Прямая

Пряма́я — одно из фундаментальных понятий геометрии.

Изображение прямых в прямоугольной системе координат.

При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Согласно примеру Д. Гильберта («точкой можно назвать хоть стул»), может обозначать достаточно произвольные объекты, даже изображение которых будет зависеть от выбранной аксиоматики и/или модели геометрии. Например, в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского прямыми являются полуокружности.

Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

Общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0 ,

где А и В не равны нулю одновременно.
Коэффициенты А и В являются координатами нормального вектора прямой ( т.е. вектора, перпендикулярного прямой ). При А = 0 прямая параллельна оси ОХ , при В = 0 прямая параллельна оси ОY .
При В 0 получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Уравнение прямой, проходящей через точку ( х0 , у 0 ) и не параллельной оси OY, имеет вид:

у – у 0 = m ( x – х0 ) ,

где m – угловой коэффициент, равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ .
При А 0, В 0 и С 0 получаем уравнение прямой в отрезках на осях:


где a = – C / A , b = – C / B . Эта прямая проходит через точки ( a, 0 ) и ( 0, b ), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a и b .
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки ( х1, у 1 ) и ( х2, у 2 ):
Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку ( х0 , у 0 ) и параллельной направляющему вектору прямой ( a, b ) :
Условие параллельности прямых:

1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 : AE – BD = 0 ,

2) для прямых у = m x+ k и у = p x+ q : m = p .

Условие перпендикулярности прямых:

1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 : AD + BE = 0 ,

2) для прямых у = m x+ k и у = p x+ q : m p = – 1 .

Расстояние между двумя точками ( x1, y 1 ) и ( x2 , y2 ) :
Расстояние от точки ( х0 , у 0 ) до прямой Ах+ Ву+ С = 0 :
Расстояние между параллельными прямыми Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 :
Угол между прямыми: