Каждому из полученных тел он дал свое оригинальное название: лимон, груша и т.п. в первой части произведения Кеплер по - своему доказал ряд предложений античной геометрии. Начиная с восемнадцатого, ученый использовал эти же приемы к раскрытию новых утверждений, например, он установил, что объем тора равен объему цилиндра, основанием которого являлось меридианное сечение тора, а высотой - длина окружности, описываемой центром образующего тор круга. Кеплер доказал это так. Меридианными сечениями тор разбивался на бесконечно большое число "кружков". Толщина их у внешнего края была больше, чем у внутреннего. Тогда среднее арифметическое этих измерений равно толщине кружочка в средней его части. Поэтому ученый принимал объем такого кружочка равным объему цилиндрического кружочка, имеющего высоту, равную толщине центральной части. Тогда тор и цилиндр, о которых говорилось в условии теоремы, разбивались на равное число равнообъемных частей, что и требовалось показать.

Как видим, Кеплер получает новый результат весьма простым приемом. "Стереометрия винных бочек" - первая работа нового времени, вводящая в геометрию "бесконечно" малые величины и принципы интегрального исчисления. Хотя, как говорил сам ученый во введении, поводом и целью написания книжки первоначально явился частный и практический вопрос об измерении объема винных бочек при помощи одного промера их поперечной длины.

Интерес математиков сосредотачивался главным образом на общих принципах определения объемов тел вращения с помощью бесконечно малых величин. Галилео Галилей дал новую механику свободно падающих тел, был основателем теории упругости. В своих работах он пришел к математическому изучению движения, зависимости между расстоянием, скоростью и ускорением.

Его работы содержат также параболическую орбиту движения снаряда, таблицы для определения высоты и дальности полета в зависимости от угла наклона и заданной начальной скорости. Ученик Галилея - итальянский математик Б.Кавальери (1598 - 1647) - считается основоположником метода неделимых как метода бесконечно малых. В своей "Геометрии неделимых" (1635) ученый рассматривал линии как фигуры составленные из точек, плоскости - из линий, тела - из плоскостей. Для определения площади плоских фигур последние он представлял состоящими из бесконечного множества отрезков (хорд), параллельных некоторой данной прямой, называемой "регулой", ограниченных двумя крайними прямыми. Для нахождения же объема Кавальери разбивал тело параллельными плоскостями на бесконечное множество сечений. Таким образом, представлялись в виде тканей, состоящих из тончайших параллельных нитей, а тела - в виде книг, состоящих из листов, однако с той существенной разницей, что в отличие от нитей и листов, число которых конечно, неделимых параллельных прямых и плоскостей в фигурах бесконечно много. Метод неделимых был использован также другими учеными и послужил одним из важных этапов в создании интегрального исчисления. В XVII в. шло развитие и метода пределов. Григорий Санкт-Винцент (1584 - 1667) в своем сочинении "Геометрический труд", пользуясь античным способом Евдокса - Архимеда, находил площади и объемы новых фигур путем сравнения соответственно с площадями и объемами известных фигур. Он вписывал в данные фигуры известные, чтобы последние "исчерпали" площади или объемы. От употребляемого в этом труде слова "исчерпывать" и произошло название "метод исчерпывания".

После работ Кеплера, Кавальери и других ученых, в которых впервые были применены идеи бесконечного в геометрии, в том же веке последовали работы Ферма, Паскаля, Ньютона и Лейбница, которые привели к формированию новых важнейших понятий - производной, интеграла и к созданию исчисления бесконечно малых.

Постепенное развитие анализа получило мощный импульс, когда была опубликована "Геометрия " (1637) Р.Декарта, объединившая алгебру и классическую геометрию. Декарт искал общий метод мышления, который бы позволял быстрее делать изобретения и выявлять истину в науке. Так как единственной дисциплиной о природе, обладавшей в известной мере систематическим строением, была тогда механика, а ключ к ее пониманию давала математика, то последняя и стала наиболее важным средством для постижения Вселенной.

Декарт опубликовал "Геометрию" в качестве применения своего общего метода. Согласно общепринятой точке зрения заслуга его книги состоит главным образом в создании аналитической геометрии и разработке метода координат. Ученый указал, что кривые аналитически выражаются алгебраическими уравнениями, степени которых не зависят от выбора прямоугольной системы координат. Метод координат позволил неограниченно увеличивать количество изучаемых кривых, так как каждое уравнение, связывающее между собой две переменные величины, представляло новую линию. Независимо от Декарта и немного раньше его в более систематичной форме П.Ферма (1601 - 1665) разработал начала аналитической геометрии, развил метод координат, дав в своей "Геометрии" (1629) уравнения прямой, кривых второго порядка и наметив доказательство положения о том, что все линии второго порядка являются коническими сечениями. Долгое время его труд оставался в рукописи и поэтому не получил такого широкого распространения, как, например, "Геометрия" Декарта.

