Простая сложная бесконечность

С бесконечностью человек сталкивается на каждом шагу, когда не способен определить размеры чего-то, дальность чего-то, численное значение чего-то. И далеко не только в математике. Даже в философии, далёкой от математики у идеалистов духовное предполагается бесконечным во времени, в то время, как у материалистов материя считается вечной и бесконечной, т.е. неисчислимо большой и продолжительной. И даже попытки релятивистов замкнуть Вселенную саму на себя не решают эту вечную проблему, поскольку и у замкнутого должны быть внешние границы. И если эти границы конечны, то поднимается вопрос: что за ними, на который нет ответа кроме бесконечности.

бесконечность

В своей работе «Глубокое математическое погружение в то, почему одни бесконечности больше других» М. Голдстерн и Я. Келлнер попытались обзорно показать, что бесконечности, в действительности, тоже различаются, хотя и обозначаются единым символом ∞, подтверждающим невозможность определения конечных параметров: «Может ли на самом деле существовать такая вещь, как бесконечное множество? В 19 веке этот вопрос был очень спорным. В философии это все еще может иметь место. Но в современной математике существование бесконечных множеств просто считается истинным — постулируется как аксиома, не требующая доказательств… В конце 1800-х годов немецкий логик Георг Кантор, основатель современной теории множеств, обнаружил, что не все бесконечные множества равны. Согласно его доказательству, множество мощностей P(X) множества (конечного или бесконечного) X всегда больше, чем само X. Среди прочего отсюда следует, что не существует наибольшей бесконечности и, следовательно, не существует «множества всех множеств»» {1}.
В частности, авторы начинают с простого примера чтобы подтвердить свою точку зрения: «Например, множество четных чисел E = {0, 2, 4, 6, …} является правильным подмножеством натуральных чисел ℕ = {0, 1, 2, …}. Интуитивно вы можете подумать, что множество E вдвое меньше ℕ. Но на самом деле, исходя из нашего определения, множества имеют одинаковый размер, потому что каждому числу n в E можно поставить в соответствие ровно одно число в ℕ (0 → 0, 2 → 1, 4 → 2, …, n → n/2). , …)» {1}. И в этом самом простом примере кроется причина противоречия между единственностью и множественностью бесконечностей.
Чтобы это понять, прежде всего следует уточнить,, что у авторов было бы правильным записать ℕ (0 → 0, 2 → 1, 4 → 2, …, 2n → n). , …).
Идя далее, возникающее противоречие легко показать и на конечных множествах. Пусть у нас имеются два конечных множества А={2, 4, 6, 8} и В={1, 2, 3, 4}. В каждом из множеств одинаковое количество элементов, а значит мощности этих множеств равны, но если мы поставим вопрос о максимальном элементе множества, то, естественно maxA =2maxB. Это происходит потому, что от размера самих множеств перешли к значениям элементов этих множеств. Как достигается равенство количества элементов? Авторы это сами показали. Достаточно все элементы множества В домножить на 2 и получим множество А, но с сохранением мощности самих множеств и биекции. Мы даже можем умножить элементы множеств на некоторую заданную функцию, получая самые различные числовые ряды, но при этом число элементов, а значит, и мощность самих множеств сохранится. Ведь
«Мощность множества — это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные» {2}.
Задачку можно усложнить, взяв два произвольных числовых множества – А={5, 17, 2, 13, 7} и В={3, 34, 21, 6, 18}. По количеству членов множества равны, а вот отношение максимумов множества max(А/В) = 17/34.
Всё дело в том, что в ходе сравнения мы опять перешли от подсчёта числа элементов множеств к отношению функциональных зависимостей самих элементов множеств и тут уже вступают в игру не сравнения с множеством натуральных чисел, а с функциями, задающими сами элементы множеств. В примере авторов это всё равно, что перейти от подсчёта элементов в множестве {Кантор, Гёдель, Коэн} к определению у кого из них был самый длинный нос или самый высокий лоб и приписать это мощности множеств.
