Фракталы!


Введение во фракталы


1. Понятие "фрактал"

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" [3].


2. Классификация фракталов

Для чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации [2].

2.1 Геометрические фракталы
Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рис 1. Построение триадной кривой Кох.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох [3]. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным обьектом [3].

Рис 2. Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рис.2 представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Предельная фрактальная кривая (при n стремящемся к бесконечности) называется драконом Хартера-Хейтуэя [3].

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности обьекта) [2,3].



Фильм посвящен забавным математическим объектам - фракталам. Фрактальную природу имеют многие структуры в природе, они нашли применение в науке и технике. Фрактал — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных. Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютер.

Год выпуска: 2008
Страна: США
Жанр: документальный, научно-популярный
Продолжительность: 00:53:13
Перевод: Профессиональный (одноголосый)
Режиссер: Билл Джерси / Bill Jersey, Майкл Шварц / Michael

продолжение следует

Комментарии (62)

Всего: 62 комментария
  
#61 | Анатолий »» | 07.08.2013 20:23
  
1
Фракталы и музыка

Мне , как композитору будет интересно представить читателям, да и самому ознакомиться с областью мне незнакомой.
Впрочем я понимаю что музыка имеет закономерности, и некоторые ее стороны имеют строго математические модели.

Представляю читателям статью.

Автор Андрей Лёушкин

Как вы уже знаете, сейчас довольно часто фракталы, и в частности фрактальная графика, используется в художественной деятельности. Чего только стоят завораживающие фрактальные картинки, созданные фрактальными художниками с помощью компьютерных программ. А что же другие аспекты творческой деятельности? К примеру музыка?

Сами по себе фракталы-это математические объекты. Казалось бы какое отношение могут иметь фракталы, и вообще математика к музыке? А оказывается самое непосредственное!

Еще Пифагор заметил, что отношение частот двух соседних нот всегда отличается, а отношение частот двух нот, отстоящих друг от дружки на четыре позиции, наоборот, всегда постоянно и составляет 3/2. Такое созвучие теперь называют квинтой. Взяв квинту за основу, Пифагор вывел музыкальную формулу, которая позволяет на основе частоты базовой ноты, от которой ведется отсчет, и порядкового номера заданной ноты получить искомое значение частоты следующей ноты. В результате последовательного применения формулы получаются звуки, отстоящие друг от друга на квинту. В этом ряду есть все ноты звукоряда. И хотя они относятся к разным октавам, но, поделив или умножив частоту нужного звука на два, можно перенести его в соседнюю октаву. Повторяя операцию деления (или умножения) несколько раз, можно заполнить весь диапазон инструмента. Роль математики здесь очевидна. Однако у этой истории есть и другая, оборотная сторона: в звукоряде, построенном по формуле Пифагора, целое число квинт не укладывается в целое число октав. Такое несоответствие получило название "Пифагорова комма". Пифагорова комма - не только кажущийся математический парадокс. Главное, что при пифагоровой системе невозможно играть в произвольной тональности, не фальшивя.

Спустя столетия проблема была решена немецким композитором Андреасом Веркмейстером . И при этом не обошлось без математики. Веркмейстер вместо природного звукоряда создал собственный, положив в основу системы три постулата:

-отношение частот одинаковых нот в соседних октавах должно быть равно двум;
-между этими частотами должно лежать ровно двенадцать нот, по числу полутонов в октаве;
-все полутона должны быть равны.
В соответствии с этими постулатами Веркмейстер разбил октаву на двенадцать абсолютно равных полутонов. Такой звукоряд был назван темперированным. Сущность темперации состоит в небольших изменениях величины интервалов по сравнению с их акустически точной величиной. В 12-ступенном равномерно темперированном строе все чистые квинты


уменьшены на 1/12 пифагоровой коммы. От этого строй стал замкнутым, октава оказалась разделенной на 12 равных полутонов, и все одноименные интервалы стали одинаковыми по величине.А что же было дальше? Союз математики и музыки активно продожал развиваться. В 20 веке он воплотился как в новом музыкальном инструменте – компьютере, так и в сложившейся, во второй половине ХХ века компьютерной музыке, основанной на теории алгоритмов. (Алгоритмом называют строго определенную последовательность действий, приводящую к искомому результату.)