В основу изложения математики Евклид еще в III в. до н.э. положил девять аксиом и пять постулатов. Все они принимались без доказательства. Особое внимание обращал на себя только пятый постулат в силу меньшей наглядности и обширной формулировки. Попытки его доказательства предпринимались в течение двух тысячелетий сначала в Древней Греции, затем на средневековом Востоке, а позднее - в Западной Европе. Все они оказались неудачными и приводили математиков к мысли о замене его противоположным утверждением, из которого должны были бы получиться абсурдные следствия. Одним из первых по такому пути пошел итальянский математик Джованни Саккери(1667 - 1733). Приведем выполненное им построение и доказательство постулата о параллельных .

В начале XIX в. несколько человек пришли к убеждению о том, что постулат о параллельных недоказуем. Осознали реальность существования других геометрий три математика: К.Ф. Гаусс (1771 - 1855), Н.И.Лобачевский (1792 - 1856), Я. Больяи (1802 - 1866). Ничего не зная об исследованиях другого, каждый из них разработал свою концепцию неевклидовой геометрии.

Лобачевский не только первый опубликовал свое открытие и наиболее глубоко развил новую геометрию, но и всю жизнь мужественно отстаивал ее, поэтому она по праву носит его имя. Создав новую геометрию, Лобачевский, а также и другие ученые, поставил вопрос о ее существовании в природе. Он предположил, что в пространстве больших размеров, как, например наша галактика, имеет место его "воображаемая" геометрия. Позднее учеными была доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского и найдены ее интерпретации на некоторых поверхностях, находящихся в трехмерном евклидовом пространстве.

Появление геометрии Лобачевского оказано огромное влияние на все естественные науки. Это открытие разрушило традиционные взгляды на окружающий мир, вывело ученых из узких рамок созданных ими стереотипов мышления. Они стали более восприимчивы к новым неожиданным научным открытиям. Так, ученые-физики пришли к выводу о существовании в микромире волн-частиц - такого образования, которое не встречается в повседневной жизни. Это стало возможным благодаря созданию новой геометрии.

К концу XIX в. геометрия превратилась в разветвленную и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность математических теорий, изучающих разнообразные пространства и фигуры в них. Одновременно велась разработка уже сложившейся области евклидовой геометрии - элементарной, которая заключалась в уточнении формулировок аксиом. В 1899 г. появился ставшим классическим труд Д. Гильберта (1862 - 1943) "Основания геометрии", в котором он построил аксиоматику геометрии так, что ее логическая структура стала совершенно ясной! Ученый выбрал шесть основных понятий (точка, прямая, плоскость, принадлежность, между, конгруэнтный), содержание которых раскрыл в системе аксиом, состоящей из пяти групп. Не опыт отдельных личностей, а накопленный человечеством длительный тысячелетний опыт подсказал, какие именно аксиомы следует положить в основу геометрии. Вся практическая многовековая деятельность человека подтверждает истинность принятых аксиом и всей построенной на них геометрии. Аксиоматический метод, впервые полностью разработанный Гильбертом на примере геометрической науки, проник и в другие ветви математики (теорию множеств, учение о расширении понятия числа, алгебру и др.).

XX век принес, прежде всего, новую ветвь геометрии. Подобно тому, как аналитическая геометрия создавалась из разрозненных материалов, копившихся в течение нескольких веков, так из многообразных отрывочных идей, разбросанных по всей истории геометрии, складывалась особая дисциплина - топология. В связи с развитием теорий поверхностей и аналитических функций началось систематическое изучение топологических свойств фигур, т.е. свойств сохраняющихся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (сжатии, расширении, искажении размеров и формы фигуры). При топологических преобразованиях должны сохраняться отношения прикосновения, бесконечной близости, или иначе взаимная непрерывность и однозначность. Чтобы наглядно представить это возьмем, например, замкнутую прочную резиновую нить и придадим ей поочередно форму треугольника, квадрата, окружности, овала. Все эти фигуры одинаковы с топологической точки зрения. Однако невозможно с помощью деформации превратить окружность ни в линию, имеющую форму восьмерки, т.к. для этого потребовалось бы склеить две ее точки (нарушилась бы взаимная однозначность), ни в отрезок прямой, т.к. для этого пришлось бы разорвать окружность (нарушилась бы взаимная непрерывность). Поэтому говорят, что окружность и отрезок - топологически различные фигуры.

