Фракталы!


Введение во фракталы


1. Понятие "фрактал"

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" [3].


2. Классификация фракталов

Для чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации [2].

2.1 Геометрические фракталы
Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рис 1. Построение триадной кривой Кох.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох [3]. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным обьектом [3].

Рис 2. Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рис.2 представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Предельная фрактальная кривая (при n стремящемся к бесконечности) называется драконом Хартера-Хейтуэя [3].

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности обьекта) [2,3].



Фильм посвящен забавным математическим объектам - фракталам. Фрактальную природу имеют многие структуры в природе, они нашли применение в науке и технике. Фрактал — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных. Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютер.

Год выпуска: 2008
Страна: США
Жанр: документальный, научно-популярный
Продолжительность: 00:53:13
Перевод: Профессиональный (одноголосый)
Режиссер: Билл Джерси / Bill Jersey, Майкл Шварц / Michael

продолжение следует

Комментарии (62)

Всего: 62 комментария
  
#16 | Анатолий »» | 14.06.2013 16:29
  
1
Программа для работы и построения фракталов

Проверил программу.
Довольно красиво и интересно рисует фрактальные изображения.
Очень много возможностей.
программа бесплатная!

Не требует уж таких больших ресурсов памяти и скорости процессора.
Очень советую попробовать!

При таких возможностях не требует больших умственных способностей )) (ну немного надо поработать мозгами, желательно знать английский)



Incendia.

Скачать:





  
#17 | Анатолий »» | 15.06.2013 18:30
  
1
Фракталы в природе

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

С береговой линией, а точнее, с попыткой измерить ее длину, связана одна интересная история, которая легла в основу научной статьи Мандельброта, а также описана в его книге «Фрактальная геометрия природы». Речь идет об эксперименте, который поставил Льюис Ричардсон (Lewis Fry Richardson) — весьма талантливый и эксцентричный математик, физик и метеоролог. Одним из направлений его исследований была попытка найти математическое описание причин и вероятности возникновения вооруженного конфликта между двумя странами. В числе параметров, которые он учитывал, была протяженность общей границы двух враждующих стран. Когда он собирал данные для численных экспериментов, то обнаружил, что в разных источниках данные об общей границе Испании и Португалии сильно отличаются. Это натолкнуло его на следующее открытие: длина границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем. Чем меньше масштаб, тем длиннее получается граница. Это происходит из-за того, что при большем увеличении становится возможным учитывать всё новые и новые изгибы берега, которые раньше игнорировались из-за грубости измерений. И если при каждом увеличении масштаба будут открываться ранее не учтенные изгибы линий, то получится, что длина границ бесконечна! Правда, на самом деле этого не происходит — у точности наших измерений есть конечный предел. Этот парадокс называется эффектом Ричардсона (Richardson effect).

В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. Помимо фрактальной живописи фракталы используются в теории информации для сжатия графических данных (здесь в основном применяется свойство самоподобия фракталов — ведь чтобы запомнить небольшой фрагмент рисунка и преобразования, с помощью которых можно получить остальные части, требуется гораздо меньше памяти, чем для хранения всего файла). Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить стохастические фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты — элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения, что с успехом применяется в физике, географии и компьютерной графике для достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими. В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала. А экономисты используют фракталы для описания кривых колебания курсов валют (это свойство было открыто Мандельбротом более 30 лет назад).



