Решение треугольников и многоугольников

Геометрические фигуры

Решение треугольников и многоугольников

Прямоугольные треугольники

Рис 1.

Задано а,a
Найти b,c,F

b = a ctga
c = a/sina
F = (a²ctga)/2

Задано b,a
Найти a,c,F

b = b btga
c = b/cosa
F = (b²tga)/2

Задано с,a
Найти a,b,F

b = c sina
c = c cosa
F = (c²sina cosa)/2 == (c²sin2a)/4

Задано a,b
Найти a,b,c,F

tga = a/b; a = 90⁰- b
tgb = b/a; b = 90⁰- a
c = √(a²+ b²) = a/sina = a/cosa;
F = (ab)/2

Задано a,c
Найти a,b,b,F

sina = a/c; a = 90⁰- b
sinb = a/c; b = 90⁰- a
c = √(c²- a²) = √(c+ a)(c- a) = c cosa = c sinb
F = (a/2)√(c+ a)(c- a) = (ac sinb) / 2

Косоугольные треугольники 1-й случай (общий)

Рис 2.

Задано а,b,g
Найти c,a,b,F

c = √(a²+ b²-2ab cosg)
sina = (a sing) / c
tga = (a sing) / (b - a sing)
sinb = (b sing) / c
tgb = (b sing) / (a - b cosg)
F = (ab sing)/2

Задано a,b,g
или а,a,b
Найти b,c,F

a = 180⁰- (b + g)
b = 180⁰- (a + g)
g = 180⁰- (a + b)
b = (a sinb) / sina = (a sinb) / sin (b + g)
c = (a sing) / sina = (a sing) / sin (b + g)
F = (a² sinbsing)/(2sina) = a²/(2(ctgb + ctgg))

2-й случай a > b (поэтому b острый); b < a (рис. 2).

Задано a,b,a
Найти b,g,F

c = asinb + bcosa = (a sing) / sin a = bcosa ± √(a² - b²sin²a)
sinb = asina / a
cosb = ±√(1 - sin²b)
g = 180⁰- (a + b)
F = (ab sing)/2 = (bc sina)/2

3-й случай b > a. Треугольник не вполне определен, возможны два решения: b - 90°

Рис.3

Задано a,b,a
Найти b,g,c,F

sinb = bsina / a
cosb = ±√(1 - sin²b)
g = 180⁰- (a + b) b
c = b cosa ± √(a² - b²sin²a)
F = (ab sing)/2 = (bc sina)/2

Выражение углов треугольника через стороны и полупериметр

Задано a, b, c
Найти a, b, g, F

Полупериметр P=(a+b+c)/2

cosa = ( b²+c²-a²)/2bc

sin (b/2) = √((P-a)(P-c)/ac)

cos (a/2) = √(P(P-a)/bc)

sinb = 2F/ac; cosg = (b²+c²-a²)/2ab

sin (a/2) = √((P-b)(P-c)/bc)

cos (g/2) = √(P(P-c)/ab)

sina = 2F/bc; cosb = (a²+c²-b²)/2ac

cos (g/2) = √((P-a)(P-b)/ab)

cos (b/2) = √(P(P-b)/ac)

sing = 2F / ac

F = √(P(P-a)(P-b)(P-c))

3. Правильный многоугольник

n - число сторон;
c - сторона многоугольника;
R - радиус описанного круга;
r - радиус вписанного круга;
F - площадь многоугольника

c = 2Rsin	180⁰	= 2rtg	180⁰	; R=	c	:sin	180⁰	=r:cos	180⁰
	n		n		2		n		n

r =

ctg

180⁰

= Rcos

180⁰

; F=

R²sin

360⁰

=nr²tg

180⁰

c²

ctg

180⁰

n	c		R		r		F
3	1,732R	3,464r	0,577c	2,000r	0,289c	0.500r	0,433c²	1,299R²	5,196r²
4	1,414R	2,000r	0,707c	1,414r	0,500c	0,707r	1,000c²	2.000R²	4,000r²
5	1,176R	1,453r	0,851c	1,236r	0,688c	0.809r	1,721c²	2,378R²	3,633r²
6	1,000R	1,l55r	1,000c	1,155r	0,866c	0,866r	2,598c²	2,598R²	3,464r²
7	0,868R	0,963r	1,152c	1,110r	1,038c	0,901r	3,635c²	2,736R²	3,371r²
8	0,765R	0,828r	1,307c	1,082r	1,207c	0,924r	4,828c²	2,828R²	3,314r²
9	0,684R	0,728r	1,462c	1,064r	1,374c	0,940r	6.182c²	2,893R²	3,276r²
10	0,618R	0,650r	1,618c	1,052r	1,539c	0,951r	7,694c²	2,939R²	3,249r²
11	0,564R	0,587r	1,775c	1,042r	1,703c	0,960r	9.364c²	2,974R²	3,230r²
12	0,518R	0,536r	1,932c	1,035r	1,866c	0,966r	11,196c²	3,000R²	3,215r²
16	0,390R	0,398r	2,563c	1,020r	2,514c	0,981r	20,109c²	3,0б2R²	3,183r²
20	0,313R	0,317r	3,196c	1,013r	3,157c	0,988r	31,569c²	3,090R²	3,1б8r²
24	0,261R	0,263r	3,831c	1,009r	3,798c	0,991r	45,575c²	3,10бR²	3,lб0r²
32	0,196R	0,197r	5,101c	1,005r	5,077c	0,995r	81,225c²	3,121R²	3,152r²
48	0,131R	0,131r	7,645c	1,002r	7,629c	0,998r	183,08c²	3,133R²	3,146r²
64	0,098R	0,098r	10,190c	1,001r	10,178c	0,999r	325,69c²	3,137R²	3,144r²

http://spravconstr.ru/html/v1/pages/chapter1/ckm12.html

Ещё по теме:
1. Решение прямоугольных треугольников
2. Выигранный поединок Никколо Тартальи
3. Доработанная окончательная версия «Решения парадоксов» …;

Решение треугольников и многоугольников

Комментарии