Термин "топология" впервые ввел немецкий физик, математик и астроном И.Б.Листинг (1808 - 1882) в своей книге "Предварительные исследования по топологии", ставшей первой печатной работой нового направления геометрии. Развитие топологии в 50 - 60-х годах прошлого века было связано с именем Б.Римана (1826 - 1886), который уже в диссертации изложил основные идеи, которые он развил позднее. В своих сочинениях ученый заложил основу топологии многомерных поверхностей. В трудах А.Пуанкаре (1854 - 1912) топология определилась уже как самостоятельная дисциплина со своими общими понятиями, задачами и методами.

Возникшая из практических нужд измерения площадей земельных участков и определения объемов сосудов, амбаров, геометрия прошла длинный и сложный путь, пока превратилась в древней Греции в дедуктивную науку, изложенную в "Началах" Евклида. Не менее сложным, как вы убедились, было дальнейшее ее развитие. Применение к геометрии алгебраического и аналитического методов в трудах Ферма, Декарта, Эйлера и других ученых привело в XVII - XVIII в.в. к созданию и развитию аналитической, а также дифференциальной геометрий. Переломным пунктом в истории науки стало открытие геометрии Лобачевского, за которым последовало построение и развитие новых различных систем геометрических пространств, в том числе n-мерного в трудах Римана, Клейна и других. Благодаря работам Пуанкаре, Гильберта и других ученых XX в., сыгравших существенную роль в развитии топологии и аксиоматики, геометрические методы проникли во многие области современной математике и естествознания. В связи с формированием понятия абстрактного пространства предметом геометрии в широком смысле сегодня являются любые формы и отношения, которые в абстрактном плане сходны с пространственными, любые пространства и фигуры.
#2 | Андрей Бузик »» | 16.11.2013 10:44
  
4
Вклад Евклида в геометрическую науку
Для геометрии эпохи эллинизма характерен интерес к построению логически завершенных теорий . Наиболее ярко эта тенденция отразилась в творчестве Евклида Александрийского (III в. до н.э.).

В III в. до н.э. древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием "Начала". В ней он подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое изложение этой науки. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет преподавание геометрии велось либо по переводам, либо по незначительным переработкам книги Евклида. Но профессиональные математики обращались также и к трудам других великих греческих ученых: Архимеда, Аполлония. Классическую геометрию стали называть евклидовой в отличие от неевклидовых, появившихся в XIX веке.

Об Евклиде история сохранила настолько мало сведений, что нередко высказываются сомнения в самом его существовании. До наших времен дошли сведения, что ученый работал в Александрии, столице царя Птолемея I, начинавшей превращаться в один из центров научной жизни. Он был последователем Платона и преподавал, вероятно, четыре науки: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию.

Евклиду приписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значимость не может быть сравнима с достижениями великих греческих геометров: Фалеса и Пифагора (VI в. до н.э.), Евдокса и Теэтета (IV в. до н.э.). Величайшая заслуга Евклида состоит в том, что он подвел итог построению геометрии и придал ей завершенную форму.

Он с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в сочинение еще XIV и XV книги. Главная особенность "Начал" состоит в том, что они построены по единой логической схеме, и все содержащиеся в них теории строго обоснованы по принципу построения научных дисциплин, который намечался еще у Аристотеля.

Труд Евклида справедливо считают образцом дедуктивной системы, строго выдерживающей изложение, исходящее из общих положений и идущее от них к частным. Однако это обстоятельство вовсе не означает, будто другой элементарный метод исследования, всегда неразрывно связанный с дедукцией, - индукция - в "Началах" отсутствует. Индукция, движение от частного к общему, от единичных данных чувственного опыта к рациональному обобщению, к абстракции неизбежно участвовала в образовании основных понятий, их определений, постулатов и аксиом, равно как и в создании самого логического приема дедукции. Ведь все эти геометрические понятия и логические приемы возникли в результате многократно повторяющегося опыта как отражения реальных предметов, их свойств и связей действительного материального мира, существующего независимо от сознания. Более того, индукция входит в неявном виде в любое геометрическое доказательство и построение. Одни лишь определения, постулаты и аксиомы не способны подсказать ни что следует доказывать или строить, ни то, каким путем это можно осуществить. И на то, и на другое нам указывает чувственная наглядность, как при прямом рассмотрении фигуры и построении вспомогательных линий, так и при помощи геометрической индукции. Индуктивным является и заключение теоремы от частного случая, например, от отдельного треугольника, для которого мы доказали ту или иную теорему, - к общему случаю, ко всем треугольникам вообще.

