Фракталы!


Введение во фракталы


1. Понятие "фрактал"

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" [3].


2. Классификация фракталов

Для чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации [2].

2.1 Геометрические фракталы
Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рис 1. Построение триадной кривой Кох.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох [3]. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным обьектом [3].

Рис 2. Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рис.2 представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Предельная фрактальная кривая (при n стремящемся к бесконечности) называется драконом Хартера-Хейтуэя [3].

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности обьекта) [2,3].



Фильм посвящен забавным математическим объектам - фракталам. Фрактальную природу имеют многие структуры в природе, они нашли применение в науке и технике. Фрактал — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных. Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютер.

Год выпуска: 2008
Страна: США
Жанр: документальный, научно-популярный
Продолжительность: 00:53:13
Перевод: Профессиональный (одноголосый)
Режиссер: Билл Джерси / Bill Jersey, Майкл Шварц / Michael

продолжение следует

Комментарии (62)

Всего: 62 комментария
  
#46 | Анатолий »» | 21.07.2013 13:47
  
0
Глава 2 Логические ряды и логические фракталы

2.1 Определение логического ряда. Виды рядов.



Введем точное представление о логическом ряде.
Логический ряд – одномерная упорядоченная последовательность логических значений k-значной логики, пронумерованных от 0 до бесконечности.
Ряды бывают сходящиеся, в этом случае значение ряда постоянно при i®¥, периодические – значение устойчиво повторяется, и апериодические – значения, появляющиеся в произвольном порядке.
Аттрактор логического ряда – устойчивая на бесконечность структура значений логического ряда. Может быть: неизменное значение (аттрактор первого рода – унарный кортеж), комбинация значений (аттрактор второго рода – бинарный кортеж, n-ka), апериодичность (аттрактор третьего рода).
Пусть мы задали для данной k-значной логики конечное множество аттракторов. Назовем их детерминированными аттракторами.
Законом будем называть ряд, для которого доказано наличие аттрактора из множества детерминированных аттракторов. Пример закона классической логики дан в разделе 2.3.
Значение высказывания, в случае двухзначной логики, может быть И или Л. В общем случае может быть любое конечное число вариантов значений. В качестве примера логического ряда двузначной логики можно привести ряд, представленный в таблице 1.5.1. Каждый член этого ряда упорядочивается номером. Номер значения фиксируется итерацией логического ряда i. Итерация i меняется от 0 до бесконечности.
Назовем классическим рядом ряд составленный из высказываний классической логики высказываний двухзначной логики.
Назовем рейхенбаховским рядом ряд с тремя возможными значениями – И, Л, Н и составленный из высказываний рейхенбаховской логики высказываний, описанной выше.
Назовем начальным условием значение логического ряда при i=0.
Обозначим специальными терминами частные случаи логических рядов:
Вырожденный ряд – логический ряд, с одинаковыми значениями.
Например:

ИИИИИИИИИИ…. (2.1.1)

Соответственно, в частных случаях, И - вырожденный ряд (ИВ) – ряд с истинными значениями, Л-вырожденный ряд (ЛВ) – ряд с ложными значениями. Вырожденный ряд – пример ряда с аттрактором первого рода.
Вырожденный ряд – пример закона на множестве детерминированных аттракторов с одним элементом – И.
Ряд лжеца – классический логический ряд с регулярно чередующимися друг за другом значениями истинности и ложности. В зависимости от начальных условий, существует два ряда лжеца:
ИЛИЛИЛИЛИЛ… (2.1.2)
ЛИЛИЛИЛИЛИ… (2.1.3)
Мы будем различать И-ряд лжеца (ИРЛ) – ряд при начальном условии И – случай (2.1.2), и Л-ряд лжеца (ЛРЛ) – ряд при начальном условии Л – (2.1.3).
В нашей терминологии ряд лжеца имеет аттрактор второго рода.
  
#47 | Анатолий »» | 22.07.2013 14:59
  
0
2.2 Процедуры генерации логических рядов с помощью обратных связей. Прямая и обратная задача генерации логического ряда.

Уточним и формализуем данные в разделе 1.7 определения.
Постоянное атомарное высказывание - символы a, b, c…
Значения постоянных высказываний в случае классической логики высказываний - И или Л. В общем случае высказывание может иметь k значений. Значения постоянных высказываний не меняются при изменении итерации.
Переменное атомарное высказывание - символы ai, bi, ci …
Сложное высказывание - высказывание, составленное из атомарных высказываний, тех или иных логических символов (например - , в классической логике) и технических знаков (скобки, запятые) по правилам определеной логики высказываний (например - классической или рейхенбаховской).

Обратная связь - формула, описывающая способ присвоения нового значения высказыванию ai+1, при известных старых значениях ai по правилам определенной логики высказываний.
Записывается с помощью символа двоеточия ":". Формула содержит левую и правую часть. Слева от двоеточия записывается переменное атомарное высказывание, справа - сложное высказывание, значение которого будет присвоено переменному атомарному высказыванию в следующей итерации.
Пример.
Запись "ai+1: ai&b" означает: присвоить переменному атомарному высказыванию ai+1 значение сложного высказывания ai&b.

Система обратных связей - несколько обратных связей, меняющих свои значения одновременно на одной итерации. Система записывается путем записи в строчку всех обратных связей через точку с запятой.
Пример записи системы обратных связей:
ai+1: ai&b i; bi+1: ai&b i&c
Вероятность перехода – числовое значение от 0 до 1 изменения значения переменного атомарного высказывания на новое. Вероятность определяется с помощью генератора случайных чисел с равномерным распределением вероятности.
Пример.
Запись "0.8ai+1: ai&b" означает: присвоить переменному атомарному высказыванию bi+1 значение сложного высказывания ai&b с вероятностью 0.8. Ясно, что с вероятностью 0.2 обратная связь сохранит свое старое значение.
Если в обратной связи вероятность не указана, то она по умолчанию, равна 1.
Бифуркация – расщепление возможных значений атомарных высказываний с некоторой вероятностью.
Пример:
0.8ai+1: ai&b; 0.2ai+1: ai&c
Это означает следующее: в обратной связи высказывание ai+1 принимает значение ai&b с вероятностью 0.8, а значение ai&c с вероятностью 0.2.
Начальные условия - значения переменных атомарных высказываний при i=0. Запись a0 = И означает: «Присвоить начальному условию высказывания ai значение И.
Мир (множество) начальных условий – совокупность всех комбинаций значений начальных условий.
Возможность - значения переменных атомарных высказываний при i¹0.
Мир (множество) возможностей - совокупность всех комбинаций значений возможностей в обратной связи или системе обратных связей.
Граничные условия - значения постоянных атомарных высказываний в формуле.
Мир (множество) начальных и граничных условий - совокупность всех комбинаций значений начальных условий и значений граничных условий.
Прямая задача генерации логического ряда – построить логический ряд при заданных обратных связях, граничных и начальных условиях, проанализировать все аттракторы рядов в мире начальных и граничных условий.
Обратная задача генерации логического ряда – по логическому ряду реконструировать тип логики и систему обратных связей, которая сгенерировала этот ряд истинности.

Пример решения прямой задачи генерации.

Дана система высказываний, построенная с помощью классической логики высказываний:


Граничные условия: c есть Л.
Исследуем поведение системы при разных начальных условиях.
Рассмотрим мир начальных условий с фиксированными граничными условиями, и мир возможностей, обозначив одинаковыми цифрами одинаковые возможности и комбинации начальных условий:


Видно, что мир возможностей уже при первой итерации беднее мира начальных условий – в нем нет варианта 4.

Исследуем каждую комбинацию начальных условий.


Вывод: при всех значениях начальных условий в случае граничных условий с есть Л, наша система приходит к предельному циклу, при котором bi есть И, а аi колеблет свое значение.



Теорема 1 прямой задачи генерации.

Рассмотрим систему из n переменных высказываний k-значной логики, с вероятностью перехода 1. Такая система может иметь только два аттрактора – аттрактор первого рода или аттрактор второго рода с максимально возможным периодом длиной в значений.

Доказательство. Выпишем все возможные варианты переходов из мира начальных условий в возможности, используя обозначения предыдущего примера. Их всего . Запишем их в строчки:



Теорема доказана.
  
#48 | Анатолий »» | 23.07.2013 23:56
  
0
2.3 Операции с логическими рядами

Рассмотрим множество всех логических рядов, обозначив отдельный ряд буквами А, В, С…
Назовем операцией над логическим рядом правило образования нового логического ряда, через преобразование каждого значения старого логического ряда.
Операции могут быть унарными – над одним рядом и бинарные – с двумя рядами.

Рассмотрим множество классических рядов и зададим на нем логику классических рядов (ЛКР) в виде набора унарных и бинарных операций.
Зададим бинарные операции по аналогии с классической логикой высказываний – конъюнкцию &, дизъюнкцию /, импликацию ®, тождество º.
Например, А&B означает, что результатом этой операции является логический ряд, образованный конъюнкцией логических значений рядов А и В с одинаковыми номерами итераций. То есть, начальным условием этого ряда будет конъюнкция начальных условий А и В, значением при i=1 будет конъюнкция значений А и В при i=1 - и так далее до бесконечности.
Зададим три унарные операции – отрицание, обозначаемое знаком Ø, левый сдвиг на n значений – ln, правый сдвиг на n значений – rn.
Левый сдвиг на n значений – ln, операция, в результате которой получается новый ряд, образованный сдвигом всех значений старого ряда на n значений влево.
То есть i-тое значение преобразуется в i-1 значение. Если значение i-n определить невозможно (i-n – отрицательное число), то оно отбрасывается, и ряд пишется с i-n значения.
Правый сдвиг на n значений – rn, операция, в результате которой получается новый ряд, образованный сдвигом всех значений старого ряда на n значений влево.
То есть i-тое значение преобразуется в i-1 значение.
Законом ЛКР будем называть ряд с аттрактором первого рода – И.
То есть, множество детерминированных аттракторов ЛКР состоит из одного аттрактора – значения И.
Частным случаем закона является получившийся в результате некоторой операции И-вырожденный ряд (ИВ).

Формализм ЛКР:
А, В, С… – классические логические ряды, ИВ, ЛВ, ЛРЛ, ИРЛ – их частные случаи.


Если А, В – классические логические ряды, то


Теорема 1 ЛКР:
Законы классической логики высказываний имеют аналоги (так же записанные ряды и операции) в ЛКР.

Доказательство следует из того, что все высказывания ЛКР, составляющие ряды - ai "подчиняются" законам классической логики – по определению ЛКР.

Вот некоторые аналоги законов.


Введем обозначения для различных логик. Модификации ЛКР, связанные с изменением числа операций будем обозначать ЛКР1, ЛКР2 и так далее.
Логику рейхенбаховских рядов зададим по аналогии с операциями, введенными на высказываниях с тремя значениями Рейхенбахом и обозначить ее модификации соответственно ЛРР1, ЛРР2 и так далее.
Логики, состоящие из k значений, где k – целое число от 4 до бесконечности обозначим как ЛkР1, ЛkP2 и так далее.
Например, для четырехзначных логических рядов можно задать логики Л4Р1, Л4Р2, Л4Р3 и так далее.
  
#49 | Анатолий »» | 25.07.2013 21:21
  
0
2.4 Кортежи, масштабы и инварианты логических рядов. Самоподобие. Определение регулярного логического фрактала.


Введем следующие понятия:
Кортеж – конечная последовательность, упорядоченный набор компонентов – элементов кортежа.
Логический кортеж – кортеж, составленный из логических значений, принятых в данной k-значной логике.
Далее, употребляя термин "кортеж" мы будем иметь ввиду логический кортеж.
Длина кортежа – число компонентов кортежа.
Кортежи бывают:
Унарные – состоящие из одного значения – с единичной длиной,
Бинарные – состоящие из двух значений,
n-ки (тройки, четверки и так далее) – состоящие из трех, четырех и более значений.
Рассмотрим примеры кортежей в ЛКР:


Так как число кортежей при фиксированной длине кортежа конечно, то каждый логический ряд можно представить как бесконечную последовательность кортежей.
Рассмотрим в качестве примера ИРЛ, отделяя кортежи пробелом:
ИРЛ как последовательность унарных кортежей: И Л И Л И Л И Л …
ИРЛ как последовательность бинарных кортежей: ИЛ ИЛ ИЛ ИЛ ИЛ …
ИРЛ как последовательность троек: ИЛИ ЛИЛ ИЛИ ЛИЛ ИЛИ ЛИЛ …
ИРЛ как последовательность четверок: ИЛИЛ ИЛИЛ ИЛИЛ ИЛИЛ…
ИРЛ как последовательность пятерок: ИЛИЛИ ЛИЛИЛ ИЛИЛИ ЛИЛИЛ ИЛИЛИ …
Введем понятие масштаба и инварианта.

Масштаб с разрешением n (n-й масштаб) – бесконечный буквенный ряд, получающийся при последовательном обозначении составляющих ряд разных кортежей, длиной n разными буквами.
При этом, для обозначения кортежей надо придерживаться следующего правила: начинать обозначение надо каждый раз с одной и той же буквы греческого алфавита при рассмотрении ряда на новом количестве значений в кортеже, а новый кортеж, встречающийся на исследуемом масштабе, обозначать следующей буквой алфавита.
Для ИРЛ масштаб с разрешением 1 будет следующим:
a b a b a b a b …
масштаб ИРЛ с разрешением 2:
a a a a a…
масштаб ИРЛ с разрешением 3:
a b a b a b a b …
масштаб ИРЛ с разрешением 4:
a a a a a a a …
масштаб ИРЛ с разрешением 5:
a b a b a b a b …
Видна интересная закономерность – четные масштабы тождественны между собой и нечетные масштабы тоже тождественны между собой.
Для описания масштабных характеристик рядов введем следующие определения:
Самоподобным рядом или инвариантом (инвариантным относительно определенных масштабов) будем называть ряд, у которого есть минимум два тождественных масштаба.
Универсальным инвариантом (универсально инвариантным) будем называть такой ряд, все масштабы которого тождественны.
ИРЛ не является универсально инвариантным, так как он имеет не тождественные масштабы.
ИРЛ является самоподобным или инвариантным относительно четных масштабов – четные масштабы имеют одинаковую структуру и ИРЛ является инвариантным относительно нечетных масштабов – нечетные масштабы тоже имеют одинаковую структуру. Примерами универсально инвариантного ряда являются ИВ и ЛВ.
Тривиально инвариантным на выделенных масштабах рядом будем называть с тождественными обозначениями кортежей на описанных нами масштабах. ИРЛ на четных масштабах, а так же ИВ и ЛВ на всех масштабах являются тривиально инвариантными и самоподобными рядами.
Регулярным логическим фракталом будем называть самоподобный ряд, у которого есть хотя бы два масштаба, внутри которых обозначения кортежей не тождественны. Или, другими словами, регулярный логический фрактал это самоподобный ряд, минимум два масштаба которого не являются тривиально инвариантными.
ИВ и ЛВ не являются логическими фракталами, а ИРЛ и ЛРЛ являются регулярными логическими фракталами.
  
#50 | Анатолий »» | 26.07.2013 20:23
  
0
2.5 Формализм масштабного преобразования. Преобразованный логический фрактал.

n-мерное масштабное преобразование – унарная операция - преобразование данного логического ряда (затравки) в новый логический ряд путем последовательной замены кортежей длиной n затравки на новые кортежи.
Масштабное преобразование должно быть задано на всем наборе возможных значений кортежей длиной n для данной k-значной логики. Полученный новый логический ряд так же может подвергаться масштабному преобразованию либо конечное число раз, либо до бесконечности.
Заметим, что масштабное преобразование можно интерпретировать в терминах обратной связи, рассмотренной в 1.4 – преобразование последовательно применяется к уже преобразованному этим преобразованием логическому ряду. Ясно, что эта обратная связь отличается от обратной связи – генератора логического ряда через итерации начальных условий.
Обозначим две задачи масштабного преобразования. Прямая задача масштабного преобразования – по заданной затравке и масштабному преобразованию описать результат преобразований через заданное конечное число преобразований или бесконечное число преобразований.
Обратная задача масштабного преобразования – по заданному ряду реконструировать множество затравок и соответствующие им масштабные преобразования.
Будем обозначать преобразование кортеж затравки в кортеж нового ряда знаком решетки – “#”. Назовем это преобразование на отдельном кортеже решеткой. Количество решеток R в преобразовании рассчитывается по формуле: R=k ( в n степени), где k – количество значений в логике (для ЛКР это 2, для ЛРР это 3 и т.п.), n – длина кортежа.
Пример масштабного преобразования затравки иллюстрирован рисунком 2.5.1.


Рисунок 2.5.1 Схема масштабного преобразования затравки.



Масштабное преобразование чем-то напоминает сокращения в языке. Хофштадтер19 (в блестящем переводе Марины Эскиной) рассмотрел следующее суждение: "БОГ, одолевающий гения", где слово "БОГ" -- сокращение слов "БОГ", "Одолевающий", "Гения". При последовательной расшифровке сокращений получаем бесконечно разворачивающуюся последовательность суждений, в которых слово "БОГ" оказывается бесконечным сокращением самого себя. Интересно, что в этом случае обозначает слово БОГ?


Рассмотрим одномерное масштабное преобразование кортежей затравки в ЛКР. Набор значений унарных кортежей: И, Л. Поэтому для осуществления преобразования необходимы две решетки. В качестве примера можно взять следующий вариант преобразования:


И#ИЛ, Л#ЛЛ (2.4.1)

Это одномерное масштабное преобразование – преобразование унарных кортежей в бинарные кортежи.

Возможны и другие преобразования. Например:
И#ИЛЛЛЛИИ, Л#ЛИ (2.4.2)

Рассмотрим двухмерное масштабное преобразование. Весь набор бинарных кортежей следующий: , , , . Для осуществления преобразования необходимы четыре решетки. В качестве примера можно взять следующий вариант преобразования:

ИИ#Л, ИЛ#ЛЛЛИИИ, ЛИ#ИИ, ЛЛ#ИИИИИИИИИИЛ (2.4.3)

Вот еще один вариант:
ИИ#Л, ИЛ#Л ЛИ#И, ЛЛ#И (2.4.4)

Это – двухмерное масштабное преобразование – преобразование бинарных кортежей унарными кортежами.
Рассмотрим отдельную решетку в n-мерном масштабном преобразовании. Пусть минимальное количество значений в преобразовании справа от всех решеток – f, максимальное – s.
Если во всех решетках преобразования ns, то такое преобразование будем называть сжатие n-ок кортежей.

Масштабные преобразования (2.4.1) и (2.4.2) являются расширениями унарных кортежей. Масштабное преобразование (2.4.4) – сжатием бинарных кортежей. Масштабное преобразование (2.4.3) – не является расширением или сжатием.

Пример 2.4.1.
Возьмем ИРЛ в качестве затравки, и зададим для нее расширение унарных кортежей: И#ИЛИ, Л#ИИЛ.

Выпишем получившиеся ряды, последовательно их нумеруя:
Затравка: И Л И Л …
1: ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИИЛ …
2: ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИЛИ ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИЛИ ИЛИ ИИЛ …
3: ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИЛИ ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИЛИ ИЛИ ИИЛ…


Пример 2.4.2

Зададим для ряда 3 из предыдущего примера сжатие бинарных кортежей:
ИИ#Л, ИЛ#И, ЛИ#И, ЛЛ#И.

Выпишем получившиеся логические ряды:
Затравка: ИЛ ИИ ИЛ ИЛ ИИ ЛИ ИЛ ИИ ИЛ ИЛ ИИ ИЛ ИЛ ИИ ЛИ ИИ ЛИ ЛИ ИЛ ИИ ИЛ ИЛ ИИ ЛИ ИЛ …
1: ИЛ ИИ ЛИ ИЛ ИИ ЛИ ИЛ ИЛ ИИ ИЛ ИИ ЛИ…
2: ИЛ ИИ ЛИ ЛЛ ЛИ ЛИ…
3. ИЛ ИИ ИИ…

Введем обозначение n-мерных масштабных преобразований по следующему принципу:

, где s – порядковый номер масштабного преобразования. Ясно, что для любой n количество масштабных преобразований бесконечно.


Преобразованным логическим фракталом мы будем называть ряд, полученный в результате масштабного преобразования кортежей затравки неединичными кортежами, содержащими разные логические значения. Масштабное преобразование может осуществляться конечное или бесконечное число раз.

Соответственно если такой ряд является результатом бесконечного числа преобразований, то это бесконечно преобразованный логический фрактал. Если ряд является результатом s преобразований кортежей затравки, то это s-преобразованный логический фрактал.

Ясно, что если преобразование будут содержаться одинаковые логические значения, то в результате мы получим ЛВР или ИВР.

Теорема масштабного преобразования.
Если в n-мерном преобразовании справа от решеток стоят кортежи с одинаковой длиной не равной n и нетождественными логическими значениями внутри кортежа, то получившийся в результате хотя бы одного такого преобразования ряд является регулярным логическим фракталом.

Доказательство.
Пусть справа от решеток в преобразовании стоит q кортежей. Рассмотрим затравку – ряд А и результат преобразования – ряд В.
У ряда В есть два тождественных масштаба – с разрешением n и с разрешением s.
Так как логические значения внутри кортежей разные, то ряд В не является тривиальным. Поэтому, по определению, ряд В является логическим фракталам.
Теорема доказана.

Пример.
Рассмотрим затравку – ИВ.
Зададим преобразование:
И#ИЛ, Л#ИЛ
В результате получим последовательность рядов:
ИИИИИИИИ…
ИЛИЛИЛИЛ…
ИЛИЛИЛИЛ…
В результате бесконечного числа преобразований мы получаем ИРЛ, который является регулярным фракталом, бесконечно преобразованным фракталом из затравки ИВ и s-преобразованным логическим фракталом из затравки ИВ где s – целое положительное число.
  
#51 | Анатолий »» | 27.07.2013 19:32
  
0
2.6 Фрактальная монадология.

Монадой мы будем называть кортеж с заданным масштабными преобразованиями.
Этот кортеж будем называть затравкой монады.

Будем обозначать монады в честь автора "Монадологии" буквой L.

Пример.
Запись И L И#ИИИЛЛ, Л#ЛЛИИ означает монаду с затравкой в виде кортежа и заданными масштабными преобразованиями для двух кортежей И#ИИИЛЛ, Л#ЛЛИИ


2.6.1 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716)

Кортеж-затравку будем называть реальным кортежем. Оставшиеся кортежи, на которых нам надо задавать преобразования, будем называть виртуальными.
Например, если кортеж-затравка в ЛКР , то виртуальными кортежами будут кортежи , , . Масштабное преобразование монады надо задавать для всей совокупности реальных и виртуальных кортежей, общее количество которых равно
Монада, при устремлении преобразований в бесконечность, преобразуется в логический ряд - частный случай логического фрактала, с которым можно проделывать все операции, описанные выше. Таким образом, монада, наряду с обратной связью, может быть генератором логического ряда.

Пример.
Рассмотрим монаду И L И#ИЛ, Л#ИЛ.
Получаем последовательность кортежей:


И
ИЛ
ИЛИЛ
ИЛИЛИЛИЛ
ИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛ
ИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛ

В результате устремления этой процедуры к бесконечности, получим ИРЛ.


Монадология – решение прямой и обратной задачи – задачи по конструкции (реконструкции) монады.
Прямая задача – описать получившийся логический ряд с заданной затравкой-кортежем и масштабным преобразованием. Рассмотреть миры затравок и миры масштабных преобразований по определенным параметрам и описать получившиеся ряды. Исследовать их на тривиальность и самоподобие – по аналогии с логическими рядами.
Обратная задача – по заданному ряду или кортежу установить затравку-кортеж и масштабное преобразование.

2.7 Тезис о построении логического фрактала через два типа обратных связей

Вернемся опять к машине обратной связи, рассмотренной в разделе 1.6.
Проводя аналогии между этой моделью и описанными процедурами построения логических фракталов, можно увидеть то, что для построения логического ряда необходимо различать по крайней мере два типа обратных связей.
Первый тип обратной связи, описанный в 1.6, применяется для начальных условий и служит механизмом генерации логического ряда. Назовем эту связь итерационной обратной связью. Согласно доказанной нами теореме, эта обратная связь всегда сходится либо к аттрактору первого рода, либо к аттрактору второго рода.
Таким образом, можно сказать, что для этой обратно связи всегда найдется масштаб, на котором сгенерированный обратной связью ряд преобразуется с некоторым правым сдвигом в вырожденный ряд. Говоря иначе, итерационная обратная связь с единичной вероятностью всегда образует ряд с повторяющимся на бесконечности кортежем.
Значит, итерационная обратная связь является отрицательной – она всегда сходится к какому-то кортежу.
Второй тип обратной связи применяется для затравки – логического ряда, к которому применяются масштабные преобразования. То есть, масштабные преобразования тоже могут быть интерпретированы в терминах обратной связи. Назовем эту связь масштабной обратной связью.
Эта обратная связь может быть положительной и генерировать логический фрактал. В связи с этим мы можем сформулировать тезис о построении логического фрактала:
Любой логический фрактал может быть построен как совокупность итерационной и масштабной обратной связи.
Этот тезис можно использовать в качестве общего определения логического фрактала.
  
#52 | Анатолий »» | 28.07.2013 21:33
  
0
2.8 Количественные характеристики логического фрактала

2.8.1 Энтропия и кортежная размерность
Для оценки сложности и скорости устремления количества масштабных кортежей ряда к бесконечности введем соответственно понятия энтропии и кортежной размерности логического ряда.
Мы уже знаем, что на масштабе с разрешением n в k-значной логике возможно К= kn различных кортежей.
Количество различных кортежей – это сложность ряда. Так как степенная зависимость велика для количественной оценки, введем, по аналогии с термодинамической энтропией, определение возможной энтропии логического ряда на заданном масштабе (W):


При увеличении разрешения масштаба, возможная энтропия логического ряда линейно увеличивается.
Однако логические фракталы демонстрируют гораздо меньшее разнообразие кортежей. Мало того, количество различных кортежей часто оказывается независимым от масштаба.
В качестве примера можно привести ЛРЛ и ИРЛ которые демонстрируют либо один, либо два различных кортежа на всех масштабах.
Ситуация удивительно напоминает ситуацию с природными структурами – вместо комбинирования новых и новых возможных структур-кортежей, природа "ленится" создавать новые структуры на новых масштабах. Например, вихревые структуры встречаются как на микро-масштабах (атомные и молекулярные структуры) мезо-масштабах (турбулентность воды или облаков) так и на мега-масштабах (спиральные галактики). Возможно, эта природная "лень" по производству новых форм лежит в основе самоподобия природных фракталов.
Такая "лень" присуща и знаковым системам – системам из слов конечной длины. Из-за того, что в системах реализуются не все возможные, а только ограниченные слова, в них образуется информация, в противовес энтропии всех возможных состояний.
Илья Пригожин и Грегуар Николис сравнили марковский процесс и хаотический процесс типа аттрактора Рёсслера с точки зрения вероятности наличия тех или иных последовательностей состояний. Их результаты можно интерпретировать как исследование логического ряда на предмет наличия тех или иных кортежей.
Напомним, что марковским называется процесс с дискретным временем у которого есть марковское свойство – свойство отсутствия последствий: состояние системы в настоящий момент премени t0 однозначно определяет распределение вероятностей будущего развития при t>t0 и информация о прошлом поведении процесса до момента t0 не влияет на это распределение.
Логический ряд можно представить как марковский процесс, если марковским свойством будет обладать вероятность появления логического значения на некоторой итерации.
Николис и Пригожин рассмотрели марковский процесс, удовлетворяющий закону больших чисел и оценили число кортежей, превышающих некоторую заданную вероятность.
На примере создания биополимера, авторы рассмотрели случай, когда все кортежи аминокислот равновероятны. Они к выводу о том, что описание возникновения структуры биополимера неадекватно с точки зрения гипотезы равновероятности возникновения последовательностей аминокислот с фиксированной длиной. Всегда существуют выделенные последовательности аминокислот, формирующих биополимер.
Этот пример является дополнительной иллюстрацией "лени" природы, отбирающей из всех возможных комбинаций только ограниченное количество возможностей.


Рис 2.8.1 Илья Романович Пригожин (род. 1917) – бельгийский химик русского происхождения, лауреат Нобелевской премии по химии (1977 г.) за исследование диссипативных структур, образующихся в открытых системах.


Николис и Пригожин рассмотрели аттрактор Рёсслера как хаотическую последовательность нахождения системы в трех состояниях X,Y, Z:
ZYXZXYXZXYXZYXZXYXZYXZYXZXZYXZYXZXYXZYX…
Далее они переписали эту последовательность c помощью гиперсимоволов (кортежей) - a = ZYX, b = ZXYX, g=ZX:
abbabaagaaba…
Далее авторы посчитали условные вероятности возникновения последовательностей (кортежей) с различной длиной на различных масштабах и показали, что появление кортежей не равновероятно. Это позволяет говорить о неслучайности процедуры, генерирующей рассматриваемый процесс.
Только на масштабе с разрешением пять аттрактор Рёсслера можно схематизировать марковским процессом.
Анализируя последовательность, генерируемую странным аттрактором, Николис и Пригожин замечают:
"При ближайшем рассмотрении статистических характеристик таких последовательностей выясняются некоторые удивительные особенности. Например, из всех возможных 37 последовательностей семисимвольной длины, которые можно построить на X, Y, Z, в динамике реализуются только 21. Более того, примерно для половины из них условная вероятность некоторого символа при условии, что заданы пять предыдущих символов, оказывается равной единице. Следовательно, всё выглядит так, как если бы в систему были встроены "грамматические правила", автоматически выполняемые в результате динамики."
Для оценки только тех кортежей, которые реализовались в данном ряде на данном масштабе j, введем представление о масштабных кортежах

Реализованные кортежи являются информационной характеристикой логического ряда, описывая возникшую структуру.
Можно представить информацию через вероятность появления кортежа в ряде. Если в ряде присутствуют все возможные на масштабе кортежи, то информация в таком ряде равна нулю, а энтропия максимальна.


Разрешение масштаб
а n – характерная длина кортежа на которой мы "рассматриваем" масштаб выступает в данном случае аналогом покрытия бесконечного множества значений логического ряда, образующего меру.
Представим логический ряд как ряд кортежей длиной n. Кортежу с номером i сопоставим вероятность Pi, того, что этот кортеж будет принадлежать некоторому ранее заданному и конечному множеству кортежей или иметь какое-либо свойство (например, свойство принадлежать множеству реализовавшихся на данном масштабе кортежей). Далее можно ввести набор величин Dq, вычисляемых для разных значений q:


где суммирование ведется по всем кортежам.
Dq будет аналогом обобщенных размерностей.

В следующем подразделе постараемся формализовать интуиции размерности логического ряда более точно.
  
#53 | Анатолий »» | 29.07.2013 18:16
  
0
2.8.2 Аналог Хаусдорфовой размерности для логического ряда

Предположим, что рассматриваемый логический ряд есть результат бесконечного последовательного масштабного преобразования кортежа A0



2.8.3 Аналогия с броуновским движением

Ясно, что "гауссовости" не будет и во многих логических фракталах. Показатель Н, который также можно называть Н-размерностью показывает степень близости логического фрактала к случайному процессу типа классического броуновского движения или бросания монеты.
Оценить показатель Н можно различными методами - например, методом Херста, оценивая накопленное количество И или Л на различных масштабах. Подробнее о методе Херста и обобщенном броуновском движении можно прочитать в уже упоминаемой книге Енса Федера.
Таким образом, Н можно использовать как количественную характеристику логического фрактала.
Послесловие: проблемы и задачи фрактальной логики
«Минотавр берется мною под защиту. Тезей становится стандартным персонажем, личностью без воображения, почитающей все условности. Минотавр – поэт, он не похож на других, он совершенно свободен. Его изолировали от всех потому, что он угрожает установленному порядку.»
Хулио Кортасар.

В данном тексте были предъявлены подходы, с помощью которых можно постепенно уточнять понятия логического фрактала и фрактальной логики, перечислены основные представления и концептуальные установки фрактальной логики.
Что дальше? Постараемся пофантазировать.
…Роджер Пенроуз в книге «The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics» рассматривает следующий мысленный эксперимент. Пусть мы формализовали с помощью искусственного языка некоторые высказывания, и дали задание компьютеру определить их истинность или ложность. Это определение происходит на основании системы аксиом – набора формализованных алгоритмическим языком мета-высказываний, определяющих все правила присвоения высказываниям логических значений.
Меняя систему аксиом, можно задавать возможные логики, рассматривать значения возможных высказываний. В частности, можно найти такую систему аксиом, в которой суждение «Я лгу» не образует противоречия.
Однако, согласно теореме Гёделя о неполноте, при любой полной системе аксиом всегда найдутся высказывания, которые будут противоречивы и зациклят компьютер – введут в бесконечную последовательность вычислений, из которой невозможно выйти. В теории искусственного интеллекта существует проблема остановки – не существует алгоритма, позволяющего дать ответ о том, остановится или нет программа вычислений. Таким образом, не существует программы, которая могла бы показать – зациклен компьютер или нет.
Следовательно, любой достаточно сложный компьютер, работающий по определенной аксиоматической схеме всегда можно либо остановить, либо сломать. Вероятность остановки и ломки тем выше, чем сложнее аксиоматическая система.
Если рассматривать наше мышление с точки зрения аксиом, то оно необычайно сложно – требуется очень большое количество аксиом, необходимых для моделирования мышления. Тем не менее, мышление очень надежно – оно очень редко демонстрирует ломки или остановки. Это связано с тем, что наше мышление, по мнению Пенроуза, не устроено по принципу «аксиомы плюс высказывания» - мозг принципиальным образом отличается от компьютера, описанного выше.
  
#54 | Анатолий »» | 30.07.2013 20:15
  
0

Сэр Роджер Пенроуз (род. 1931)
Получил известность в начале 70 годов как соавтор (вместе со Сивеном Хокингом) теории черных дыр. Кроме того, известны парадоксальные геометрические фигуры и мозаики Пенроуза. Последние были запатентованы Пенроузом как основа многих логических головоломок и игр. Имеет личную страницу в Интернет и сам отвечает на письма.

Человеческое мышление решает алгоритмически неразрешимые задачи, которые поставили бы в тупик любую машину. Этой точкой зрения Пенроуз оппонирует Тьюрингу – машина не может мыслить, так как процессы мышления принципиально не представимы в рамках алгоритмов – например, алгоритмов машины Тьюринга.
Мышление, по мнению Пенроуза, является квантовой системой – мозг может производить вычисления на алгоритмически неразрешимых задачах, аксиоматические системы которых нелокальны – находятся в особых "квантово-механических" состояниях.
Мозг умеет переходить от "квантово-механического" состояния – алгоритмически неразрешимого и нелокального к "классическому" через некую (весьма загадочную в рассуждениях Пенроуза) редукционную функцию – функцию локализации мышления в мысли.
Эти туманные рассуждения Пенроуза можно метафорически проиллюстрировать фрактальной логикой.
Если представить логический фрактал как процесс определения аксиоматической системой истинности или ложности высказывания, то он является, по определению, нелокальной системой с точки зрения внешнего наблюдателя. Логическое значение логического фрактала нелокализовано в локальном знаке.
Поэтому логический фрактал может стать метафорой "квантомеханического состояния" в терминологии Пенроуза.
Аналогом классического или локализованного состояния аксиоматической системы будут ряды ИВ или ЛВ. Кроме того, мы будем считать классическим высказыванием и высказывания с аттрактором первого рода.
Ясно, что аналогом локального состояния могут стать законы фрактальной логики.
А вот пример "редукционной функции" или процедуры локализации, где А – логический фрактал:
А/ИВ
Это уже знакомый нам закон дизъюнкции с истинно-вырожденным рядом.
"Редукционной функцией" может стать и оператор масштабного перехода.
Если перенести представления о локализации на процессы мышления, то мы сможем приблизиться к пониманию мышления как фазового перехода от бесконечности к конечности, от делокализации к локализации.
В связи с этим можно сформулировать, тезис локализации – перехода высказывания из нелокального значения логического фрактала в локальное – классическое высказывание:
Для логического фрактала всегда найдется преобразование, переводящее его в вырожденный ряд или ряд с аттрактором первого рода.
Подчеркнем еще раз: это преобразование не есть конечный алгоритм. Проблема остановки накладывает ограничения на выход из бесконечного цикла. Представить это преобразование с помощью нашего локального мышления очень трудно – не смотря на то, что его можно формализовать фрактальной логикой.
Логический фрактал это «монстр» среди алгоритмов, так как он по определению зациклен – в идеальном фрактале невозможно выйти из обратной связи. «Монстр» по определению ненаблюдаем – при наблюдении он превращается в конечный объект описания.
Логический фрактал операционально замкнут. Он, говоря метафорически, не взаимодействует с внешним миром, не забирает информацию из окружающей среды. Для него не работают классические кибернетические модели входа и выхода, организации и среды. Наоборот, развивая интуиции Лейбница о монадах, можно сказать, что логический фрактал создает внешнюю среду, конструирует мир, периодически в него "вываливаясь" своими локализациями, образуя классические высказывания, диктуя внешнему окружению – какие именно локальные высказывания должны иметь фиксированные значения.
Можно предположить, что если это преобразование, останавливающее фрактал не есть алгоритм, то оно спонтанно – если термин "спонтанность" можно вообще здесь употреблять. Это преобразование есть событие – ситуация, которая может случиться или не случиться.
Преобразование "Нелокальное – локальное" граничит с мистикой и метафизикой. У монады – логического фрактала, нет окон. В акте наблюдения фрактал локализуется в классическую форму, которая поддается интерпретации с помощью понятных нам представлений.
Процедуру локализации мышления можно проиллюстрировать мифом о Тезее. Нелокальный бесконечный Лабиринт – символ фрактала, топики мышления. В идеальном лабиринте, так же как и во фрактале, невозможно остановиться, невозможно достигнуть цели.
В лабиринте можно только двигаться. Что и делает нелокальный конечный Минотавр (кстати, ненаблюдаемый) – символ хроноса мышления – бесконечного движения.
Минотавр распределен по всему лабиринту одновременно, поэтому для его описания более адекватной будет не траектория, а функция распределения вероятности его нахождения в том или ином месте.
Убийство Минотавра по своей методике и практикам интерпретации напоминает эксперимент в квантовой механике, наблюдение квантово-механического объекта.
Акт наблюдения при исследовании природы – это эксперимент и одновременно убийство, расчленение того, что хочешь увидеть. Убийство сопряженное с насилием, с властью, с культурными практиками вторжения в запретные области.
Ученый успокаивает себя тем, что эксперимент-убийство - это вынужденные издержки научного метода, так как наблюдать и описывать можно только мертвое тело. Живое тело не локализовано, не подготовлено к специально выстроенному эксперименту.
Метафора "эксперимент-убийство" не нова. В качестве примера можно сослаться на работы Мишеля Фуко, блестяще описавшего становление экспериментальных практик в медицине.
Итак, чтобы убить Минотавра (совершить экспериментальный акт наблюдения) надо осуществить во-первых, сложную подготовку системы к акту эксперимента (найти пещеру, спуститься в нее, перейти из локального состояния в пограничное), а во-вторых, провести правильную интерпретацию эксперимента – сделать так, чтобы все поверили в то, что Тезей действительно убил Минотавра, а не принес голову от быка, а туловище от человека. Сделать это, как мы выяснили, сложно, так как до убийства (эксперимента) Минотавр ненаблюдаем, а после эксперимента мы видим не Минотавра, а что-то иное.
Развивая эту метафору, можно сказать, что убив Минотавра и выйдя из лабиринта-фрактала, Тезей локализовал и демистифицировал мышление, остановил бесконечные фракталы, решил проблему остановки.
Нить Ариадны (метафора линии), находится в руках героя. Линия – символ нового мышления, символ перехода от темного нелокального мифа к логосу европейской культуры.
Линия спрямляет фрактал-лабиринт, рождая геометрию и культуру мышления с линейными и локализованными понятиями. Лабиринт лишается своего права быть бесконечным, и от всей его парадоксальности до нас доходит только культурный шифр в виде послания: "Все критяне лжецы" – сказал один критянин". Лабиринт пропадает и выпрямляется, перестает замечаться новой культурой.
Нечто похожее происходит и с Минотавром. Невидимый и непонятный Минотавр локализуется в схеме объяснения, в знаках, в антропоморфных образах. Монстр оказывается всего лишь человеком с головой быка.
Если Тезей – экспериментатор, убивающий миф, то главным орудием убийства, главным мотивом признания эксперимента верным служит интерпретация события эксперимента-убийства. Не важно, убил Тезей Минотавра или нет, важно то, что мы это интерпретировали именно так, а не иначе. Мы интерпретировали свою жизнь и свои события исходя из этой интерпретации.
Эксперимент показал, что Минотавра больше нет. Мышление линейно и локально. Всё ясно.
Но что-то в этой интерпретации эксперимента-убийства заставляет усомниться. Слишком всё просто. Это подозрительно. Мышление в этой метафоре становится слишком понятным. И самое главное – мертвым, не нужным, не мыслящим.
Проведем следующий мысленный эксперимент. Допустим, Тезей спустился в пещеру убивать Минотавра. Нам точно известно, что в момент времени Т либо нелокальный Минотавр убил (делокализовал) Тезея, либо локальный Тезей убил (локализовал) Минотавра. Эти события равновероятны и дополнительны. Мы стоим около входа в пещеру и знаем, что если в момент наблюдения Т+dT мы видим Тезея, то Тезей убил Минотавра, если мы не видим Тезея, то произошло дополнительное событие.
Вопрос состоит в следующем – в каком состоянии находится Тезей на протяжении времени dT?
Так как Тезей спустился в лабиринт, то он стал одновременно классическим и квантово-механическим объектом. Значит, Тезей находится в состоянии суперпозиции локального и нелокального состояний – в состоянии суперпозиции жизни и смерти. Тезей находится в пограничном состоянии, и выходит из него только в момент наблюдения Т+dT.
Кое-кто может сказать, что я перепутал Минотавра с кошкой Шредингера, но, тем не менее, этот мысленный эксперимент нужен для обсуждения метафоры нелокальности и наблюдаемости мышления с точки зрения представлений фрактальной концепции.
Но если Тезей находится в состоянии суперпозиции, то появление Тезея мы можем с такой же вероятностью интерпретировать как убийство Тезея – например, превращение Минотавра в Тезея, ведь никто нам не гарантирует, что Тезей, спустившийся в пещеру и Тезей вышедший из нее есть один и тот же человек.
Далее. Кто нам сказал, что Минотавр есть? Ведь его никто кроме Тезея не видел. И что мог видеть Тезей?
Переформулируем метафору. Кто нам сказал, что мышление нелокально, фрактально, голографично (нужное подчеркнуть) если это невозможно увидеть или почувствовать? Что, кто и и как обеспечивает познавательную целостность нашего эксперимента?
Сомнение в интерпретации эксперимента остается.
Это сомнение оставляет мне надежду на то, что Минотавр-фрактал мышления скорее жив, чем мертв, так как акты мышления, акты локализации мыслей иногда всё-таки будут случаться с человеком. Или, говоря иначе, у человека есть мысли, которые нельзя интерпретировать как следствие и развитие других мыслей.
  
#55 | Анатолий »» | 31.07.2013 20:47
  
0

Тезей убивает Минотавра: метафора локализации мышления.
В руках героя нить – линия, локализующая лабиринт-фрактал

Мы до сих пор не можем ответить на вопрос о том, откуда появляется мышление. Мы строим разные интерпретации и тем самым, сами мало чем отличаемся от Тезея, сначала соединяющего голову быка с туловищем человека, а потом нагло утверждающего, что это есть единое целое, это был Минотавр.
Можно осмыслить такие ответы-соединения.
Поспешным ответом о появлении мышления является ответ в терминах бессознательного и подсознательного.
Психотерапия неврозов в этой метафоре состоит в том, чтобы локализовать бессознательное в мышлении, "выпрямить" существующий, но ненаблюдаемый фрактал-бессознательное с помощью техник психотерапии, предъявить «настоящую» логику и подоплеку событий.
Другая точка зрения состоит в том, что бессознательного нет, точнее, размышление в терминах бессознательного некорректно. За явленной мыслью нет ничего скрытого. В этой метафоре парадоксы-фракталы есть поверхности мышления, складки в которых живет смысл, иногда локализуемый в линиях мысли.
Этой точки зрения придерживался Жиль Делез, философ, наиболее активно использовавший в своем творчестве парадоксы и представления фрактальной геометрии.
Валерий Подорога, анализируя тексты Делеза, Мерло-Понти анализирует различение категорий «феноменологическое – топологическое». Под феноменологическим описанием понимается представление пространства, аппелирующее к интенциональным актам и выражениям интенциональной активности в языке. Примером феноменологического описания могут быть модели и образы евклидовой геометрии.
Говоря о топологическом описании, Подорога анализирует культурные и философские представления о наличии реальности принципиально не сводимой к языку, обладающей своей, имманентной логикой.
Это представление можно ассоциировать с мистической точкой зрения. Термин "мистика" надо понимать как граница, работа с ненаблюдаемыми и невыразимыми в языке предметами. Мистика не рассматривает вопрос о том, существуют или нет ненаблюдаемые предметы. Мистика молчит и действует.
С этой точки зрения, Пенроуз – мистик. Математика, в общем, вещь мистическая – ведь числа не наблюдаемы. Про онтологический статус числа философы спорят с времен Пифагора до наших дней. Это, однако, не мешает их использовать.
Наиболее ясно мистику локализации сознания интерпретировал русский философ и математик Василий Васильевич Налимов.
Благодаря Василию Васильевичу и Жанне Дрогалиной (вдове ученого) я впервые узнал о уже упоминавшихся работах Хофштадтера и Пенроуза. Поэтому мое обращение к Налимову после Пенроуза не случайно.
Василий Налимов ввел представление о вероятностной модели сознания – спонтанной локализации - распаковке смысла.
Постараемся установить связь между этой моделью и логическими фракталами.


Василий Васильевич Налимов (1910 - 1997)
Математик, инженер, философ, узник Гулага, поэт, соратник А.Н. Колмогорова. Любимые темы размышлений – бесконечность, философия числа, вероятностное мышление. Очень интересны и актуальны его размышления в работе "Мир как геометрия и мера" о законе Эсту-Кондоне-Ципфа-Мандельброта, который носит степенной характер и отражает регулярность письменных текстов и текстов биотаксономии.
Распаковка делокализованного на некоторой оси m смысла (в нашей терминологии – логического фрактала), с функцией распределения p(m), по Налимову, осуществляется в некотором контексте y, который является условием ситуации “распаковки смысла” посредством возникающего фильтра p(y/m). Ситуация возникновения нового смысла с вероятностью распределения p(m/y) может метафорически быть записана в виде формулы Байеса для условной вероятности:
р (m/y) = k p(m) p(y/m),
где k – константа нормировки.
Налимов приводит следующий пример мыслительной операции:
“Однажды на двери официального Бюро переводов я прочитал такую фразу: “Из-за отсутствия переводчиков переводы будут выполняться в минимальный срок 7-10 дней. Здесь контекст, окружающий слово “отсутствие”, заставляет нас выбрать фильтр, позволяющий понять, что речь идет не об абсолютном отсутствии переводчиков, а об их нехватке” .
Можно предположить, что семантическое пространство культуры распределяет в бесконечной последовательности смыслов - логических фракталов, которые человек индивидуально распаковывает в каком-то контексте, локализуя логическое значение высказывания. Где-то (в языке, в культуре, в квантовых системах) распределены виртуальные значения логического фрактала, которые человек (мышление, сознание) самостоятельно локализует – переводит из бесконечного цикла возможных итераций в конечную мысль.
Подчеркнем, что особенностью этой распаковки по Налимову является ее спонтанный и вероятностный характер. В этом, повторимся, состоит неадекватность метафоры мышления как алгоритмического автомата.
Мышление локализует понятия не по алгоритму, а в результате насыщения "фрактального блуждания".
Чтобы сделать последнюю метафору более понятной, рассмотрим очень интересную концепцию немецкого педагога и психолога Герхарда Шефера "Зигзаг-обучение".
Центральная метафора концепции Шефера – метафора репейника. Понятие, по его мнению, появляется из ассоциаций, а ассоциации и есть эти самые репейники, которые спонтанно и случайно соединяют (ассоциируют) вещи, иногда даже абсолютно не связанные между собой.
При построении модели динамики ассоциаций Шефер пользуется моделью памяти Г. Эбенгауза, опытом ассоциативных тестов в психоаналитике.


Модель образования понятия в метафорах Г. Шефера. Слева – возникновение понятия из ассоциативной цепочки, справа – генезис белка. Рисунок из книги «Синергетическая парадигма. Многообразие поисков и подходов. М., 2000

На мой взгляд, эта ассоциативная модель напоминает концепции синкретического детского и первобытного мышления, развиваемые в работах Ж. Пиаже, Л.С. Выготского, А.Р. Лурия.
Значение высказывания в таком мышлении может быть интерпретировано с помощью логического ряда – синкретичное мышление легко отказывается от фиксированного значения суждения в пользу конкретного контекста произнесения суждения. Ассоциация, в отличие от понятия, спонтанна, случайна и контекстуальна.
Важно то, что ассоциации, по Шеферу, образуют цепочки – "репейники". Эти цепочки по структуре напоминают логические ряды. Они длинные и хаотические.
Дальнейшая эволюция ассоциативных цепочек представлена Шефером в виде метафоры генезиса белка. Так же как цепочки аминокислот постепенно образуют поперечные соединения и структурируются в готовый белок, так же и "репейники" ассоциаций образуют самопересечения и наложения, в конце концов образующие ассоциативное окружение и готовое понятие с логическим ядром.
Интересно то, что структуры белка сейчас описывается с помощью степенных законов, которыми количественно описываются фракталы.
Если говорить, метафорами фрактальной логики, бесконечные логические фракталы превращаются в конечные понятия за счет самопересечений и коагуляции значений.
То есть, логический фрактал превращается в классическое понятие за счет увеличение собственной сложности, которая служит средой для спонтанной реструктуризации – оформления понятия.
В свое время кибернетики обсуждали мысленный эксперимент, героем которого была обезьяна, случайна стучащая по клавишам пишущей машинки. Вопрос состоял в следующем – за какое время обезьяна напечатает, например, "Войну и мир".
Так как удары по клавишам равновероятны, то существует отличная от нуля вероятность, что рано или поздно выпадет комбинация, соответствующая тексту романа.
Допустим, что текст романа состоит из 5 миллионов знаков. Это соответствует кортежу длиной в 5 миллионов значений. Если наш алфавит состоит из 40 символов (буквы, пробел и вспомогательные знаки), то мы имеем дело с 40-значной логикой. Если предположить, что кортеж романа равновероятен с другими кортежами такой длины, то вероятность его написания равна единице, деленной на 40 в степени пять миллионов.
Белковые молекулы тоже можно представить как кортежи из атомов, при этом их сложность не меньше, чем сложность "Войны и мира".
Оценивая время случайного написания обезьянкой "Войны и мира" и время возникновения белковой жизни из неорганического вещества за счет случайных встреч молекул, можно было прийти к выводу, что они намного превышают время жизни нашей вселенной.
Сходную аргументацию можно применить и к ассоциациям в концепции Шефера. Если ассоциации случайны, вероятность возникновения понятия очень низка – человек будет напоминать обезьянку, чьи удары по клавишам не коррелируют друг с другом.
Но дело всё в том, что ассоциации не случайны – при большом их количестве они начинают зависеть друг от друга, образовывать корреляции и макро-порядки.
В статье "Познание как фрактальное блуждание в мире" мною была исследована точка зрения на то, что понятие появляется не из случайных, а из хаотических ассоциаций.
Разница между случайными ассоциациями и хаотичными напоминает разницу между классическим броуновским движением и обобщенным броуновским движением, о которых было рассказано в предыдущем разделе.
Обобщенное броуновское движение, не смотря на схожесть с классическим, несет в себе некий паттерн, макро порядок, который резко увеличивает вероятность появление макро-событий – возникновения понятий.
Создание паттернов – сетевой феномен, возможный в сложных системах, состоящих из большого числа частей. Такие системы умеют хранить и перерабатывать распределенные нелокальные паттерны, которые способны влиять на микроуровень, создавая синергизм между макро и микропорядками.
Про это пишут и Николис с Пригожиным – в неравновесных системах возникает ассиметрия и необратимость, которые являются факторами структурообразования, резко увеличивая вероятности возникновения устойчивых соединений.
Эти выводы можно применить и к возникновению мышления и языка – как систем, далеких от равновесия.
Для объяснения возникновения мышления и языка У. Матурана и Ф. Варела используют понятие рекурсии и рекуррентных взаимодействий. Именно благодаря рекурсии – как наличию циклического воздействия на продукты собственного действия организм поддерживает замкнутый цикл своего функционирования. Рекуррентность заключается во взаимных изменениях организма и его среды, приобретающих цикличный характер. Мышление и язык рассматриваются с этих точек зрения, и их возникновение интерпретируется как возникновение циклов нового порядка – над химическими и физическими циклами функционирования.
Спекулятивный ответ на вопрос о "лени" природы и "лени" языка, порождающего подобные структуры состоит в общности циклических механизмов генерации этих структур.
Самореферентность, рефлексия, лингвистическое различение лингвистических различений в рекурсивных схемах предстают в этой концепции необходимым условием возникновения языка.
Схожую концепцию становления языка и мышления развивают В.И. Аршинов и Я.И. Свирский в статье "Синергетическое движение в языке". Средой самоорганизации, блуждания, формирующего понятие предстает язык. Из блужданий на микроуровне образуется макроуровень – параметр порядка, находящийся в синергизме с макроуровнем.
Обращаясь к нашим рассуждениям по поводу операциональной мистики остановки логического фрактала, можно провести аналогию и сказать, что главная мистика, с которой пытается работать синергетика в своих концептуальных построениях, состоит в возникновении параметра порядка кооперативных явлений.
Интересно то, что и Герман Хакен в своих работах по синергетике и Умберто Матурана и Франциско Варела в концепции автопоэтической организации обращаются к творчеству Джузеппе Арчимбольдо, создавшему особый портретный стиль в котором лица изображаются составленными из фруктов и овощей. Его причудливое искусство, с точки зрения Матураны и Варелы, реализует видимую «организацию» лица через «структуру» новых компонентов.
С точки зрения Хакена, лицо – это результат распознавания образа, который является результатом самоорганизации параметров порядка. В своей книге, посвященной функционированию головного мозга, развивал представления о процессе мышления как о процессе распознавания образов. При этом, полемизируя с Тьюрингом, Хакен невольно становится на позицию Пенроуза – возникновение параметра порядка мышления (идеи, понятия) некорректно записывать на языке алгоритмов, но можно представить с позиций хаотической динамики.
Эта точка зрения учитывает наличие принципиально неформализованного опыта, нелокально распределенного в социальных сетях. Опыт связан с интуицией, в частности с представлениями человека о том, что можно принимать в качестве решения.
Представления фиксируются в виде паттернов – образов сложной синергетической системы и описываются в виде динамики параметров порядка системы.
Возвращаясь к фрактальной логике можно сказать, что структура паттернов может быть описана фракталами.


Образование значения суждения:
возможная метафора локализации

Возможная метафора образования значения суждения предстает как процесс перехода с микро уровня – уровня хаотических, фрактальных ассоциаций на макро уровень – уровень локального и фиксированного понятия. Без парадоксальных фрактальных перескоков на микроуровне, понятие – как локальный макрофеномен, было бы невозможным.
Необходимость рассмотрения макро и микроуровней заставляет вводить наблюдателя и техники наблюдения постоянно меняющихся живых систем.
С этой точки зрения проблема остановки является проблемой только тогда, когда машина не видит разницы между макро и микро масштабами рассмотрения, не вводит наблюдателя в систему…
На проблеме остановки мы остановим поток наших фантазий начатый в начале этого раздела, и постараемся наметить проблемы и задачи, которые можно исследовать в будущем фрактальной логикой. Их можно условно разделить на "внешние" и "внутренние".
К внутренним проблемам можно отнести уточнение понятия логического фрактала, введение новых типов логических фракталов, новых типов масштабных преобразований и обратных связей, развитие техник решения прямых и обратных задач.
Важной внутренней проблемой является проблема соответствия и дополнительности фрактальной логики и других логик, исследование наблюдаемости логических фракталов, построение фрактальных версий логики предикатов.
К внешним проблемам можно отнести задачи интерпретации фрактальной логики.
Их можно разделить на две части – философские и научные.
К научным задачам можно отнести создание моделей шифровки и дешифровки информации (затравка и масштабные преобразования могут выступать в качестве кода и ключей), развитие биологических моделей морфогенеза, ковариантной и инвариантной редупликации, развитие методов обработки временных рядов различной природы (затравка может быть интерпретирована как временной ряд).
Интересной видится интерпретация идей фрактальной логики для построения феноменологических концепций восприятия. В частности, Дж. Гибсон развивал идеи встроенности зрительного восприятия в различные масштабы рассмотрения.
Важными философскими задачами являются исследования эпистемологического статуса фрактальной логики, решение проблем соответствия и дополнительности фрактальных логик и классических логик.
Можно так же сказать, что фрактальная логика может стать важным ресурсом для развития концептуальных идей теории автопоэзиса и философии самоорганизации – синергетики.
Тема отдельного исследования – фрактальная логика как ресурс сетевого мышления, осмысление познавательных практик сети с помощью представлений о фракталах.
В серии статей я попытался показать специфику социокультурного феномена сети, который я обозначил как "фрактальный нарратив" – нарратив аморфного, слабо структурированного, но тем не менее очень сложного и креативного сетевого мышления – мышления сетью, мышления в сети, общения и общества как сетевого процесса с фрактальными структурами.
Общество, мышление, сеть – очень сложные объекты, к изучению которых наука только ищет концепции и подходы. Объекты, находящиеся в стадии хаотического становления.
Есть надежда, что метафоры, аналогии и модели фрактальной логики смогут приблизить нас к их пониманию.
В заключение честно признаюсь, в том, что мне самому многое непонятно во фракталах и фрактальной логике.
Но если моя книжка возбудила мышление читателя и спровоцировала у читателя рассмотрение проблем и вопросов в ней изложенных, то она достигла своей цели.

Тарасенко В.
  
#56 | Анатолий »» | 31.07.2013 20:50
  
0
"Милые фрактальчики очень любят зайчики" - как сказала моя 4 летняя дочка.


Этим конечно не заканчивается тема о фракталах.

Вообще могу сказать, что в художественном плане фракталы очень даже любопытны лишь не продолжительное время, потом они не просто приедаются, а становятся назойливо скучными. Это повторяющее однообразие приедается. Художники могут баловаться фракталами, но это все примитивное баловство.
Другое дело природа.
В природе , то что мы называем фракталами не смотрится унылым однообразием. Природа умело избегает его, придает ему неповторимое очарование. Если проводить параллель, то можно сравнить со звуками синтезатора и звуками природы.
Аналоговые инструменты или дигитальные воспроизводят звуки довольно интересные. Но они привлекают лишь на короткое время. потом они приедаются и их уже не хочется слушать. Они даже раздражают слух. Это происходит от того что электронные звуки как бы мертвые. Они построены по математическим расчетам, но в жизни все звуки имеют множество обертонов. Их богатство неисчерпаемо, а вот синтезаторные звуки хоть и имеют уже обертоны, но примитивные и однообразные.

Тоже самое и с фракталами. Природа не знает математики. Это человек математикой делает природу мертвой. Она отражает мир, но мир реальный намного разнообразней. Математика мертва!
Та же самая ракушка. Да, в ней можно уловить закономерности , которые уловили математики, но при построении математической модели ракушки такая ракушка будет лишена ЖИЗНИ, она МЕРТВА.
Так что у нас есть еще много что рассказать о фракталах.
  
#57 | Анатолий »» | 02.08.2013 21:37
  
0
О "Фрактальчиках" - это конечно шутка. Надо же и улыбнутся.
Посмотрим фильм:

Фракталы. Поиски новых размерностей




Многие поколения ученых считали, что дикая природа не может быть описана математически. Например, лес воспринимается нами как какое-то нагромождение деревьев разного размера. Оказывается, это хаотическое скопление имеет четкую структуру, которая может быть выявлена и описана математическими законами при помощи фрактальной геометрии, выводящей нас на совершенно новый уровень понимания природных явлений.


+++

К сожалению выводы сделанные в фильме, увы, не соответствуют действительности. Как бы мы не моделировали использую математику, мы не учитываем всех факторов которые влияют на те или иные параметры.
Они взяли только один фактор. Но ведь в лесу существуют множество факторов. Скажем пожары, или уничтожение растений насекомыми, разные почвы (а следовательно и испарение из нее) и много много других.
Ложное представление, что природа использует фракталы приводит к тому что мы опять имеем дело с мертвой моделью. леса (в данном случае) и мира в целом.
Ученные смогли уловить закономерность, и такая закономерность существует несомненно, но Природа-Мать никогда не действует по сухим математическим расчетам, она вносит свои коррективы. От того мы видим не строго фрактальные леса, а то ВЕЛИКОЕ многообразие, которое нас окружает.
  
#58 | Анатолий »» | 03.08.2013 20:12
  
0
Фракталы в акустике

Над чем работают и о чем говорят акустики
(К итогам 15 Международного акустического конгресса)


Председатель Научного cовета РАН
по проблеме "Акустика"
профессор Л.М. Лямшев

Сообщество акустиков, насчитывающее многие тысячи ученых и специалистов из разных стран мира, ежегодно организует конференции, симпозиумы и конгрессы по различным направлениям акустики.
Международный акустический конгресс, который проводится каждые три года, начиная с 1953 года, традиционно является наиболее представительным форумом, объединяющим акустиков почти всех направлений.
С 26 по 30 июня 1995 г. в г.Трондхейме (Норвегия) проходил очередной 15-й Международный акустический конгресс. Он был организован Акустическим обществом Норвегии при поддержке Акустической комиссии Международного союза теоретической и прикладной физики. В конгрессе приняли участие делегаты из 41 страны мира. Были представлены доклады по следующим направлениям: физическая акустика, компьютерная акустика, гидроакустика, геоакустика, ультразвук, квантовая акустика и физические эффекты, удар и вибрация, шум, архитектурная и строительная акустика, речь, физиологическая и психологическая акустика, биоакустика и медицинская акустика, музыкальная акустика, аэроакустика, атмосферный звук и инфразвук, измерения и обработка сигналов, воспроизведение и звук, образование и акустика.
Конгресс открылся двумя вступительными лекциями : "Временные константы в человеческом слухе и их значение" и "Достижения в применении компьютеров в акустике". Было прочитано 16 ключевых лекций. Основная работа конгресса проходила в секциях. Были представлены и стендовые доклады. Большую аудиторию собрали дискуссии за круглым столом, посвященные актуальным вопросам: "Будущее акустики", "Образование в акустике", "Исследовательские сообщества в акустике, основанные на электронных сетях".
Не имея возможности даже сколько-нибудь кратко рассказать на основе представленных докладов о многих направлениях современной акустики, остановимся лишь на некоторых из них, наиболее актуальных.
Прежде всего о компьютерной акустике. Это-быстро развивающаяся область современной акустики. Компьютеры в акустике, как и во всех областях современной науки и техники, и в современном обществе в целом, получили очень широкое применение. Существует несколько направлений применения компьютеров в акустике. Во-первых, они используются традиционно в вычислительных целях. Во-вторых, с их помощью решают начальные и краевые задачи акустики. Применение компьютеров оказалось особенно эффективным в случаях, когда решения задач невозможно получить аналитическими методами. Без компьютеров оказывается уже невозможной реализация современных методов обработки акустических сигналов. В последнее десятилетие открылась еще одна перспективная область применения компьютеров в акустике - для создания средств активного подавления шума и вибраций. В отличие от традиционных средств вибродемпфирования и вибропоглощения, методы активного подавления шума и вибраций основаны на создании "вторичных" акустических и вибрационных полей, компенсирующих "первичные" поля шума и вибраций. Эти вторичные компенсирующие поля создаются специальными системами излучателей и приемников, управляемых компьютером, получившим необходимую информацию о первичных полях. Фундаментальные математические и теоретические основы этого направления были разработаны впервые советскими учеными еще в начале 60-х годов. В настоящее время за рубежом существуют многочисленные устройства активного гашения шума и вибраций.
Свидетельством широкого применения компьютеров в акустике могут служить не только прочитанные на 15-м Международном акустическом конгрессе доклады, но и организация специальных международных симпозиумов и конференций по этому новому и перспективному направлению. В 1986 г. в США был организован один из первых симпозиумов по вычислительной акустике. Недавно в 1995 г. в Гонолулу состоялась очередная 2-я Международная конференция по теоретической и вычислительной акустике.
В последние годы развивается новое направление - глобальная акустика. Оно является ветвью современной гидроакустики и основано на использовании эффектов сверхдальнего распространения звука в мировом океане. Основная задача этого направления - изучение изменчивости климата на нашей планете. Глобальная акустика является развитием акустической томографии океана, очень молодой области гидроакустики. В задачу акустической томографии входит исследование структуры водных масс в океане на масштабах до сотен километров. Задачей глобальной акустики служит изучение изменения фазы, времени распространения и амплитуды сигналов в океане на трансокеанских масштабах в тысячи километров. Наблюдение в течение многих лет за этими параметрами, осредненными на достаточно больших временных интервалах, может дать информацию об изменении средней температуры вод Мирового океана и позволит сделать выводы о тенденциях в изменении климата.
Характерным примером исследований в области глобальной акустики могут служить результаты, изложенные в докладе А.Гаврилова, М.Славинского (Россия), П.Михалевского и А.Беггерора (США) "Осуществление эксперимента трансарктического акустического распространения". Авторами и их сотрудниками впервые были выполнены экспериментальные исследования распространения звука (частотой 19,5 Гц) на стационарной трассе протяженностью 2600 км в Арктическом бассейне. Российская станция (излучатель) была расположена у острова Шпицберген, а американская ледовая станция (приемная гидроакустическая станция) находилась в море Буффорта. По мнению исследователей изменение условий распространения звука происходит вследствие изменения температуры воды и ледового покрова, который оказывает существенное влияние на распространение звука в Арктическом бассейне. Авторы утверждают, что выполненные эксперименты указывают на реальную возможность акустического наблюдения за изменениями климата в Арктике, а, следовательно, и на планете.
Еще одно из новых направлений современной акустики связано с понятием фрактала. Об этом шла речь на конгрессе в ключевом докладе автора этой статьи "Фракталы в акустике" (Доклад подготовлен в рамках проекта РФФИ "Фракталы и скейлинг в физической акустике" ; грант РФФИ 93-02-16204)
Фрактал - математическое понятие, дающее единый подход к описанию ряда необычных геометрических свойств, различных физических процессов и структур. В математике фрактал представляет собой множество точек в метрическом пространстве, для которого невозможно определить какую-либо из традиционных мер с целой размерностью - длину, площадь или объем (их размерность, соответственно, первая степень, квадрат и куб длины). Можно, однако, определить меру Хаусдорфа, которая в определенном смысле имеет нецелую размерность, называемую размерностью Хаусдорфа.
Понятие меры и размерности Хаусдорфа известно с 1918 года, но понятие фрактала впервые было сформулировано не так давно, в начале семидесятых годов. Первые работы по применению фракталов в физике появились в 1980 году, а в акустике - не более десяти лет назад. Понятие фрактала позволило, по-сути, развить новую математическую модель, дающую единое описание форм, присущих многим природным явлениям. Оказывается, природа устроена так, что фрактальные модели хорошо описывают многие реальные объекты, структура которых не улавливается в традиционных моделях. Этим объясняется современная популярность фрактального подхода к анализу различных объектов и процессов в физике, химии, биологии и др. Успех применения фрактальных моделей в физике обусловлен прежде всего тем, что фрактальные формы присущи огромному числу процессов и структур. Это не случайный факт. Дело в том, что окружающие нас природные объекты являются в широком смысле неупорядоченными, и многие модели образования и роста неупорядоченных объектов различной природы сводятся в конечном итоге к моделям перколяционного перехода и ограниченной диффузией агрегации. В первом случае образуется фрактальный перколяционный кластер, во втором - фрактальный агрегат. Модели же многих неупорядоченных процессов опираются на различные варианты случайного блуждания или динамического хаоса.
Итак, фрактальный подход применяется как непосредственно к описанию форм физических тел, так и к геометрическим образам, возникающим в процессе исследований - множествам особых точек, графикам и траекториям процессов. В последнем случае один из содержательных примеров применения фрактального подхода относится, пожалуй, к описанию странных аттракторов в фазовом пространстве нелинейных динамических систем с хаотическим поведением.
В докладе "Фракталы в акустике" в лаконичной и сравнительно доступной для широкого круга специалистов форме было изложено последовательное описание различных изученных к настоящему времени аспектов проявления фрактальных структур в акустике. Речь шла, в частности, о результатах, относящихся к волновым процессам во фрактальных структурах с одной стороны, и фрактальным структурам, присущим волновым полям, с другой. Заметим, что изучение колебаний фрактальных структур привело к пониманию механизмов, определяющих тепловые свойства аморфных тел. Оказалось, что для аморфных (фрактальных) материалов проблему определения спектра механических колебаний исчерпывающе решает теория фрактонов - локализованных колебательных состояний на фракталах, сменяющих обычные фононные состояния при частотах, превышающих некоторую частоту перехода.
Изменят ли фракталы лицо акустики? На этот вопрос, по-видимому, нельзя дать однозначный ответ. Одно несомненно, с фракталами и фрактальным анализом, по-видимому, связан новый этап в акустике. Полезно вспомнить: пока акустика развивалась лишь в рамках линейной теории колебаний, ее основу составлял гармонический, спектральный анализ и его обобщения - интегральные преобразования Фурье, Фурье-Бесселя и др. С конца сороковых - начала пятидесятых годов в акустику "пришел" корреляционный анализ, а фундаментальная теорема Винера - Хинчина связала гармонический анализ и корреляционный анализ в единое целое. В конце шестидесятых - начале семидесятых годов началось массовое применение компьютеров в акустике и термин "алгоритм" становится общепринятым. Применение компьютеров не только позволило получить численные решения многих трудных задач акустики, которые не поддавались решению традиционными аналитическими методами, создать совершенно новые многоканальные акустические информационные системы, но и указало на необходимость новых подходов и математических моделей для описания излучения, рассеяния, дифракции и распространения акустических волн и колебаний.
Окружающий нас мир представляет в широком смысле нелинейную динамическую систему или огромное число таких систем. Современная нелинейная динамика ввела в обиход новые идеи геометрии и топологии, такие как фрактал и фрактальное множество, которые позволят более глубоко понять природу. Можно не сомневаться, что новые модели и подходы в акустике также связаны с понятием фрактала.
Доклады, представленные на 15-м Международном акустическом конгрессе, еще раз указывают на то, что современная акустика является весьма широкой областью науки. Ее масштабы простираются от глобальных (глобальная акустика) до квантовых (фононы, фрактоны и теплоемкость аморфных тел), и, как и следовало ожидать, наиболее активно развиваются новые направления, лежащие в пограничных областях - на стыках разных научных областей.
В период работы конгресса состоялось заседание Международной акустической комиссии. Было подтверждено ранее принятое решение о проведении очередного 16-го Международного акустического конгресса в 1998 году в США.
В заключение, хотелось бы выразить глубокую благодарность РФФИ за финансовую поддержку участия в 15-м Международном акустическом конгрессе.
  
#59 | Анатолий »» | 04.08.2013 22:59
  
0
Фракталы помогут создать сверхлёгкие конструкции

В макромасштабных конструкциях фракталы могут иметь ту же прочность, что и стократно более тяжёлые обычные структуры. Однако пока технологические процессы, позволяющие использовать их возможности, нуждаются в дополнительной проработке

Группа английских исследователей под руководством Юн Мао (Yong Mao) из Ноттингемского университета провела эксперимент, показывающий, что фракталоподобные несущие конструкции выдерживают ту же нагрузку, что и обычные, при радикально меньшем весе.

Фрактал — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В природе частичные (неидеальные) фракталы очень распространены — от снежинок до деревьев и костей человеческого скелета, а то и структуры галактических скоплений. Разумеется, фракталы давно замечены инженерами: так, часть конструкции Эйфелевой башни имеет форму фракталов.


«Поколение-2» имеет уже два уровня самоподобия, что резко увеличивает его прочность, хотя и делает уязвимее к дефектам. (Здесь и ниже иллюстрации D. Rayneau-Kirkhope et al.)

При помощи 3D-принтера британцы создали фрактальные структуры, несущая способность которых затем подвергалась измерению в различных условиях. Первичным элементом такого фрактала стала полая балка — её учёные назвали «элемент нулевого поколения». Следующий шаг, «поколение-1», представляет собой сходную балку большей длины, построенную из элементов «поколения-0», связанных в сеть, в основе компоновки которой лежит треугольник. Эта форма была выбрана потому, что просчёт многоугольников с бóльшим количеством углов значительно сложнее.


Экспериментальная реализация была изготовлена из резины, однако и для стали должны наблюдаться те же закономерности.

На основе этих элементов исследователи создали также «поколение-2» — конструкцию с тремя уровнями самоподобия. Выяснилось, что разрушение такой конструкции и другой, изготовленной из аналогичного материала, но иного веса, происходило практически при одинаковых нагрузках. И это при том, что их масса различалась от 100 (поколение-1) до 10 000 раз (поколение-2).

Использование стальной конструкции по типу «поколения-3» для изготовления стрелы крана или лонжерона для солнечного паруса, полагают учёные, позволило бы снизить их вес в соответствующее количество раз. Впрочем, таких приложений может быть великое количество, высокая прочность при низком весе не помешает и в авиации, и в автомобилестроении.

Но есть и проблема. Такая конструкция действительно будет прочнее при том же весе или легче при той же прочности, однако во столько же раз она окажется чувствительнее к дефектам при изготовлении. Это означает, что, если в крупной структуре окажется хотя бы мелкий дефект, вся конструкция может разрушиться, в то время как обычная сборка испытает лишь локальную поломку.

Таким образом, на сегодняшнем этапе точности производства фракталоподобных материалов их использование целесообразно только там, где применим строжайший контроль качества. А пока исследователи дорабатывают методы качественного изготовления таких конструкций при помощи быстрого прототипирования (одной из технологий, используемых для изготовления изделий на 3D-принтере).

Отчёт об исследовании опубликован в журнале Physical Review Letters.

Подготовлено по материалам Physicsworld.Com.

Источник: http://compulenta.computerra.ru
  
#60 | Анатолий »» | 06.08.2013 20:42
  
0
Кто же открыл фрактал Мандельброта?

Игорь Андрианов, доктор физико-математических наук


Спор о принадлежности Курильских островов приобретает трагикомический оттенок: как только российские историки находят подтверждение более раннему пребыванию на островах россиян, сразу же японские находят аналогичные свидетельства о японских мореплавателях, и так далее. И те и другие правы, спор не имеет логического разрешения, но это - вопрос политики, где нас уже удивить чемнибудь трудно; гораздо интереснее, что и приоритетные научные вопросы тоже оказываются трудноразрешимыми.

Кто открыл дифференциальное и интегральное исчисления? Лейбниц? Ньютон? Как отмечает российский академик В. И. Арнольд, "интегрирование встречается уже у Архимеда, дифференцирование - у Паскаля и Ферма, связь между обеими операциями была известна Барроу. Что же сделал Ньютон в анализе? Ньютон изобрел ряды Тейлора - основное орудие анализа".

А вот более свежий пример. Недавно на страницах журнала "Mathematical Intelligencer" ("Математический информатор") прошла занятная дискуссия под названием "Кто же открыл фрактал Мандельброта?" Напомним, что фрактальное множество - самоподобная структура- один из "горячих" объектов современной науки. О фракталах неоднократно писал и журнал "Знание - сила", подчеркивая их важную роль в современной нелинейной науке. Подобные объекты были известны довольно давно, но настоящий интерес к ним появился после активной популяризаторской деятельности Бенуа Мандельброта, работающего в корпорации IBM. Именно он ввел название "фрактал", связанное с дробной размерностью подобного необычного объекта, и указал на чрезвычайно широкое распространение этих объектов в нашем мире (приходилось, скажем, читать, что схема линий парижского метро имеет фрактальную структуру).






В определенном смысле одним из эталонных фрактальных множеств стало изображенное на рисунке множество Мандельброта, которое последний называл "своей подписью". Это связано с простотой описывающей это множество функции, что, в свою очередь, приводит к его универсальности - многие процессы могут быть описаны при помощи этого фрактала.

Мандельброт опубликовал свою работу в конце 1980 года, однако С. Кранц в "Математическом информаторе" указал, что математики Р. Брукс и Дж. Мателски обнаружили это множество и опубликовали соответствующую работу в 1978 году. До тех пор Брукс и Мателски не придавали особого значения своему открытию, но после публикации статьи Кранца и последовавшего не вполне корректного ответа Мандельброта заявили, что их нужно, по меньшей мере, считать соавторами открытия. Ну и пошло-поехало (благодатное поле для психолога!). Еще один исследователь, Дж. Хаббард, также заявил, что множество Мандельброта наблюдал на дисплее своего компьютера в 1976 году, а его аспирант, Ф. Кочмен, ознакомил Мандельброта с этими исследованиями двумя годами позже. Кроме того, Хаббард, Мателски и Брукс предложили считать истинным открывателем множества французского математика Пьера Фату, описавшего его аж в 1906 году. Оказалось также, что и венгерский математик Ф. Рисс опубликовал работу с близкими к обсуждаемым результатами еще в 1952 году.

Возражение Мандельброта: сами по себе определения или даже построения ничего не значат, если вы не смогли сказать, почему это важно, и убедить в этой важности остальных. Поэтому, мол, его претензии на название множества вполне обоснованы.

Пищу для размышлений на эту тему добавила мне статья известного современного гидромеханика и асимптотика Милтона Ван Дайка. Она посвящена корням так называемого метода пограничного слоя, обнаруженным в прошлом веке. Само понятие пограничного слоя сейчас оказывается важнейшим " гидродинамике и газовой динамике и описывает такое явление: влияние вязкости потока, обтекающего тело, например, сферу, сказывается в полной мере лишь в узкой (пограничной) области, а в остальной части пространства этот фактор может не учитываться. Более общо явление пограничного слоя (называемого также скин- или краевым эффектом) заключается в том, что в большей части рассматриваемой области (как правило, вдали от границ) решение уравнений изменяется медленно, а вблизи границ имеет место быстроизменяющееся и сосредоточенное в узкой области состояние.

Традиционно считается, что понятие пограничного слоя явно было введено немецким ученым Людвигом Прандтлем в 1904 году. Правда, сам Прандтль отдавал пальму первенства физику Л. Лоренцу из Копенгагена, в публикации которого в 1881 году встречаются, хоть и в неполном виде, уравнения вязкого пограничного слоя. Поскольку никакого развития эта идея в трудах Л. Лоренца не получила, ученики Прандтля просто выбрасывали упоминание об этих работах в посмертных переизданиях трудов учителя.

Но одним Лоренцем число предшественников не ограничивается. Некоторые авторы предлагают считать создателем теории пограничного слоя самого Пьера Симона Лапласа и вроде бы имеют для этого все основания. Тот рассматривает в четвертом томе своего знаменитого "Трактата о небесной механике", вышедшего в Париже в 1805 году, форму капли ртути, лежащей на горизонтальной стеклянной пластине. Лаплас отмечает большую сложность базового уравнения и предлагает исходить из естественного предположения: силы поверхностного натяжения существенны лишь в узкой области, прилегающей к пластине. В этой области из-за ее узости можно заменить настоящую форму вертикальным отрезком прямой. Форма остальной части области при отбрасывании сил поверхностного натяжения определяется без труда, а затем два упрощенных решения можно срастить и получить полное решение задачи. Занятно, кстати, что решение Лапласа неоднократно переоткрывалось: например, лордом Рэлеем в 1915 году и даже нашим современником С. И. Риенстра - в 1990!

В списке тех, кто использовал идеологию пограничного слоя для решения различных задач до Прандтля,- Герц (контактные задачи), Максвелл (определение вязкости газов), Гельмгольц и Кирхгофф (теория электричества), Рэлей (теория диффракции, теория оболочек), Ляв, Лэмб и Бассет (теория оболочек). Казалось бы, разобраться во всем этом и выделить кого-либо трудно, но в заключении своей статьи М. Ван Дайк делает очень глубокое, на мой взгляд, замечание. Пожалуй, говорит он, во всех рассмотренных случаях следует говорить не о корнях метода пограничного слоя, а о его зернах, причем зернах непроросших, поскольку сами упомянутые работы не имели продолжения в исследованиях их авторов или учеников. И это вовсе не случайно.

Дело в том, что и Лаплас, и другие исследователи считали свои решения искусственными приемами, справедливыми только для данной конкретной задачи, , и не увидели всей стоящей за понятием пограничного слоя общности. Иными словами, не было озарения, инсайта, выхода за конкретную проблему. Конечно, здесь тоже не все так просто, и тот же Л. Прандтль, по-видимому, не до конца понимал всю общность и значение своего открытия и не использовал понятие пограничного слоя даже в родственных задачах гидромеханики, где это было наиболее естественно. И все же именно ему принадлежит решающий шаг в этой области, и именно его мы можем с полным основанием считать творцом понятия пограничного слоя.

Точно так же, думаю, мы можем считать Б. Мандельброта творцом множества Мандельброта, хотя, конечно, предшественников цитировать надо...

Источник: http://vivovoco.rsl.ru
Добавлять комментарии могут только
зарегистрированные пользователи!
 
Имя или номер: Пароль:
Регистрация » Забыли пароль?
 
© decoder.ru 2003 - 2017, создание портала - Vinchi Group & MySites