Идея формализовать музыку с помощью алгоритмов появилась задолго до создания первых компьютеров, но лишь с их появлением этот процесс вылился в самостоятельное направление, способное воплощать самые смелые композиторские замыслы. Непосредственными родоначальниками создания компьютерной музыки на основе алгоритмов являются композиторы второй половины ХХ века, пользовавшиеся серийной техникой в композиции, в первую очередь это Янис Ксенакис, Ленджарен Хилен и Пьер Булез и другие.

Янис Ксенакис

Пьер Булез


На основе алгоритмов были построены такие музыкальные программы, как Music 4, C-Sound, Supercollider, MAX/MSP и т.п. В алгоритмической музыке в качестве отправной точки часто используется колебание некоторой величины в определенном диапазоне по случайному закону.

Благодатную почву для использования алгоритмов в электронной музыке подготовила практика сериализма. Последовательный алгоритмический метод сочинения музыки впервые предложил Йозеф Матиас Хауэр (1883-1959). Хауэр (и независимо от него Арнольд Шёнберг) ввели такую технику построения музыкальной композиции, как додекафония.

Й.М.Хауэр

А.Шёнберг

Додекафония относится к серийным техникам построения музыкальных композиций. Серийная техника предполагает использование в качестве звуковысотной основы музыкального произведения серию (ряд) неповторяющихся звуков. Основной принцип теории додекафонии - недопустимость повторения во времени одноименных звуков до тех пор, пока не будут исчерпаны все 12 звуков, на которые делится октава в рамках темперированного строя. Последовательность 12 неповторяющихся звуков и образует серию. Серия является основным элементом всей музыкальной композиции. Звуки серии образуют созвучия, а часть звуков может составлять мелодию. Основным законом является запрет изменения последовательности звуков в серии, нарушения порядка их следования. Различают разновидности серии: ракоход (не смейтесь, это всего лишь серия, прочитанная от последнего звука к первому), инверсия (серия, полученная из первоначальной последовательности путем замены всех интервалов на их обращения), и инверсия ракохода (совпадает с ракоходом инверсии с точностью до транспозиции). Так, благодаря заранее сформулированным правилам, можно определить целую композицию и ее частности (макро- и микроформу) и метод Хауэра можно считать предшественником современных компьютерных технологий в этой области.

Примеры додекафонии:

А. Шёнберг. Квинтет для духовых инструментов ор. 26. (Отрывок)

А. Берг. Концерт для скрипки с оркестром. (Отрывок)

А. Васильев, автор статьи «Музыкальный композитор, основанный на многослойной нейронной сети», выделяет 4 типа алгоритмической композиции:

1) Композиция, основанная на применении математических функций: стохастических, теории хаоса, фракталах;

2) Композиция, основанная на применении комбинаторных методов (например, марковских цепей, ассоциативных сетей переходов, стохастических матриц);

3) Композиция, основанная на применении природных процессов: клеточных автоматов, генетических алгоритмов, нейронных сетей;

4) Композиция, построенная с помощью процессов, основанных на правилах.
В 70-80 гг. ХХ века изучение поведения систем нелинейных динамических уравнений вызвало интерес к их использованию в алгоритмической композиции (Pressing, DiScipio, Gogins, Bidlack, Leach), и сегодня в музыкальном искусстве одним из самых популярных методов создания музыки на основе алгоритмов считается метод так называемой фрактальной композиции. Считается, что в музыкальном плане наиболее интересными являются стохастические фракталы. Стохастическими фракталами принято называть фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры. Термин "стохастичность" происходит от греческого слова, обозначающего "предположение". С помощью компьютера такие процессы строить достаточно просто, так как он позволяет генерировать последовательности случайных чисел.

Свойство фракталов генерировать структуры, подобные деревьям, растениям, скалам и другим природным объектам в первую очередь было использовано в компьютерной графике. Исследователи фракталов и крупномасштабной временной структуры акустической речи и музыки Г.М. Алдонин, Е.В. Золотухина, П.А. Иванов, А.В. Спиридонов выявили, что любая музыка (точнее ее ритмическая сторона) имеет фрактальную природу. Monojit Choudhury и Pradipta Ranjan Ray из Индийского института технологии в Хараджпуре изучают природу музыкальности с помощью фрактального анализа композиции. Жан Беран (Jan Beran) в своей работе «Музыка – это хаос, фракталы и информация» («Music - Chaos, Fractals, and Information») рассматривает музыку как передачу информации от композитора, музыканта к слушателю, и предлагает анализировать информационное содержание музыкального произведение с помощью энтропии Шэннона.

Таким образом, использование фракталов в музыкальном искусстве и науке занимает важное место. В основе этих исследований лежит теория Ричарда Восса, который установил, что любой звук имеет фрактальные свойства. Исследователь идентифицировал три категории звука, основанные на математических элементах:

1) Белый шум (случайный шум – определяется как тревожащий слушателя);

2) Розовый шум (занимает промежуточное положение, более структурированный, нежели белый – является самым приятным для восприятия слушателя)

3) Коричневый шум (структурированный шум – определяется как механический для слушателя).

Р. Восс обнаружил, что, исследуя фрактальную природу розового шума, можно генерировать приятные для слуха мелодии, так как розовый шум является балансом между полной хаотичностью и чрезвычайной структурированностью. На изучение фрактальной природы музыки направлены исследования М. Гарднера М. Шредера, Дж. Чезнута, С. Мэйсона и М. Сэффли. Так, например, Л. Соломон - автор работы «Фрактальная природа в музыке» (“The Fractal Nature of Music”) связывает треугольник Серпинского с формой рондо, а на основе треугольника снежинки Коха генерирует полифонические произведения. Цель всех этих исследований – найти нечто универсальное в музыкальных произведениях, то, что стоит выше индивидуальных культур и художественного вкуса.

Другая грань применения фракталов в музыке – фрактальная композиция как процесс генерации музыкального материала для создания художественного произведения. Фрактальная композиция развивается, создавая новый музыкальный материал, систематически преобразовывая предыдущий.В качестве примера такой композиции можно привести аттрактор Хенона – фрактал, определяемый следующими двумя уравнениями:


Несмотря на то, что он состоит из линий орбиты (см. рисунок),


точки на этом фрактале не связаны. Они прыгают от одной траектории к другой. Таким образом, все отдельные точки изначально разделены случайным образом.

Траектория Хенона является бесконечной структурой, классические параметры которой Х(0) = 1,4; Y (0) = 0,3. Музыка, сгенерированная таким образом, может длиться бесконечное время и время, ограниченное программой. Смысл ее часто сводится к некоему звуковому пейзажу, принципиально не несущем никакой смысловой нагрузки и не акцентирующем на себя внимание слушателя. Траектория хаотической орбиты определяет некоторый диапазон значений, который позволяет системе блуждать и возвращаться к подобному, но не тому же значению. Когда подобные процессы интерпретируются музыкально, это может сравниться с развитием музыкальной темы. Эта похожесть – то, что делает хаотические орбиты привлекательными для генерации музыкального материала. Производный, таким образом, материал имеет высокую степень схожести с предыдущим. Однако полученный материал является музыкой лишь в потенциале и требует серьезной работы с ним композитора.

Для генерации «фрактального музыкального материала» создаются специальные компьютерные программы, настолько простые в управлении, что ими могут пользоваться музыканты, не владеющие навыками программирования. Одну из первых таких программ – Xсomposer создали эксперты в области музыкальной информатики Дж. Лич и Дж. Фич (университет Baths). Эта программа использует главное качество фракталов – метод самоподобия. При этом необходимо, чтобы сегмент, предшествующий главному событию, а также следующий за ним, содержал константный (равномерный) ритм. Носителем главного события может оказаться любой элемент на любом иерархическом уровне. Для автоматизации процесса генерирования музыкальной темы Дж. Лич и Дж.Фич предлагают алгоритм, основанный на хаотической модели.

Среди последних программ, разработанных для генерации музыкального материала на основе фрактальной модели можно выделить программы FractMus 2000 (Gustavo Diaz-Jerez), MusiNum 2.0 (Lars Kindermann), Fractal Music Program, Quasi Fractal Music (Paul Whalley), Oblivion и другие. Программа FractMus 2000 при помощи теории чисел, фракталов и клеточных автоматов генерирует мелодический рисунок, позволяя управлять процессом в реальном времени. Другой программой генерирующей мелодии является MusiNum 2.0, ее главная особенность заключается в том, что пользователь не обязательно должен обладать знаниями в области информатики и теории музыки. Программа Quasi Fractal Music позволяет генерировать мелодии в определенном музыкальном стиле. И, конечно же, все эти программы позволяют «увидеть» сочиненную вами музыку, так как генерируют графическое изображение параллельно созданию музыки.

Скриншот программы MusiNum 2.0

Скриншот программы FractMus 2000

Таким образом, рассмотренные нами подходы к использованию фракталов в музыке указывают на то, что современная наука предлагает новые методы изучения не только явлений природы, но и искусства. Современные исследователи на основе предложенных методов пытаются осознать музыку как абстрактное искусство, а также выявить некие универсальные законы создания музыкального произведения. Эти проблемы музыкального творчества и науки волновали ученых и музыкантов на протяжении многих столетий и ХХI век внес свою лепту опираясь на объективный математический язык.

Использованы материалы с сайтов: www.petelin.ru, и www.astrozvon.com. А также материалы из Википедии

Источник: http://m-rush.ru
  
#62 | Анатолий »» | 08.08.2013 19:07
  
1
Вот такой неожиданный поворот о фракталах.
Удивительно!
Вообще в компьютерной музыке очень много "математического" Хотя бы то что все генераторы (которые издают звук в синтезаторах) созданы по определенной математической формуле.
Вполне возможно что именно оттого синтезаторные звуки хотя бывают и весьма интересные, но все же НЕЖИВЫЕ, и слушать их долго становится утомительно, а если много, то они даже начинают раздражать ухо.
Впрочем для молодежи это не понять. Они привыкли уже к этим "не живым звукам" Мало того, они даже не могут обойтись без этой музыки. Плееры в ушах - тому пример.
Как современная молодежь может постоянно слышать подобную музыку для меня остается загадкой. Но наблюдая свою четырехлетнею дочку , которая просто обожает нажимать на кнопочки виртуальных синтезаторов и слушать долго очень противные (на мой слух) звуки, я прихожу к мнению, что в этом направлении музыки заложено нечто то, что привлекает и даже больше - заманивает в свои сети неподготовленных слушателей. И видимо мозг так устроен, что у него возникает потребность слушать подобные звуки, до такой степени что это уже сродни наркомании. Возникает стойкая привычка и необходимость слышать подобные звуки.
Что это за феномен, пока невозможно определить, но заметить его возможно.
Уже делались разработки в плане научных исследований понимания механизмов воздействия подобной музыки на весь организм человека. Так например тяжелый рок, Хеви металл , техно музыка дает определенные стимулы некоторым областям мозга и человек начинает испытывать потребность еще и еще раз слушать подобную музыку.

Все направления хороши, если только не становиться исключительно доминирующими. От которых начинается психологическая зависимость.
Добавлять комментарии могут только
зарегистрированные пользователи!
 
Имя или номер: Пароль:
Регистрация » Забыли пароль?
 
© decoder.ru 2003 - 2017, создание портала - Vinchi Group & MySites