Так же, как с дедукцией и индукцией, обстоит дело в "Началах" с анализом и синтезом. Хотя в сочинении в явном виде не применяют аналитического метода сведения неизвестного к известному, тем не менее, без него невозможно было бы открытие доказательства. Анализ применяется всегда, когда переходят от определения к построению.

К логической структуре "Начал" относятся "случаи", "возражения", "следствия " и леммы. Под первым понимается то, что предложение может принимать несколько разновидностей зависящих от взаимного расположения элементов фигуры. "Возражение" может встретиться как раз тогда, когда опущено указание на возможные другие случаи. Это, как правило, встречается у древних, которые, зная о существовании других случаев, приводили все же лишь один, предоставляя ученикам находить и разбирать остальные. "Следствия" или королларий - это побочная теорема, найденная как бы невзначай в процессе доказательства основного доказуемого положения. Наконец, под леммой понималось вспомогательное положение, нужное для доказательства, которое обосновывалось до или после основной теоремы.

"Начала" Евклида начинаются с определений, постулатов и аксиом общих понятий. Характер определений у него различен. В большинстве своем они описательны, например: "Точка есть то, что не имеет частей"; генетические (указывающие на способ происхождения вещи), например: "Сфера будет, если при неподвижности диаметра полукруга, вращающийся полукруг снова вернется в то же самое [положение], из которого он начал двигаться, то охваченная фигура [и есть сфера]"; и, наконец, аксиоматические (то есть такие, которые могут быть сформулированы в виде аксиом), например, определение из книги: "Равные круги суть те, у которых диаметры равны, или прямые из центра равны".

В то время, как определения имеются почти в каждой отдельной книге, пять постулатов и общие понятия или аксиомы (их девять) помещены в начале всего труда. Первые из них - это требования для построения некоторых простейших геометрических фигур, между тем, как аксиомы - это общепризнанные положения, не нуждающиеся в доказательстве и лежащие в его основе.

Построения, допускаемые постулатами, предполагают линейку без делений, не разрешающую измерения расстояний. Ею можно пользоваться лишь для соединения двух точек или продолжения отрезка. Циркуль предназначался только для описания из выбранной точки, как из центра, окружности определенного радиуса, а не для переноса отрезка данной длины.

Ограничения, наложенные на употребление линейки и циркуля, были, по-видимому, связаны с тем, что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения прямых, так и для описания окружностей. Эти ограничения не только усложнили выполнение построений, но, главное, - привели к тому, что в "Начала" не были включены те геометрические теории, которые требовали либо "вставок", либо других линий, отличных от прямой и окружности. Именно поэтому здесь не излагалась теория конических сечений, хотя она была в те времена достаточно развита. Но в "Начала" не вошла также и логистика - учение о практических вычислениях, - так как считалась скорее ремеслом, чем наукой.

Многие историки математики объясняют произведенный Евклидом отбор материала тем, что он, следуя Платону и пифагорейцам, считал только прямую и круг "совершенными" линиями. Однако Евклид вовсе не пренебрегал изучением конических сечений, а написал о них отдельное сочинение.

Содержание "Начал" не исчерпывается элементарной геометрией. В них подведен итог более чем трехвековому развитию науки и, вместе с тем, создана прочная база для дальнейших исследований.
#3 | Андрей Бузик »» | 16.11.2013 10:46
  
3
Решение трех знаменитых задач древности

Греки еще издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную прямолинейную, равновеликую ей. В частности, всякая прямолинейная фигура преобразовывалась в равновеликий ей квадрат. Поэтому понятно, что появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Задача получила название квадратуры круга, и многие ученые пытались выполнить такое построение.

Замечательные результаты в связи с решением этой задачи получил известный математик древности Гиппократ Хиосский (ок. 400 г. до н.э.). Он первый указал на то, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Но провести строгое доказательство ученый в то время еще не мог: не было подходящего метода. Найденное Гиппократом Хиосским соотношение позволило свести задачу о квадратуре круга к построению с помощью циркуля и линейки, если это возможно, полученного коэффициента пропорциональности, одного и того же для всех кругов.
Попытки Гиппократа решить задачу о квадратуре круга привели его к открытию квадрируемых фигур (то есть таких, площади которых выражаются в рациональных числах), ограниченных пересекающимися окружностями. Они впоследствии получили название гиппократовых луночек. Вот пример такой луночки (рис.1).

