Основы теории вероятностей (П. Ферма, Х. Гюйгенс, Я. Бернулли, Б. Паскаль)

Введение.

Сейчас уже трудно установить, кто впервые поставил вопрос, пусть и в несовершенной форме, о возможности количественного измерения возможности появления случайного события. Мало-мальски удовлетворительный ответ на этот вопрос потребовал длительного времени и значительных усилий ряда поколений выдающихся исследователей. В течение долгого периода исследователи ограничивались рассмотрением разного рода игр, особенно игр в кости, поскольку их изучение позволяет ограничиваться простыми и прозрачными математическими моделями.
При изучении факультативного курса «Избранные вопросы математики» вопрос истории развития теории вероятностей не рассматривался, поэтому целью своей работы я считаю проследить путь развития данного раздела математики. Для реализации цели ставлю следующие задачи:
- выделить периоды развития теории вероятностей;
- познакомиться с работами учёных и кругом решаемых ими задач;
- рассмотреть вопросы решаемые теорией вероятностей на современном этапе.


1.Возникновение теории вероятности

Слова «случай», «случайность», «случайно» едва ли не самые употребительные в любом языке. Случайность противопоставляется ясной и четкой информации, строгому логическому развитию событий. Однако так уж велика пропасть между случайным и неслучайным? Ведь случайность, когда она проявляется в поведении не одного объекта, а многих сотен и даже тысяч объектов, обнаруживает черты закономерности. Философы говорят: «путь, которым необходимость идет к цели, вымощен бесконечным множеством случайностей».
Мир – это бесконечное многообразие явлений. Непосредственное общение с миром приводит к мысли, что все явления разделяются на два вида: необходимые и случайные. Необходимые кажутся нам явлениями неизбежно происходящими, а случайные – явлениями, могущими как произойти так и не произойти в одно и тоже время. Существование и изучение необходимых явлений представляется естественным, закономерным. А случайные явления в обыденном представлении кажутся нам крайне редкими, не имеющими закономерностей; они как бы нарушают естественный ход событий. Однако случайные явления происходят всюду и постоянно. В результате взаимодействия многих случайностей появляется ряд явлений, в закономерности которых мы не сомневаемся. Случайность и закономерность неотделимы друг от друга.
Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. «Можно считать, - пишет В.А. Никифоровский, - что теория вероятностей не как наука, а как собрание эмпирических наблюдений, сведений существует издавна, столько, сколько существует игра в кости.
Страстный игрок в кости француз де Мере, стараясь разбогатеть, придумывал новые правила игры. Он предлагал бросать кость четыре раза подряд и держал пари, что при этом хотя бы один раз выпадет шестерка (6 очков). Для большей уверенности в выигрыше де Мере обратился к своему знакомому, французскому математику Паскалю, с просьбой рассчитать вероятность выигрыша в этой игре. Приведем рассуждения Паскаля. Игральная кость представляет собой правильный кубик, на шести гранях которого нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (число очков). При бросании кости "наудачу" выпадение какого-либо числа очков является случайным событием; оно зависит от многих неучитываемых воздействий: начальные положения и начальные скорости различных участков кости, движение воздуха на ее пути, те или иные шероховатости в месте падения, возникающие при ударе о поверхность упругие силы и т. д. Так как эти воздействия имеют хаотичный характер, то в силу соображений симметрии нет оснований отдавать предпочтение выпадению одного числа очков перед другим (если, конечно, нет неправильностей в самой кости или какой-то исключительной ловкости бросающего). Поэтому при бросании кости имеется шесть исключающих друг друга равновозможных случаев, и вероятность выпадения данного числа очков следует принять равной 1/6 . При двукратном бросании кости результат первого бросания - выпадение определенного числа очков - не окажет никакого влияния на результат второго бросания, следовательно, всех равновозможных случаев будет 6 • 6 = 36. Из этих 36 равновозможных случаев в 11 случаях шестерка появится хотя бы один раз и в 5 • 5 = 25 случаях шестерка не выпадет ни разу.
Шансы на появление шестерки хотя бы один раз будут равны 11 из 36, другими словами, вероятность события А, состоящего в том, что при двукратном бросании кости появится хотя бы один раз шестерка, равна 11/100 , т. е. равна отношению числа случаев благоприятствующих событию А к числу всех равновозможных случаев. Вероятность того, что шестерка не появится ни разу, т. е. вероятность события, называемого противоположным событию A, равна 25/36 . При трехкратном бросании кости число всех равновозможных случаев будет 36 • 6 = 63, при четырехкратном 63 • 6 = 64. При трехкратном бросании кости число случаев, в которых шестерка не появится ни разу, равно 25 • 5 = 53, при четырехкратном 53 • 5 = 54. Поэтому вероятность события, состоящего в том, что при четырехкратном бросании ни разу не выпадет шестерка, равна, а вероятность противоположного события, т. е. вероятность появления шестерки хотя бы один раз, или вероятность выигрыша де Мере, равна. Таким образом, у де Мере было больше шансов выиграть, чем проиграть. Рассуждения Паскаля и все его вычисления основаны на классическом определении понятия вероятности как отношения числа благоприятствующих случаев к числу всех равновозможных случаев. Важно отметить, что произведенные выше расчеты и само понятие вероятности как числовой характеристики случайного события относились к явлениям массового характера. Утверждение, что вероятность выпадения шестерки при бросании игральной кости равна 1/6, имеет следующий объективный смысл: при большом количестве бросаний доля числа выпадений шестерки будет в среднем равна 16; так, при 600 бросаниях шестерка может появиться 93, или 98, или 105 и т. д. раз, однако при большом числе серий по 600 бросаний среднее число появлений шестерки в серии из 600 бросаний будет весьма близко к 100.

2.Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья

Еще в шестнадцатом веке видные итальянские математики Тарталья (1499–1557) (приложение 1) и Кардано (1501–1575) (приложение 2) обратились к задачам теории вероятностей в связи с игрой в кости и подсчитали различные варианты выпадения очков. Кардано в своей работе «Об азартной игре» привел расчеты, очень близкие к полученным позднее, когда теория вероятностей уже утвердилась как наука. Кардано сумел подсчитать, сколькими способами даст метание двух или трех костей то или иное число очков. Он определил полное число возможных выпадений. Он правильно подсчитал числа различных случаев, которые могут произойти при бросании двух и трех костей. Кардано указал число возможных случаев появления хотя бы на одной из двух костей определенного числа очков. Кардано предложил рассматривать отношение 1/6 (вероятность выбрасывания заданного числа очков при бросании одной кости), 11/36 (вероятность получить хотя бы на одной из двух костей грань с заданным числом очков) которое мы теперь называем классическим определением вероятности. Кардано не заметил, что стоял на пороге введения важного понятия для всего дальнейшего развития большой главы математики, да и всего количественного естествознания. Рассматриваемые им отношения воспринимаются им скорее чисто арифметически, как доля случаев, чем как характеристика возможности появления случайного события при испытании. Другими словами, Кардано вычислил вероятности тех или иных выпадений. Однако все таблицы и вычисления Тартальи и Кардано стали лишь материалом для будущей науки. «Исчисление вероятностей, всецело построенное на точных заключениях, мы находим впервые только у Паскаля и Ферма», - утверждает Цейтен.

3.Вклад Б. Паскаля и П. Ферма в развитие теории вероятностей
Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль(приложение 3) и Пьер де Ферма(приложение 4) открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей(приложение 5). Независимо от Паскаля Ферма разработал основы теории вероятностей. Именно с переписки Ферма и Паскаля (1654), в которой они, в частности, пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей, отсчитывает свою историю эта замечательная наука. Результаты Ферма и Паскаля были приведены в книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре» (1657), первом руководстве по теории вероятностей. Первая задача сравнительно легка: надо определить, сколько может быть различных сочетаний очков; лишь одно из этих сочетаний благоприятно событию, все остальные неблагоприятны, и вероятность вычисляется очень просто.
Теория сложения вероятностей:
Если событие C означает, что наступает одно из двух несовместимых событий: A или B, то вероятность события C равна сумме вероятностей событий A и B.
Рассмотрим пример:
На карточках написали натуральные числа от 1 до 10 включительно, после чего карточки перевернули и перемешали. Затем наугад открыли одну карточку. Какова вероятность того, что на ней будет написано простое число или число, больше 7?
Пусть событие A означает, что на карточке написано простое число, а событие B означает число, больше 7. Для события A благоприятными являются 4 исхода из 10 равновозможных (появление одного из чисел 2, 3, 5, 7), т.е. вероятность события A равна 0,4. Для события B благоприятными являются 3 исхода из 10 равновозможных (появление чисел 8, 9, 10), т.е. вероятность события B равна 0,3.
Нас интересует событие C, когда на карточке написано простое число или число, больше 7. Событие C наступает тогда, когда наступает одно из событий: A или B. Очевидно, что эти события являются несовместимыми. Значит, вероятность события равна сумме вероятностей событий A и B, т.е.
P(C) = P(A)+P(B)=0.4+0.3=0.7.
При решении некоторых задач бывает удобно воспользоваться свойством вероятностей противоположных событий.
Разъясним смысл понятия «противоположные события» на примере бросания игрального кубика. Пусть событие A означает, что выпало 6 очков, а событие B-что не выпало 6 очков. Всякое наступление события A означает ненаступление события B, а ненаступление события A-наступление события B. В таких случаях говорят что, что A и B- противоположные события.
Найдем вероятность событий A и B.
Для события A благоприятным является один исход из шести равновозможных исходов, а для события B- пять исходов из шести. Значит:

P(A)=1/6, P(B)=5/6.
Нетрудно заметить, что
P(A)+ P(B)=1
Вообще, сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Действительно, пусть проводится некоторое испытание и рассматривают два события: событие A и противоположное ему событие, которое принято обозначать Ᾱ.
События A и Ᾱ-несовместные события. Событие, означающее наступление хотя бы одного из них, т.е. A или Ᾱ, является достоверным событием. Отсюда следует, что сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1, т.е.
P(A)+P(Ᾱ)=1.
Теория умножения вероятностей:
Если событие C означает совместное наступление двух независимых событий A и B, то вероятность события C равна произведению вероятностей событий A и B.
Приведем пример:
В непрозрачном пакете лежат девять жетонов с номерами 1, 2, …, 9. Из пакета наугад вынимают один жетон, записывают его номер и жетон возвращают в пакет. Затем опять вынимают жетон и записывают его номер. Какова вероятность того, что оба раза будут вынуты жетоны, номера которых являются простыми числами?
Пусть событие A состоит в том, что в первый раз вынут жетон, номер которого является простым числом, а событие B-в том, что во второй раз вынут жетон, номер которого является простым числом. Тогда P(A)=4/9 и P(B)=4/9, так как из чисел 1, 2, …, 9 четыре числа являются простыми. Рассмотрим событие C, которое состоит в том, что оба раза вынуты жетоны, номера которых являются простыми числами.
Событие B не зависит от события A, так как на повторное извлечение жетона не влияет то, какой жетон был вынут в первый раз (извлеченный в первый раз жетон был возвращен в пакет).
Значит,
P(C)=P(A)*P(B), т.е. P(C)=4/9*4/9=16/81≈0.2.
Заметим, что если бы после первого извлечения жетон не возвращался обратно, то события A и B были бы зависимыми, так как вероятность события B зависела бы от того, вынут ли в первом случае жетон, номер которого является простым числом, или нет.
Вторая задача значительно труднее. Обе были решены одновременно в Тулузе математиком Ферма и в Париже Паскалем. По этому поводу в 1654 году между Паскалем и Ферма завязалась переписка, и, не будучи знакомы лично, они стали лучшими друзьями. Ферма решил обе задачи посредством придуманной им теории сочетаний. Решение Паскаля было значительно проще: он исходил из чисто арифметических соображений. Нимало не завидуя Ферма, Паскаль, наоборот, радовался совпадению результатов и писал: «С этих пор я желал бы раскрыть перед вами свою душу, так я рад тому, что наши мысли встретились. Я вижу, что истина одна и та же в Тулузе и в Париже».
Работы над теорией вероятностей привели Блеза Паскаля к другому замечательному математическому открытию, он составил так называемый арифметический треугольник, позволяющий заменять многие весьма сложные алгебраические вычисления простейшими арифметическими действиями.
Треугольник Паскаля(Приложение 6) — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля.
Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух, расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Имеет применение в теории вероятности и обладает занимательными свойствами.

4.Работы Гюйгенса, Бернулли, Лапласа и Пуассона


Под влиянием поднятых и рассматриваемых Паскалем и Ферма вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс (приложение 7). При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше издания писем Паскаля и Ферма. В 1657 г. появляется еще один труд Гюйгенса «О расчетах при игре в кости» — одна из первых работ по теории вероятностей. Еще одно сочинение «Об ударе тел» он пишет для своего брата. Несколько позднее Паскаля и Ферма к теории вероятностей обратился Хейнгенс Христиан Гюйгенс (1629-1695). До него дошли сведения об их успехах в новой области математики. Гюйгенс пишет работу «О расчетах в азартной игре». Она впервые вышла в виде приложения к «Математическим этюдам» его учителя Схоотена в 1657 году. До начала восемнадцатого века «Этюды...» оставались единственным руководством по теории вероятностей и оказали большое влияние на многих математиков. В письме Схоотену Гюйгенс заметил: «Я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории». Подобное высказывание говорит о том, что Гюйгенс глубоко понимал существо рассматриваемого предмета. Именно Гюйгенс ввел понятие математического ожидания и приложил его к решению задачи о разделении ставки при разном числе игроков и разном количестве недостающих партий и к задачам, связанным с бросанием игральных костей. Математическое ожидание стало первым основным теоретико-вероятностным понятием.
В XVII веке появляются первые работы по статистике. Они посвящены, главным образом, подсчету распределения рождений мальчиков и девочек, смертности людей различных возрастов, необходимого количества людей разных профессий, величины налогов, народного богатства, доходов. При этом применялись методы, связанные с теорией вероятностей. Подобные работы способствовали ее развитию. Галлей при составлении таблицы смертности в 1694 году усреднял данные наблюдений по возрастным группам. По его мнению, имеющиеся отклонения «видимо, вызваны случаем», что данные не имели бы резких отклонений при «намного большем» числе лет наблюдений. Теория вероятностей имеет огромное применение в самых различных областях. Посредством нее астрономы, например, определяют вероятные ошибки наблюдений, а артиллеристы вычисляют вероятное количество снарядов, могущих упасть в определенном районе, а страховые общества - размер премий и процентов, уплачиваемых при страховании жизни и имущества.
А во второй половине девятнадцатого столетия зародилась так называемая «статистическая физика», представляющая собой область физики, специально изучающей огромные совокупности атомов и молекул, составляющие любое вещество, с точки зрения вероятностей.
Следующий этап начинается с появления работы Я. Бернулли «Искусство предположения» (1713 год). Здесь была доказана теорема Бернулли, которая дала возможность широко применять теорию вероятностей к статистике. Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли(приложение 8): он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний.

Теорема Бернулли

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно р.
Возможно определить примерно относительную частоту появления события А.
Теорема. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянно, то сколь угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний р достаточно велико.
Здесь т – число появлений события А. Из всего сказанного выше не следует, что с увеличением число испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности р, т.е. . В теореме имеется в виду только вероятность приближения относительной частоты к вероятности появления события А в каждом испытании.
Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.

В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас(приложение 9) и Пуассон(приложение 10) доказали первые предельные теоремы.
Лаплас расширил и систематизировал математический фундамент теории вероятностей, ввёл производящие функции. Первая книга «Аналитической теории вероятностей» посвящена математическим основам; собственно теория вероятностей начинается во второй книге, в применении к дискретным случайным величинам. Там же — доказательство предельных теорем Муавра - Лапласа и приложения к математической обработке наблюдений, статистике народонаселения и «нравственным наукам».
Производящая функция последовательности {an} — это формальный степенной ряд
.


Зачастую производящая функция последовательности чисел является рядом Тейлора некоторой аналитической функции, что может использоваться для изучения свойств самой последовательности. Однако, в общем случае производящая функция не обязана быть аналитической. Например, оба ряда


и имеют радиус сходимости ноль, то есть расходятся во всех точках, кроме нуля, а в нуле оба равны 1, то есть как функции они совпадают; тем не менее, как формальные ряды они различаются.
Производящие функции дают возможность просто описывать многие сложные последовательности в комбинаторике, а иногда помогают найти для них явные формулы.
Метод производящих функций был разработан Эйлером в 1750-х годах.
Теорема Муавра — Лапласа - одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812. Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события Е равна р (0 меньше р меньше 1) и m - число испытаний, в которых Е фактически наступает, то вероятность неравенства близка (при больших n) к значению интеграла Лапласа.
Лаплас развил также теорию ошибок и приближений методом наименьших квадратов.
«Аналитическая теория вероятностей» Пьера Лапласа издавалась трижды при жизни автора (в 1812, 1814, 1820 годы). Для разработки созданной им математической теории вероятностей Лаплас ввел так называемые производящие функции, которые применяются не только в данной области знания, но и в теории функций, и в алгебре. Ученый обобщил все, что было сделано в теории вероятностей до него Паскалем, Ферма и Я. Бернулли. Он привел полученные ими результаты в стройную систему, упростил методы доказательства, для чего широко применял преобразование, которое теперь носит его имя, и доказал теорему об отклонении частоты появления события от его вероятности, которая также теперь носит имя Лапласа. Благодаря ему теория вероятностей приобрела законченный вид.

5.Работы Эйлера

П. Л. Чебышёв писал: «Эйлером было положено начало всех изысканий, составляющих общую теорию чисел». Большинство математиков XVIII века занимались развитием анализа, но Эйлер( приложение 11) пронёс увлечение древней арифметикой через всю свою жизнь. Благодаря его трудам интерес к теории чисел к концу века возродился.
Эйлер продолжил исследования Ферма, ранее высказавшего (под влиянием Диофанта) ряд разрозненных гипотез о натуральных числах. Эйлер строго доказал эти гипотезы, значительно обобщил их и объединил их в содержательную теорию чисел. Он ввёл в математику исключительно важную «функцию Эйлера» и сформулировал с её помощью «теорему Эйлера». Эйлер создал теорию сравнений и квадратичных вычетов, указав для последних критерий Эйлера.
Функция Эйлера , где n — натуральное число, равна количеству натуральных чисел, не больших n и взаимно простых с ним. Названа в честь Эйлера, который впервые использовал ее в своих работах по теории чисел.
Он опроверг гипотезу Ферма о том, что все числа вида — простые; оказалось, что F5 делится на 641. Доказал утверждение Ферма о представлении нечётного простого числа в виде суммы двух квадратов.
Дал одно из решений задачи о четырех кубах.
Эйлер доказал Великую теорему Ферма для n = 3 и n = 4, создал полную теорию непрерывных дробей, исследовал различные классы диофантовых уравнений, теорию разбиений чисел на слагаемые.
Вели́кая теоре́ма Ферма́ (или последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики; её условие формулируется на понятийном уровне среднего общего образования, а доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Окончательно доказана в 1995 году Уайлсом.
Теорема утверждает, что:

Для любого натурального числа n больше 2 уравнение

не имеет натуральных решений a, b и c.

Он открыл, что в теории чисел возможно применение методов математического анализа, положив начало аналитической теории чисел. В основе её лежат тождество Эйлера и общий метод производящих функций.
Эйлер ввёл понятие первообразного корня и выдвинул гипотезу, что для любого простого числа p существует первообразный корень по модулю p; доказать это он не сумел, позднее теорему доказали Лежандр и Гаусс. Большое значение в теории имела другая гипотеза Эйлера — квадратичный закон взаимности, также доказанный Гауссом.

6.Первые исследования по демографии

Одним из толчков для развития основных понятий теории вероятностей сыграли исследования Джона Граунта (1620–1675) и Вильяма Петти (1623–1687) по демографии.

В январе 1662 года в Лондоне вышла в свет книга английского купца и капитана, впоследствии майора городской милиции, ученого-самоучки Джона Граунта имевшая длинное, как тогда было принято, и весьма красноречивое название: «Естественные и политические наблюдения, перечисленные в прилагаемом оглавлении и сделанные на основе бюллетеней о смертности. По отношению к управлению, религии, торговле, росту, воздуху, болезням и другим изменениям названного города. Сочинение Джона Граунта, гражданина Лондона». Уже из названия книги виден широкий социальный замысел ее автора. В те времена, когда она писалась, в Англии нередко свирепствовала чума и прочие заразные болезни, поэтому бюллетени о смертности имели практическое назначение и публиковались в Лондоне еженедельно. Их читали многие, с тем чтобы при первых же признаках угрозы для своей жизни быстро покинуть город. Граунт первым увидел в скорбных бюллетенях пользу для науки. Изучив ведомости о смертях и рождениях в Лондоне за 80 лет, он обратил внимание на существование в населении целого ряда закономерностей.

В частности, он установил, что мальчиков рождается больше, чем девочек, причем соотношение полов среди родившихся — постоянно и составляет для Лондона 14 к 13 (т.е. мальчиков рождается на 7,7% больше, чем девочек). Он заметил также, что и среди умерших больше мужчин, чем женщин, что в Лондоне смертность превышает рождаемость и население города растет только за счет переселенцев, что в провинции, напротив, рождаемость выше смертности, что каждый брак в среднем дает 4 рождения, что по числам рождений и смертей можно определить численность населения города, а по возрастной структуре умерших — возрастную структуру населения. Среди этих смертей было отмечено 71 124 смерти детей от 0 до 6 лет. Причины смертей были тщательно перечислены Граунтом. Он специально отметил, что отношение числа смертей детей от 0 до 6 лет к общему числу смертей за тот же период времени, равное 71 124/229 250, приблизительно равняется 1/3. Иными словами, Граунт ввел представление о частоте события. Для развития теории вероятностей это обстоятельство сыграло огромную роль, как и его замечание: «…мы бы хотели отметить, что некоторые из случайностей имеют постоянное отношение к числу всех похорон». Здесь Граунт вплотную подошел к представлению о статистической устойчивости средних.

Уже одно это было важно, ведь ни переписей населения, ни какой-либо другой статистики (кроме церковной) еще не существовало. Наконец, Граунт был первым, кто построил первую математическую таблицу (модель) смертности, описывающую закономерное увеличение вероятности смерти по мере старения людей. Ныне такая модель, конечно же, несравненно более совершенная, нежели созданная Граунтом, является одним из главных орудий в арсенале демографии, причем используется для анализа не только смертности, но и брачности, рождаемости, возрастной структуры населения, для разработки прогнозов численности и структуры населения. Тоненькая книжка Граунта (всего 90 страниц) послужила зачатием не одной, а сразу трех наук: статистики, социологии и демографии, которые затем на протяжении трех столетий выясняли между собой «родственные» отношения — кто кому кем приходится. Но сначала прямым «потомком» книги Граунта явилась политическая арифметика — наука, стремившаяся изучать количественные (точнее, статистические) закономерности общественных явлений и процессов.

Понятие частоты подхватили другие авторы. Так в небольшой книге В. Петти «Два очерка по политической арифметике, относящиеся к людям, зданиям, больницам в Лондоне, Париже», вышедшей в 1682 г. в Лондоне, а через два года во французском переводе в Париже, были даны сравнительные данные о смертности в госпиталях Парижа и Лондона.

7. Развитие теории вероятности в 19-20 веках

Один из периодов истории исследования теории вероятностей (2-я половина 19 в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). Теория вероятностей развивалась в России и раньше (в 18 в. ряд трудов работавших в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли; во второй период развития теории вероятностей следует отметить работы М. В. Остроградского по вопросам теории вероятностей, связанным с математической статистикой, и В. Я. Буняковского по применению теории вероятностей к страховому делу, статистике и демографии). Со 2-й половины 19 века исследования по данному вопросу в России занимают ведущее место в мире. Чебышев и его ученики Ляпунов и Марков поставили и решили ряд общих задач в теории вероятностей, обобщающих теоремы Бернулли и Лапласа. Чебышев(приложение 12) чрезвычайно просто доказал (1867) закон больших чисел при весьма общих предположениях. Он же впервые сформулировал (1887) центральную предельную теорему для сумм независимых случайных величин и указал один из методов её доказательства. Другим методом Ляпунов получил (1901) близкое к окончательному решение этого вопроса. Марков впервые рассмотрел (1907) один случай зависимых испытаний, который впоследствии получил название цепей Маркова. А. А. Марков является первооткрывателем обширного класса стохастических процессов с дискретной и непрерывной временной компонентой, названных его именем. Марковские процессы обладают следующим (марковским) свойством: следующее состояние процесса зависит, вероятностно, только от текущего состояния. В то время, когда эта теория была построена, она считалась весьма абстрактной, однако в настоящее время практические применения данной теории чрезвычайно многочисленны. Теория цепей Маркова выросла в огромную и весьма важную область научных исследований — теорию марковских случайных процессов, которая в свою очередь представляет основу общей теории стохастических процессов. А. А. Марков существенно продвинул классические исследования предшественников, касающиеся закона больших чисел и центральной предельной теоремы теории вероятностей, а также распространил их и на цепи Маркова.

Следует указать, что А. А. Марков своим открытием (как и затем А. Н. Колмогоров, предложивший строгую теоретико-вероятностную формулировку на основе теории меры) сделал крупнейший вклад в теорию случайных процессов и теорию вероятностей вообще.

Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Аксиоматика Колмогорова — общепринятый аксиоматический подход к математическому описанию события и вероятности; предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1929, окончательно в 1933; придал теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.

В Западной Европе во 2-й половине 19 века получили большое развитие работы по математической статистике (в Бельгии - А. Кетле, в Англии - Ф. Гальтон) и статистической физике (в Австрии - Л. Больцман), которые наряду с основными теоретическими работами Чебышева, Ляпунова и Маркова создали основу для существенного расширения проблематики теории вероятностей в современном периоде её развития. Этот период истории исследования данной теории характеризуется чрезвычайным расширением круга её применений, созданием нескольких систем безукоризненно строгого математического обоснования теории вероятностей, новых мощных методов, требующих иногда применения (помимо классического анализа) средств теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа. В этот период при очень большом усилении работы по теории вероятностей за рубежом (во Франции - Э. Борель, П. Леви, М. Фреше, в Германии - Р. Мизес, в США - Н. Винер, В. Феллер, Дж. Дуб, в Швеции - Г. Крамер) советская наука продолжает занимать значительное, а в ряде направлений и ведущее положение. В нашей стране новый период развития теории вероятностей открывается деятельностью С. Н. Бернштейна, значительно обобщившего классические предельные теоремы Чебышева, Ляпунова и Маркова и впервые в России широко поставившего работу по применению теории вероятностей к естествознанию. В Москве А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров начали с применения к вопросам теории вероятностей методов теории функций действительного переменного. Позднее (в 30-х гг.) они (и Е. Е. Слуцкий) заложили основы теории случайных процессов. В. И. Романовский (Ташкент) и Н. В. Смирнов (Москва) поставили на большую высоту работу по применениям теории вероятностей к математической статистике. Кроме обширной московской группы специалистов по теории вероятностей, в настоящее время разработкой проблем теории вероятностей занимаются в Киеве (во главе с Ю. В. Линником).

8.Применение теории вероятностей

В 19 и 20 столетиях теория вероятностей проникает сначала в науку (астрономию, физику, биологию), потом в практику (сельское хозяйство, промышленность, медицину), и наконец, после изобретения компьютеров, в повседневную жизнь любого человека, пользующегося современными средствами получения и передачи информации. Проследим применение в различных областях.

1.Астрономия.
Именно для использования в астрономии был разработан знаменитый “метод наименьших квадратов” (Лежандр 1805, Гаусс 1815). Главной задачей, для решения которой он был первоначально использован, стал расчет орбит комет, который приходилось производить по малому числу наблюдений. Ясно, что надежное определение типа орбиты (эллипс или гипербола) и точный расчет ее параметров оказывается трудным, так как орбита наблюдается лишь на небольшом участке. Метод оказался эффективным, универсальным, и вызвал бурные споры о приоритете. Его стали использовать в геодезии и картографии. Сейчас, когда искусство ручных расчетов утрачено, трудно представить, что при составлении карт мирового океана в 1880-х годах в Англии методом наименьших квадратов была численно решена система, состоящая из примерно 6000 уравнений с несколькими сотнями неизвестных.

2.Физика.
Во второй половине 19 века была в работах Максвелла, Больцмана и Гиббса была развита статистическая механика, которая описывала состояние разряженных систем, содержащих огромное число частиц (порядка числа Авогадро). Если раньше понятие распределения случайной величины было преимущественно связано с распределением ошибок измерения, то теперь распределенными оказались самые разные величины – скорости, энергии, длины свободного пробега.

3.Биометрия.
В 1870-1900 годах бельгиец Кетле и англичане Френсис Гальтон и Карл Пирсон основали новое научное направление – биометрию, в которой впервые стала систематически и количественно изучаться неопределенная изменчивость живых организмов и наследование количественных признаков. В научный оборот были введены новые понятия – регрессии и корреляции.
Итак, вплоть до начала 20 века основные приложения теории вероятности были связаны с научными исследованиями. Внедрение в практику – сельское хозяйство, промышленность, медицину произошло в 20 веке.

4.Сельское хозяйство.
В начале 20 века в Англии была поставлена задача количественного сравнения эффективности различных методов ведения сельского хозяйства. Для решения этой задачи была развита теория планирования экспериментов, дисперсионный анализ. Основная заслуга в развитии этого уже чисто практического использования статистики принадлежит сэру Рональду Фишеру, астроному по образованию, а в дальнейшем фермеру, статистику, генетику, президенту английского Королевского общества. Современная математическая статистика, пригодная для широкого применения в практике, была развита в Англии (Карл Пирсон, Стьюдент, Фишер). Стьюдент впервые решил задачу оценки неизвестного параметра распределения без использования байесовского подхода.

5.Промышленность.
Введение методов статистического контроля на производстве (контрольные карты Шухарта). Сокращение необходимого количества испытаний качества продукции. Математические методы оказываются уже настолько важными, что их стали засекречивать. Так книга с описанием новой методики, позволявшей сократить количество испытаний (“Последовательный анализ” Вальда), была издана только после окончания второй мировой войны в 1947 году.

6.Медицина.
Широкое применение статистических методов в медицине началось сравнительно недавно (вторая половина 20 века). Развитие эффективных методов лечения (антибиотики, инсулин, эффективная анестезия, искусственное кровообращение) потребовало достоверных методов оценки их эффективности. Возникло новое понятие “Доказательная медицина”. Начал развиваться более формальный, количественный подход к терапии многих заболевании – введение протоколов, guide lines.
С середины 1980-х годов возник новый и важнейший фактор, революционизировавший все приложения теории вероятностей – возможность широкого использования быстрых и доступных компьютеров. Почувствовать всю громадность произошедшего переворота можно, если учесть, что один современный персональный компьютер превосходит по быстродействию и памяти все компьютеры СССР и США, имевшиеся к 1968 году, времени, когда уже были осуществлены проекты, связанные со строительством атомных электростанций, полетами на Луну, созданием термоядерной бомбы. Сейчас методом прямого экспериментирования можно получать результаты, которые ранее были недоступны – thinking of unthinkable.