Распространяя показанный пример с множествами А и В на бесконечность мы автоматически получаем, что мы неправильно ею распоряжаемся, подменяя мощность множества функциональной зависимостью элементов множеств. Понятно, что после такой подмены возникает рассогласования. В результате вышеприведенной подмены у математиков возникает мысль, что «есть нечто похожее на наименьшую бесконечность: все бесконечные множества больше или равны натуральным числам. Множества X того же размера, что и ℕ (с биекцией между ℕ и X), называются счетными; их кардинальность обозначается ℵ0 или алеф ноль. Для каждого бесконечного кардинального числа ℵa существует следующее большее кардинальное число ℵa+1. Таким образом, за наименьшим бесконечным кардиналом ℵ0 следует ℵ1 , затем ℵ2 и так далее. Множество ℝ действительных чисел (также называемое вещественной прямой) равно множеству степеней числа ℕ, и эта мощность обозначается как 2ℵ0 , или «континуум».» {1}.
Но теория множеств говорит:
«Теорема 3. Сумма двух счётных множеств счётна» {4, с. 182}.
Доказывается это следующим образом.
«Будем считать , что А – множество значения последовательности
а В – множество значений последовательности
Тогда сумма АUВ есть множество значений последовательности
И потому счётна» {3, с. 182-183}.
Но если так и множество А биективно множеству натуральных чисел ℕ и множество В также биективно ℕ , то сумма указанных множеств принципиально не может быть счётна, поскольку одному и тому же элементу в ℕ будет соответствовать пара элементов в АUВ. Следовательно, мощность этого суммарного множества будет пропорциональна двойному пересчёту по ℕ, а это уже по определению несчётное множество, поскольку не биективно самому множеству ℕ, но некоторому повторению этого множества.
Более того, как было показано выше, можно изменять функциональную бесконечность элементов множеств, при этом сохраняя мощность самих множеств. Однако формирование этих новых множеств можно направить по другому пути, разбив в вышеприведенном частном случае само множество натуральных чисел на два подмножества, например, чётных и нечётных. При этом формируются снова два бесконечных множества, но количество их элементов (пусть и бесконечное) уже будет меньше, а значит нарушается биекция с множеством натуральных чисел, поскольку оба подмножества не пустые и вложенные в множество натуральных чисел. Иными словами, формируется два несчётных множества в которых не добавлены дополнительные элементы, как предполагают авторы статьи, но мощность их меньше той, которую признают за минимальную мощность бесконечных множеств.
Это можно показать, опять переходя для наглядности на конечные множества. Для этого достаточно сформировать из конечного множества натуральных чисел ℕ ={1,2,3,4,5,6} множество чётных чисел А={2,4,6} или В={2,4,6,8,10,12}. При расширении ℕ, А и В до бесконечности все три множества становятся бесконечными, но кардинальное число множества А оказывается меньше, чем у В и ℕ. В зависимости от характера выборки (например, создав выборку простых чисел или чисел Фибоначчи) может получить любую мощность и для бесконечного множества не биективном мощности множества натуральных чисел.
Теория же множеств говорит, что: «сумма двух счётных множеств счётна» {3, с. 180}.
Так что в зависимости от того, как формируется бесконечное множество бесконечность может быть единственной и определяющей счётность множества, а может приводить к различным мощностями бесконечности. В частности, вышеупомянутый пример «ℵ1 , затем ℵ2 и так далее» с кардинальными числами ℵa+1 и т.д. откровенно не является счётным множеством, поскольку единица должна быть посчитана дважды, что противоречит определению биекции с множеством натуральных чисел. И минимальное бесконечное множество также отсутствует, поскольку мощность бесконечных множеств может быть и меньше мощности натуральных чисел. В то же время, было бы разумным оставить мощность бесконечного множества натуральных чисел в качестве единичного, по отношению к которому отсчитывать мощности других бесконечных множеств. Другие бесконечности могут составлять часть единичной, быть кратными единичной, так и не кратными ей. Например, если объединить бесконечные множества чётных чисел по выборке с множеством {1/2, 1, 3,2, …}, то получим результирующую мощность, не кратную единичной.
Если же рассуждать о значениях самих элементов, то это уже функциональные зависимости, определяемые для бесконечных последовательностей правилом Лопиталя:
«Правило Лопиталя: при некоторых условиях предел отношения функций, переменная которых стремится к а, равен пределу отношения производных, при х, также стремящемся к а
Правило Лопиталя применяется для выражений, сводимых к неопределённостям следующего вида 0/0 , ∞/∞ » {4}.
При этом, обратим внимание, что данное правило для бесконечных функций, обладающих первой производной, а главное, определяется для пределов, что в данном рассмотрении принципиально важно, поскольку в этом случае идёт речь не о самих множествах, а о функциональных значениях элементов данных множеств.
Для дискретных последовательностей правило Лопиталя может быть трансформировано с учётом малости счётного расстояния между соседними элементами по сравнению с бесконечностью. При этом, при нахождении приращения нет необходимости переходить к пределам, а достаточно конечного (единичного) приращения, которое может быть записано в виде:
где аi – элемент бесконечного множества.
С учётом (6) правило Лопиталя для бесконечного множества может быть определено следующим образом:
В качестве примера возьмём проблему девяток. У бесконечного периодического числа 0,(9) количество разрядов определяется множеством натуральных чисел, но если сравнивать функционально с единицей, являющейся пределом указанного числа, то сама последовательность не равна пределу, а всегда меньше на величину 10-∞ . Аналогично, количество разрядов бесконечного периодического числа 0,(3) также определяется множеством натуральных чисел, но функционально значения в каждом разряде меньше уже 1/3 и (3) это показывает. Но это, повторяю, не мощности самих множеств. Это отношение функциональных значений элементов данных множеств, то есть отношение скоростей стремления значений элементов множеств к своему пределу.
Получается существенное различие между тем, с чем оперирует теория множеств – количеством элементов, и функциональной зависимостью самих элементов множеств, которая тоже может быть бесконечной, но это уже не относится к самой теории множеств, поскольку в её рамках: «Если вы хотите сравнить множества с многочисленными (но конечным числом) элементами, есть два хорошо зарекомендовавших себя метода. Одна из возможностей состоит в том, чтобы подсчитать объекты, содержащиеся в каждом наборе, и сравнить числа. Однако иногда легче сопоставить элементы одного набора с другим. Тогда два множества имеют одинаковый размер тогда и только тогда, когда каждый элемент одного множества может быть однозначно сопряжен с элементом другого множества... Этот метод сопряжения также работает для бесконечных наборов. Здесь вместо того, чтобы сначала считать, а затем выводить такие понятия, как «больше чем» или «равно», вы следуете обратной стратегии. Вы начинаете с определения того, что означает, что два множества, A и B, имеют одинаковый размер, а именно, существует отображение, которое связывает каждый элемент A ровно с одним элементом B (так что ни один элемент B не остается). . Такое отображение называется биекцией» {1}. Тут без разницы какие значения и в какой последовательности принимают сами элементы. Тут важен именно счёт количества самих элементов. Исходя из этого (и только из этого) определяется и счётность множества:
«Определение: Множество А счётно, если оно конечно или равномощно множеству натуральных чисел» {4, с. 181}.
Однако, как показано выше, для бесконечных множеств приобретает значение способ формирования бесконечной последовательности в противовес тому, что в существующей теории множеств «любые две бесконечные счётные последовательности равномощны» {3, с. 181}. Вместе с этим противоречием теряет истинность и ряд теорем о счётных множествах, изменяя структуру доказательств в теории множеств, как неполно и некорректно описывающих бесконечные последовательности.
Если же говорить о непрерывных функциях в рамках правила Лопиталя, то там бесконечность тоже демонстрирует свои особенности. В частности, они проявляются при определении конечности релятивистской массы фотона.
«Динамическую массу фотона получают, совмещая формулу полной релятивистской энергии с формулой Планка {5}: С другой стороны, из формулы динамической релятивистской массы видно, что при нулевой массе покоя и стремлении скорости тела к скорости света, в правой части выражения образуется неопределённость ноль на ноль. Причём, если числитель строго равен нулю, то знаменатель стремится к нулю при скорости тела, стремящегося к скорости света. Может ли такое отношение в результате давать конечное значение массы? Формально можно раскрыть эту неопределённость по Лопиталю. Отношение первых производных числителя и знаменателя будет равно
В результате мы видим, что пределом данной неопределённости при v → c будет ноль, а не некоторое конечное значение массы. Таким образом, динамическая масса фотона не может иметь конечное значение при нулевой массе покоя. А значит, и импульс, рассчитанный по релятивистской методике, тоже будет равен нулю, хотя импульс, рассчитанный в рамках классического формализма, будет иметь конечное значение и определяться индуцирующими свойствами света, как это было показано нами {7}. Но это уже классическая физика.
Следует здесь отметить, что ещё до появления релятивистской концепции в классической физике рассматривалась проблема роста массы, но не с движением системы отсчёта, а при ускорении заряженных тел в результате воздействия на них импульса силы. И если заглянуть в историю этой проблемы, то окажется, что ни само изменение массы электрона, ни продольная и поперечная массы, ни, наконец, полная энергия тела не были находками Эйнштейна» {6}.
Как мы видим, бездумное приравнивание релятивистской энергии к неправильно сформулированной энергии возбуждения по Планку приводит к математическому и физическому абсурду, противореча и правилу Лопиталя, и материализуя саму энергию. В действительности, тот самый квант энергии возбуждения появился изначально у Планка, как количество энергии необходимой для возбуждения атома в энергетическом подходе. Но сам энергетический подход не описывает физику процесса. Он только констатирует количество энергии, необходимое для возбуждения. Фотонщики вместе с релятивистами этот важный момент опустили и материализовали способность тела совершать работу, что является по определению энергией. Аналогичное произошло и со звуковыми фононами, коих в природе не существует и само представление является свидетельством неспособности строго решать задачи.
Как мы видим, при всей внешней простоте, бесконечность может быть самой разной и для дискретных последовательностей, и для непрерывных функций. Она может быть единственной и множественной в зависимости от структуры последовательности. И минимального множества невозможно назвать, поскольку мощность множеств может быть как больше, так и меньше единичного, причём, не кратно, опять-таки, в зависимости от самой структуры множества. Но мощность единичного множества способна упорядочить данное разнообразие, введя структуру бесконечности.
Опасность и в том, что зачастую путают мощность множества и максимальные значения элементов множеств, а для функциональных зависимостей – предел и последовательность. В частности, в правиле Лопиталя исследуются именно отношение скоростей стремления функций к пределу, хотя обе сравниваемые функции стремятся к одному и тому же бесконечному значению. Если упорядочить это, то и мат.анализ приобретёт дополнительную стройность, и теория множеств, учитывая до сих пор опускаемые принципиально важные нюансы.

Литература:
1. Martin Goldstern, Jakob Kellner A Deep Math Dive into Why Some Infinities Are Bigger Than Others – // Scientific American, August 16, 2021
2. Мощность множества
3. К. Куратовский, А. Мостовский Теория множеств, М., Мир, 1970
4. И.Ф. Антоненко Правило Лопиталя – // Автор 24
5. Масса фотона — Википедия.
6. Каравашкин С.Б., Каравашкина О.Н. Эйнштейновская формула полной энергии тела . – // Блог «Classical Science».
7. С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина. Легенды волновой механики. – // Блог «Classical Science».