  
#18 | Анатолий »» | 15.06.2013 19:27
  
2
С.Л. Василенко

Золотое сечение в классических фракталах


Золотая пуля не обязательно летит в цель

Рассматривая разнообразные фракталы, возникает интуитивное ощущение их красоты и похожести на экзотические природные объекты либо картинки виртуальных миров.
Подобные чувства рождаются и при исследовании разных предметов, в которых присутствуют стройные пропорции.
Фракталы впервые и наиболее полно описаны в книге Бенуа Мандельброта (1924–2010) «The Fractal Geometry of Nature» (1977) [1].
В математическом смысле фракталом обычно называется множество , для которого дробная размерность Хаусдорфа-Безикевича1 D строго больше его целочисленной топологической размерности DТ.
Иначе говоря, фракталы – самоподобные множества нецелой размерности.
Предыстория вопроса и краткий обзор. С начала широкого распространения фракталов в научном сообществе стали высказываться разного рода предположения о тесной их связи с другим феноменом – золотым сечением (ЗС).
Действительно, их структуры самоподобны2 и отражают проявления гармонии.
Подобно ЗС размерности фракталов, как правило, выражаются иррациональными числами, в основе которых лежат натуральные логарифмы.
Более того, по мере изучения невольно приходит мысль, что фракталы и золотая пропорция являются следствием некого общего механизма мироустройства, за которым стоят гармония, согласованность, когерентность и т.п. При этом гармония понимается широко, воссоздавая элементы слаженности, стройности и разные проявления соразмерности: пропорциональности и симметрии, инвариантности и самоподобия.
На таком фоне, казалось бы "единения и благоденствия" абстрактно-математических форм, неожиданно возникают необычные букеты разноплановых наслоений.
В работе [2] обычные корни квадратного уравнения общего вида рассматриваются как обобщение (?) золотого сечения, на основании чего высказывается идея об их фрактальном строении, образующем «суть солитоно-подобного Тm-cтруктурогенеза мира». – Здесь бесхитростно переставлены причина и следствие, когда наоборот золотое сечение де-факто было выделено из некого множества пропорций, включая квадратичные формы.
Это всё равно, что пытаться обобщать число π.
Что касается квадратичного принципа структурирования, то он вполне приемлем в качестве рабочей гипотезы. Но такой подход вовсе не замыкается на квадратном уравнении и включает в себя общность конусных конструкций и их сечений: точек, пересекающихся прямых, окружностей, эллипсов, парабол и гипербол [3, 4].
В основе такого единства лежит базовое тождество (модифицированное равенство Эйлера), объединяющее шесть фундаментальных математических констант: нуль, две единицы (действительная 1, мнимая i) и тройка "квадратичных" чисел ()e,,152π−=φ [4]:
()01=+φφ+πie.
1 http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension.
2 Самоподобный объект (в математике) в точности или приближённо совпадает с частью себя самого. То есть целое имеет ту же форму, что одна или несколько его частей.
ВаСиЛенко Золотое сечение в классических фракталах 2
В рамках исследования отношений между фракталами и ЗС не обошлось и без эзотерических представлений на основе нумерологического "свертывания" чисел Фибоначчи по теософской редукции. Но «странные фрактальные характеристики» [5] на поверку оказались элементарным проявлением давно известных периодических свойств (периоды Пизано) в числовом преобразовании по (mod m) [6, 7] при m = 9.
Фрактальные отблески увидели и в том [8], что объект, создаваемый согласно рекурсии Фибоначчи с её проекцией на область действительных значений аргумента, при начальных условиях (–Ф, 1) якобы спонтанно разрушается и через 40 циклов переходит в состояние динамического хаоса. Однако было доказано [9], что к этому приводит заурядное накопление ошибок машинного округления в реальных расчетах, которое затем ошибочно истолковывается как спонтанное возникновение бифуркации. Принимаемое по умолчанию преставление чисел в ряде вычислительных программных средств ЭВМ с 16 значащими цифрами как раз и предопределяет возникновение точки перехода в диапазоне значений, близких к n ∼ 40. В то же время нельзя не отметить добротную идею киевских ученых [8] о гипотетическом кодировании-структурировании Вселенной с помощью чисел 1 и Ф.
Труднее всего представить себе «фрактал золотого сечения» и особенно его роль в становлении социальных систем [10]. – Но пишут и об этом, что больше напоминает криминально-рыбацкий сленг "ловли на живца" с применением красочного образа.
Осталось не забыть «золотое сечение фрактальной бифуркации хаоса...».
Некоторые авторы [11] пробуют найти признаки золотого сечения в значениях фрактальных размерностей.
Действительно, фрактальные структуры априори имеют дробную размерность, которая чаще всего заключена в интервале (1, 2), и часть из них достаточно близка к числу Ф≈1,618. Однако какого-либо физического смысла в этом обнаружить не удается, и можно отнести к простому совпадению с той или иной погрешностью.
В частности, можно предложить фрактально подобное равенство
ψ=++=+≈+=φ=Φ−7ln5ln3ln21359ln12151.
Здесь просматриваются не только черты фрактальной структуры, но и сопоставление величины Ф с первой пятёркой несоставных чисел 1, 2, 3, 5 и 7, – с точность до пяти значащих цифр и относительной погрешностью %007,0100)1(=⋅Φψ−.
И хотя «размерности многих классических фракталов с той или иной степенью точности могут быть выражены через золотое сечение» [11], получаемые эмпирические формулы не имеют особого смысла в научном понимании.
Это обычная подгонка результата опытным путём на основе метода проб и ошибок.
Получается приближённое выражение «будь чего» через «будь что».
Так и соотношение 232Φ+Φ=δ′ [11] отражает некую "заоблачную" связь двух констант – золотого сечения Ф и постоянной Фейгенбаума3 δ = 4,66921166... [12, с. 162].
Относительная погрешность ()%15,01001=⋅−δδ′=δ′ε такого приближения считается весьма большой даже для эмпирической формулы.
Так что ни о какой добротной связи говорить не приходится.
Подобные ни к чему не обязывающие соотношения придумываются десятками.
3 Постоянная Фейгенбаума (1975) – универсальная константа, характеризующая бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу. Физически означает скорость перехода к беспорядку систем, испытывающих удвоение периода.

Продолжение следует.
  
#19 | Анатолий »» | 16.06.2013 17:53
  
1
Меньшую погрешность, например, дают такие "с ходу" синтезированные формулы:


Несмотря на их визуальную красоту, проку от них всё одно мало.
Довольно отчетливо прослеживается условно генетическая связь «треугольники – матрёшки – фракталы – золотое сечение» [13], которая может стать прообразом развития новых идей.


Довольно отчетливо прослеживается условно генетическая связь «треугольники – матрёшки – фракталы – золотое сечение» [13], которая может стать прообразом развития новых идей.
Во всяком случае, изложенное построение допускает сколь угодно большое вложение самоподобных треугольников с явными признаками в них числовых характеристик золотого сечения (ЗС), образуя самобытную фрактальную мозаику треугольных гармоничных гео-матрешек.
Но о наличии строгого фрактала говорить пока не приходится.
Встречаются исключительно положительные примеры, в частности, по определению центра масс фрактальных структур [14]: кривых Коха и Пеано, треугольника (ковра) Серпинского. Правда, золотого сечения здесь нет. В отличие, скажем, от центра масс плоских тел с самоподобным вырезом, образующих гамму фракталоподобных геометрических фигур [15]. Оказывается, что центры масс выпуклых однородных тел (с осевой симметрией и самоподобными вырезами с коэффициентом подобия, равным ЗС) располагаются в точности на границе (поверхности) этих тел.
Постановка задачи. Можно было продолжить литературный обзор-звукоряд "фрактальной золотоносности". Но и на упомянутом материале весьма явственно проясняются общие черты. Имея определённую похожесть внешних проявлений, фракталы и золотое сечение разительны в своём внутреннем обустройстве. Хотя и здесь не всё очевидно.
В этой связи, например, весьма любопытным представляется исследование фрактальных структур в области влияния золотого сечения на предмет их устойчивости, изменения форм, визуального восприятия и т.д.
Конечно, фрактальный мир природы очень широкий.
Попытки его жесткой привязки к золотому сечению, как одному из мерил гармонии, скорее всего, обречены на неудачу.
В то же время уникальность решения гармонической пропорции, в том числе необычность и исключительность самого иррационального из всех иррациональных чисел (в цепных дробях выражается одними единицами), просто не могут не оставить своей след и во фрактальной геометрии природы.
Целью работы является выявление возможной взаимосвязи между фрактальными структурами и золотым сечением и построение простых фракталов, обладающих свойствами гармонической пропорции.
Автор не ставит задачу синтеза необычных фракталов, поскольку их можно в достаточном количестве найти на разных сайтах Интернет.
Да и красота – понятие относительное и более релятивное, чем теория Эйнштейна.
Поэтому более важным представляется иное: на несложных примерах и доступными программными средствами показать роль и область использования золотого сечения во множестве фрактальных объектов и планетарной геометрии.
Излагаемый материал не претендует на полноту представления, а демонстрационный материал является всего лишь полезным дополняющим инструментарием.
  
#20 | Анатолий »» | 18.06.2013 20:27
  
1
Исходные предпосылки. Фрактальный принцип позволяет воссоздать всё целое по его доступной части за счёт постоянно сохраняющейся пропорциональности.
Например, сегмент круга "помнит" свой растр независимо от изменения диаметра окружности. Одновременно он содержит информацию, достаточную для восстановления всей окружности заданного радиуса.
В этом контексте число золотого сечения тоже уникально.
Свойство части отражать целое довольно наглядно проявляется в виде «геометрически самоподобной непрерывной дроби для величины ЗС» [16, с. 88].
Что здесь необычного? – Где бы мы мысленно ни отрезали или ни отсекли верхнюю часть многоэтажного формульного каркаса, оставшаяся часть всё равно в точности воспроизведёт значение числа Ф!


Заметим, что данное свойство разложения в непрерывную (цепную) дробь характерно не только для числа Ф.
Подобные свойства обнаруживают также иррациональные числа – корни квадратного уравнения


Возможно, именно эту мысль пытался высказать А. Татаренко в своей гипотезе о фрактальной сути солитоно-подобного cтруктурогенеза мира [2].
Однако это можно было аргументировать без привнесенных теологических наслоений и искусственного золочения решений анализируемого тринома4.
Для конкретизации предмета исследований допустимо выделить следующие элементы фрактальных структур, которые связаны с золотым сечением [17]:
1. Фрактальная размерность D равна числу золотого сечения D=Ф или другим числам, производным от Ф.
2. Длина векторов выражается через Ф простыми соотношениями.
3. Повороты векторов относительно нулевой точки соответствуют "золотым" углам (табл. 1), кратным π/10: 18о, 36о, 72о, 108о и т.п.


В частности, чтобы N одинаковых векторов (генерирующих отрезков) образовали фрактал размерностью D=Ф, их размер следует установить равным
тогда


То есть для всех N частей целого применяется один общий коэффициент подобия r.
  
#21 | Анатолий »» | 19.06.2013 20:14
  
1
Кривая Коха с изменяющимся углом.
Кривая (снежинка) Коха хорошо известна [12, с. 17–19] и в своем роде уникальна.
Она обладает вертикальной осью симметрии.
Свободно умещаясь на небольшом листе бумаги, имеет в пределе бесконечную длину!
Везде непрерывна. Но нигде к ней нельзя провести касательную.


Развивая представления классических фракталов [18, с. 43] можно организовать кривую Коха с изменяющимся углом (рис. 1).
Система итерированных функций [12, с. 96–126] имеет четыре преобразования 4,1=j относительно комплексной переменной z:


Последовательность комплексных чисел, воспроизводящих фрактальную линию, генерируется случайным образом по рекурсивной формуле


Характерные варианты кривых (рис. 2) демонстрируют их заметное отличие в зависимости от угла наклона α в центральном треугольнике (см. рис. 1).
Однако даже в пределах отклонений ± 2о от выбранного характерного угла существенных различий не происходит.
Значит, нет веских оснований утверждать о каком-либо особом влиянии "золотого" угла на формирование фрактала Коха.
  
#22 | Анатолий »» | 21.06.2013 19:56
  
1

Построив основную кривую z1, n по формуле (1), её можно объединить (совместить) с
подобной себе линией со сдвигом и/или поворотом, получая разнообразные причудливые
формы (рис. 3, рис. 4). В данном случае хорошо реализуются фрактальные конструкции в
виде пятиконечной звёзды или снежинки.


  
#23 | Анатолий »» | 22.06.2013 20:53
  
2
Понятно, что этим процесс преобразований не заканчивается.
Всё дело в проявлении смекалки и лёгкой фантазии, совмещённой с простыми
знаниями на кратность углов поворота и др. (рис. 5, рис. 6).


Многоугольники (снежинки) Серпинского. Совокупность векторов на комплексной
плоскости, задающих систему итерируемых функций (СИФ) для данного фрактала,
описывается соотношением [18, с. 42]


один из способов задания комплексных координат
вершин равностороннего K-угольника на описанной вокруг него окружности радиусом R с
центром в начале координат (первая вершина начинается с мнимой оси, что соответствует
положению часовых стрелок на 12 часов);

r > 1 – коэффициент сжатия – некоторое число, выбираемое геометрическим
построением так, что следующая точка ставится на расстоянии в l r от соответствующей
вершины, где l – расстояние до неё начальной точки.
В частности, для построения совершенной фрактальной кривой – без самопересечения
линий и с одновременным сохранением их непрерывности – коэффициент подобия r
следует назначать строго определенным образом [17]:


где угол сектора сопряжения β и угол поворота α от мнимой оси к точке сопряжения
рассчитываются по формулам:


Пятиугольник Серпинского (рис. 7) состоит из пяти одинаковых частей, которые
подобны целому, но имеют в r раз меньший размер, выражаемый через число золотого
сечения:


поэтому его фрактальная размерность равна

  
#24 | Анатолий »» | 24.06.2013 22:01
  
2
Примечательно, что шестиугольник Серпинского (K = 6, r = 3), который имеет более
отдаленное отношение к золотому сечению, чем правильный пятиугольник, тем не менее,
обладает фрактальной размерностью D6 = ln6 ln3 ≈1,6309 , которая отличается от Ф только
на 0,8 %.
Во всяком случае, шестиугольник к ней более близок, чем «усеянный золотом
пятиугольный фрактал» (в смысле наличия в нем множества проявлений золотого сечения):



В тоже время в расчете фрактальной размерности D5 число Ф присутствует в явном
виде, что указывает на непосредственную связь фрактала с золотым сечением.
То есть визуально определяемая форма фрактала обусловлена наличием "золотых"
углов, а его содержание подтверждается дробной размерностью со знаменателем ln(Φ +1).
А внутренняя граница данной фигуры представляет собой пятиугольную снежинку Коха.
Десятиугольник характерен тем, что его сторона равна a = 2sin(π 10) = Φ −1.
Соответственно коэффициент сжатия

а фрактальная размерность


Дракон Хартера–Хейтуя (кривая Пеано, заполняющая плоскость). Фрактальная
фигура определяется генерирующим контуром (рис. 8), в котором угол α примем
переменным, в отличие от традиционного рассмотрения α = 45o.
Генератор – ориентированная ломаная линия, состоящая из N отрезков длиной r.
  
#25 | Анатолий »» | 26.06.2013 18:53
  
1
Фрактальная размерность контура D определяется из уравнения 2rD + (2r)D = 1 или
2(4cosα)−D + (2cosα)−D 1= (рис. 9). В частности, если угол α = 45o, соотношение
эквивалентно кубическому уравнению x2(x −1) = 2 для величины x = 2D 2 с одним
вещественным корнем


Так, для "золотого" угла α = 36o фрактальная размерность составляет D ≈ 1,2610.
Исходя из общих правил, изложенных, например, в работе [18, c. 46], система
итерируемых функций (СИФ), осуществляющая преобразование единичного отрезка (0, 1) в
выше обозначенный генератор, выглядит так:
F(z) j = {z′eiα , 2z′e−iα + 0,25 + ih, z′e α + 0,7 5 − ih}, z′ = l zi ⋅ ,


В частности, для традиционного угла α = π 4 можно использовать модифицированный
генератор только с вертикальными и горизонтальными отрезками (см. рис. 8, справа),
дополнив их последующим общим поворотом по часовой стрелке и сжатием в 2 раз (для
приведения к единичному отрезку), с простой СИФ:


Если теперь методом случайных итераций выбирать эти преобразования с одинаковой
вероятностью (равной 1/3), то результирующее множество точек воссоздаст на плоскости
контур, граница которой фрактальна и имеет дробную размерность.
Варианты построения контура двойного дракона (рис. 10) для разных углов наклона
направляющих отрезков высвечивают каких-либо особенностей "золотых" углов.
Образуемые фигуры естественно разнятся. Но переходы осуществляются настолько плавно,
что конкретики какого-либо отдельного угла совершенно не проявляется.
Используя известный подход [18, c. 46], можно определить СИФ для самого дракона
Хартера–Хейтуя, как плотного заполнения некоторой ограниченной области
Нас интересует некоторая изменяющаяся структура, каковой моет стать генераторы
контура шкуры дракона с переменным углом α (рис. 11).
  
#26 | Анатолий »» | 27.06.2013 20:27
  
1

Первое преобразование переводит ∆ AOC → ∆ ADO. Причем вершины треугольников
переходят по правилу: A →A, O → D, C → O . Данная операция соответствует повороту
∆A OC вокруг начала координат (точки О) по часовой стрелке на угол α (ОС ложится на
вещественную ось x), сжатию вдоль осей x и y в 2 a раза и трансляции на d влево.


Второе преобразование переводит ∆ ACO → ∆ COE , причем вершины треугольников
переходят по правилу: A →C, C → O, O → E . Оно соответствует повороту ∆ ACO вокруг
начала координат (точки О) по часовой стрелке на угол π – α (OA ложится на вещественную
ось x), сжатию вдоль осей x и y в 2 a раза и последующему сдвигу на h вверх в
положительном направлении оси y и вправо на (1– d).
Эти два линейных комплексных преобразования и составляют систему итерируемых
функций, аттрактором которой является модифицированный нами дракон


Таким образом, в основе двойной шкуры дракона лежит генератор, представляющий
собой два параллельных однонаправленных вектора на комплексной плоскости.
  
#27 | Анатолий »» | 28.06.2013 21:01
  
1
Аналогичным образом простая шкура формируется двумя перпендикулярными
векторами.
Причем их месторасположение особого
значения не имеет, поскольку приводит к одной и той же
геометрической фигуре, только с разными размерами и
ориентацией относительно начала координат.
В то же время длины векторов очень важны
Для угла α = 36o сжатие пропорционально


Выбирая эти два преобразования случайным равновероятным
образом методом случайных итераций, получим множество точек
(рис. 12), воспроизводящее картину шкуры двойного дракона.


Характерно, что построенное таким способом изображение гораздо точнее и
гармоничнее передает образ дракона, чем исходное преобразование с углами в 45о и 135о.
Неплотности в заполнении также напоминают мини-драконов и обусловлены
"расползанием" точки O на рис. 11 в золотой треугольник ∆ OB′B′′ с тупым углом в 108о.

  
#28 | Анатолий »» | 01.07.2013 15:06
  
1
В зависимости от длины r и угла наклона α образующих векторов получаем
различные варианты шкуры дракона (рис. 14, рис. 15).
Некоторые из них специально подобраны так, что имеют дробную размерность в
точности равную числу золотого сечения D = Ф.
Структурные формы естественно видоизменяются.
Но чёткие границы-отличия "золотых" от "не золотых конструкций" отсутствуют.
То есть в шкурах дракона явные признаки золотого сечения не наблюдаются. В том
числе, с точки зрения гармоничного восприятия форм.



Зато отчётливо проявляются иные закономерности.


Это действительно специфические свойства данного фрактала. Но, как видим, без
присутствия золотоносных признаков.
Хорошо это или плохо? – Скорее всего, никак. Разве что вызовет некоторое
разочарование активных апологетов ЗС.
Но, как говорится, истина дороже.
  
#29 | Анатолий »» | 02.07.2013 18:37
  
1
Аффинные преобразования. Рассмотренные выше линейные преобразования на
комплексной плоскости являются частным случаем более общего аффинного преобразования
плоскости [18, с. 49]


где четыре числа (a, b, c, d) задают линейное преобразование при неизменном положении
начала координат, а пара чисел (e, f) характеризует обычную трансляцию.


Программирование здесь не
сложное.
Зато существенно расширяются
возможности манипулирования
параметрами, добиваясь самых
разных причудливых форм.
В качестве примера приведены
фракталы с использованием четырех
сжимающих аффинных
преобразований (рис. 16).
Слева на этом рисунке
представлен классический вариант
"листа папоротника" (М. Барнсли),
построенного на базе исходных данных [18, с. 55]. Другие два рисунка сгенерированы
согласно заданным параметрам (табл. 2). Золотые углы не имеют особых преференций.

Таблица 2
  
#30 | Анатолий »» | 03.07.2013 18:34
  
1
Салфетка Серпинского. Три параллельных горизонтально-направленных вектора
длиной r = 0,5 приводят к салфетке Серпинского с фрактальной размерностью


На физическом уровне она получается последовательным вырезанием центральных
равносторонних треугольников [18, с. 20].

Если положить
то получим условно "золотую" салфетку, у которой
фрактальная размерность равна D = Ф. Она практически не отличается от исходной
структуры, незначительно изменяясь по высоте.
Традиционно СИФ задается функцией

Смена направлений этих же векторов изменяет картину с превращением треугольника
на снежинко-подобные образования (рис. 17). При этом взаимное расположение самих
векторов на плоскости принципиального значения не имеет, поскольку происходит простое
"скашивание" углов геометрических фигур.


Примечательно, что салфетка имеет нулевую площадь, поскольку в процессе её
построения исключается площадь, равная площади исходного треугольника. Мы наблюдаем
только бесконечное множество точек, которые не образуют замкнутую фигуру.

Произвольные генераторы. Рассмотрим следующий генератор № 1В, симметричный
относительно центра.

Добавлять комментарии могут только
зарегистрированные пользователи!
 
Имя или номер: Пароль:
Регистрация » Забыли пароль?
 
Пройти курсы по наращиванию ногтей в москве по низким ценам
© decoder.ru 2003 - 2017, создание портала - Vinchi Group & MySites