7.Биоинформатика.
Начиная с 1980-х годов количество известных последовательностей белков и нуклеиновых кислот стремительно возрастает. Объем накопленной информации таков, что только компьютерный анализ этих данных может решать задачи по извлечению информации.

8.Экономика и банковское дело.
Широкое применение имеет теория риска. Теория риска есть теория принятия решений в условиях вероятностной неопределенности. С математической точки зрения она является разделом теории вероятностей, а приложения теории риска практически безграничны. Наиболее продвинута финансовая область приложений: банковское дело и страхование, управление рыночными и кредитными рисками, инвестициями, бизнес-рисками, телекоммуникациям. Развиваются и нефинансовые приложения, связанные с угрозами здоровью, окружающей среде, рисками аварий и экологических катастроф, и другими направлениями.

Заключение

Таким образом, рассмотрев историю развития теории вероятностей, я пришёл к следующим выводам:
- возникновение данной теории не было случайным явлением в науке, а было вызвано необходимостью дальнейшего развития технологии;
- теория вероятностей имеет богатую и поучительную историю, она наглядно показывает как возникали ее основные понятия и развивались методы из задач, с которыми сталкивался общественный прогресс; при этом видно, как человечество переходило от первичных догадок к более полному и совершенному знанию, как создание теории вероятностей позволяло переходить от представлений к более широким концепциям, тем самым, открывая новые возможности для глубоких заключений о природе вещей.
- теория вероятностей продолжает бурно развиваться, в ней появляются новые направления исследований, эти направления представляют значительный общетеоретический и прикладной интерес.
Я полагаю, что материал моей работы может использоваться при изучении разделов теории вероятностей. По моему мнению, привлечение исторического материала на занятиях вызовет интерес у учащихся.
В дальнейшем я планирую подготовить презентацию в программе Microsoft Power Point по теме «Развитие науки о случайном – теории вероятностей».

Работу выполнил: Крылов Александр
Руководитель: Голева Татьяна Алексеевна, учитель математики

2011 год


Литература
1. Колмогоров А. Н. Математика и естествознание в СССР. М. - Л.: ГОНТИ, 1938, с.51-61.
2. Гнеденко Б.В., Журбенко И.Г. Теория вероятностей и комбинаторика//Математика в школе. - 2007. - №7. - С.61-69.
3. Модель Д.Л. Треугольник Паскаля и элементы комбинаторики в школьном курсе математики// Математика в школе. - 2008. - №4. - С.43-50.
4. Тюрин Ю.Н. и др. Теория вероятностей и статистика. – М.:МЦНМО: Московские учебники, 2004
5. Подробно об истории развития теории вероятностей.URL: http://verojatnost.pavlovkashkola.edusite.ru/p8aa1.html(дата обращения:17.02.2011)
6. Теория вероятностей. История развития. URL: http://phizmat.org.ua/2009-04-24-19-11-27/250-2010-05-22-19-12-15(дата обращения:17.02.2011)
7. Небольшой экскурс в историю применения теории вероятности на практике. URL: http://bioinformatics.ru/Misc/terver_history.html (дата обращения:17.02.2011)

Теория вероятностей на ЕГЭ по математике

В этом видеоматериале — разбор ВСЕХ типов задач по теории вероятностей из Банка заданий ФИПИ. Просто. Понятно. Без сложных формул. Без «воды». Только самое необходимое. Этих задач еще нет в учебниках. Не все умеют их решать. Смотрите наш видеоматериал и получите преимущество перед другими выпускниками.
Всего 40 минут — и вы решите любую задачу ЕГЭ по теории вероятностей. Автор - профессиональный репетитор Анна Малкова.



Курс Теория вероятностей и Лекция №1 Основные понятия теории вероятностей Схема Лаплас

Обратимся к более серьезным источникам.


Очерк истории теории вероятностей

Б. В. Гнеденко

Содержание

1. Первые данные 3

2. Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья 5

3. Исследования Галилео Галилея 8

4. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма в развитие
теории вероятностей 11

5. Работа X. Гюйгенса 15

6. О первых исследованиях по демографии 20

7. Возникновение классического определения
вероятности 23

8. О формировании понятия геометрической
вероятности 26

9. Основные теоремы теории вероятностей 31

10.Задача о разорении игрока 35

11.Возникновение предельных теорем
теории вероятностей 36

12.Контроль качества продукции 39

13.Развитие теории ошибок наблюдений 42

14.Формирование понятия случайной
величины 45

Гнеденко Курс теории вероятностей Учебник


Можно прочитать, можно скачать:


Очерк истории ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

Формулы по теории вероятностей
Случайные события

Формулы по теории вероятности онлайн
В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте


Можно посмотреть, можно скачать:

Формулы по теории вероятностей