Оказывается, что площади этих фигур равны и имеют общую часть - сегмент АВm.

Если вычтем эту площадь из площади каждой фигуры, то оставшиеся площади будут также равны. Таким образом, получается, что площадь луночки АтВп равна площади треугольника АОВ. Эта квадрируемая фигура - не единственная, которую нашел Гиппократ.

Казалось бы, что с появлением таких луночек найден ключ к решению задачи о квадратуре круга. Она была бы решена, если бы удалось разбить круг на квадрируемые части. Но этого сделать нельзя. Во второй половине прошлого столетия было доказано, что число пи, является трансцендентным, следовательно, нельзя построить с помощью циркуля и линейки отрезок, равный пи, а значит, и решение задачи данными средствами невозможно, так как длина окружности и площадь круга выражаются через пи.

Еще две задачи древности привлекали к себе внимание выдающихся ученых на протяжении многих веков, а попытки их решения обогатили математику значительными результатами.

Возникновение задачи об удвоении куба неизвестно. Она могла появиться из практических потребностей, например, увеличить в два раза вместимость амбара кубической формы, оставляя неизменной его форму.

Однако построить два средних пропорциональных отрезка к двум данным при помощи циркуля и линейки невозможно, что было установлено сравнительно недавно. Тем самым была доказана и невозможность решения задачи об удвоении куба классическими средствами, что заставило древних математиков искать другие способы решения. Они обратились к пространственным кривым, сечениям кругового цилиндра, конуса.

И третья задача, не разрешаемая с помощью циркуля и линейки, - деление угла на три равные части (трисекция угла).

Одним из приемов, применявшимся еще древними для ее решения, являлось механическое с помощью вставки. Правда, оно не считалось строгим. Под вставкой понимают вообще построение отрезка, концы которого лежат на данных линиях и который проходит через некоторую данную точку. Его можно получить механически с помощью линейки, на которой предварительно нанесены две метки на расстоянии, равном длине заданного отрезка. Эту линейку вращают вокруг неподвижной точки, перемещая в то же время таким образом, чтобы одна из меток двигалась по одной из заданных линий. Это продолжается до тех пор, пока вторая метка не окажется на второй заданной линии.

В конце IV в. до н.э. начинается серия завоевательных походов Александра Македонского. За короткий срок ему удалось создать гигантскую империю, но после его смерти полководцы разделили между собой эти территории, образовав державы. Важнейшими из них были царства Птолемеев в Египте и Селевкидов в Малой Азии. Государственным языком в них стал греческий. Началась эпоха эллинизма, которая закончилась взятием римлянами столицы Птолемеев Александрии (31 г. до н.э.).

Этому времени присущ рост городов, в связи с чем большое развития получила строительная техника, требовавшая хорошей математической подготовки инженеров и ремесленников. Для существования монархии были необходимы - армия и флот, поэтому военная техника достигла высокого уровня развития. Конструкции орудий и кораблей нуждались в сложных предварительных расчетах. По этой причине в эллинистических странах на протяжении нескольких столетий бурно развивалась математическая наука. Государства стали выделять большие средства для научных исследований. Так, в Александрии - столице Египта - был основан Музейон (Прибежище Муз) - научно-исследовательское и учебное заведение, куда приглашались крупнейшие ученые. При нем были созданы богатая библиотека, лаборатория, обсерватория, зоологический музей, ботанический сад, анатомический музей.

Ученые Александрии так же, как инженеры и военные, становились профессионалами: их основным занятием были научные исследования. Однако наука, развиваемая ими, нередко находилась в отрыве от техники и ремесел, изучались главным образом теоретические проблемы. Хотя каждый математик являлся одновременно астрономом и физиком, ни в одном их математическом труде нельзя найти даже намека на практическое назначение геометрии.

III-е столетие до нашей эры дало Александрии такие важные достижения в области математики, что вошло в ее историю как "золотой век". Исследования проводились главным образом в направлении обоснования, разработки и систематизации ранее добытых знаний. Вместе с тем, ряд ученых не порвал своих связей с практикой, что содействовало значительным сдвигам математики.
Добавлять комментарии могут только
зарегистрированные пользователи!
 
Имя или номер: Пароль:
Регистрация » Забыли пароль?
 
© decoder.ru 2003 - 2020, создание портала - Vinchi Group & MySites
ЧИСТЫЙ ИНТЕРНЕТ - logoSlovo.RU