К вопросу о приливных силах

Приливная волна

Теорией приливов занимаются давно и плотно. Чего стоят такие имена как Галилей, Ньютон, Лаплас, Бернулли, Эйлер, Маклорен, Джорж Дарвин, в настоящее время Бутиков и т.д. Тем не менее, «Множество недоразумений и неточностей в приводимых в учебной литературе объяснениях связано с ролью орбитальных движений Луны и Земли вокруг общего центра масс и осевого суточного вращения Земли в возникновении приливов. Во многих случаях неправильно трактуется вклад центробежных сил инерции в происхождение приливообразующих сил» [1]. Тем не менее, даже исходя из правильных общепринятых соображений, «Если бы поля тяготения, создаваемые на Земле всеми небесными телами, были строго однородными, то точно такое же ускорение они сообщали бы и всем находящимся на Земле телам, и никаких приливов мы бы не наблюдали. Поэтому истинная причина приливных явлений связана с неоднородностью полей тяготения Луны и Солнца, т.е. с изменениями этих полей на протяжении земного шара» [1] – все в основу закладывают модель некоторого пробного тела, расположенного на поверхности Земли, а не сам факт деформации Земли как целого под воздействием неоднородности лунного притяжения. Вот как это выглядит с некоторыми вариациями у различных авторов:
«Пренебрегая размером, строением и формой Луны, запишем удельную силу притяжения пробного тела, находящегося на Земле. Пусть rj – радиус-вектор, направленный от пробного тела в сторону Луны, r j – длина этого радиус-вектора, тогда сила притяжения этого тела Луной будет равна
(1) здесь GML – селеноцентрическая гравитационная постоянная. Пробное тело поместим в точку Р. Сила притяжения пробного тела, помещенного в центр масс Земли, будет равна
(2) где r и r соответственно радиус-вектор, соединяющий центры масс Земли и Луны, и его абсолютная величина. Тогда приливной силой называется разность этих двух сил притяжения
(3) В формулах (1) и (2) притягивающее тело (Луна) рассматривается как материальная точка или шар со сферически симметричным распределением масс.
Силовая функция притяжения пробного тела Луной ничем не отличается от силовой функции притяжения шара (материальной точки), то есть она равна GML/rj. Что касается второй силы, приложенной к центру масс и являющейся силой инерции для всех материальных точек Земли, то она строго постоянная» [2].
Бутиков также сводит к материальной точке на поверхности Земли: «Если тело не находится в центре Земли, то сила FSun притяжения к Солнцу, зависящая от положения тела, и всюду одинаковая сила инерции Fin = − ma0 уже не будут полностью уравновешивать друг друга. Из-за конечных размеров Земли эти две силы в любом месте на Земле не будут в точности равны по величине и противоположны по направлению, за исключением центра Земли. Совместное действие этих сил и называют приливной (или приливообразующей) силой» [1]. Иными словами, постановка задачи сводится к той же формуле (3) с некоторыми вариациями в расчетах. Также она сводится к постановке задачи, заложенной ещё Лапласом: «Лаплас повернул дело совсем по-новому и создал динамическую теорию приливов. Из всех сил, действующих на воду по направлению к Луне, Лаплас принял во внимание только силы, касательные к поверхности воды, так как лишь они играют в явлении приливов серьезную роль. Эти силы на рис. 1 изображены стрелками и заставляют воду образовывать выпуклость, направленную к Луне и от нее» [3].

Однако никто из авторов не учитывал ту самую неоднородность гравитационного поля для протяжённых объектов (хотя все говорили об этом), а сводили всё к пробному телу, расположенному на поверхности Земли, а следовательно, так или иначе к формуле (1). Учёт же данной неоднородности гравитационного поля в корне изменяет представление о приливах и существенно влияет на выводы, которые делаются из решения задачи.
Чтобы продемонстрировать это, рассмотрим модель, представленную на рис. 2.

Как видно из построения, схема самая стандартная для удалённых друг от друга массивных тел. Чтобы учесть неоднородность гравитационного поля, необходимо принять во внимание, что все элементарные объёмы Земли, приливную деформацию которой рассматриваем, обладают одинаковым притяжением к Луне при их нахождении на одинаковом расстоянии. При этом построение на рис. 2 для Земли примет вид, показанный на рис. 3

Из построения видно, что два бесконечно тонких слоя Земли (сферичность которых не учитываем в связи с удалённостью гравитирующих тел), которую для первичного расчета будем предполагать сферической и однородной, находятся на разных расстояниях от Луны и кроме того, имеют разную массу. При этом оба слоя сцеплены между собой, а следовательно, за счёт сцепления на разные плоскости первой массы будут действовать как силы гравитации на саму первую массу, так и силы сцепления другой массы, которые в рассматриваемом случае статического равновесия будут равны притяжению второй массы к Луне.
Рассчитаем параметры, указанные на данной схеме, и предполагая х переменным, изменяющимся от 0 до 2r.
(4) Объёмы слоёв соответственно равны
(5) Как видно из (5), в приближении бесконечно малых слоёв (когда учитывается только первая степень dx), объём этих слоёв оказывается одинаковым и на величину гравитационной силы влияет только месторасположение слоёв.
Исходя из этого, растягивающее усилие, воздействующее на первый расчётный слой определяется как разница сил, действующих на первый и второй слой с учётом равных их масс для бесконечно малой толщины. Здесь нужно сразу принять во внимание, что сама сила, действующая на каждый из рассматриваемых слоёв, является бесконечно малой величиной, поскольку воздействует на массу бесконечно малого объёма. В связи с этим, разница бесконечно малых сил будет уже дифференциалом второго порядка. Таким образом
(6) где m – масса Луны, ρ – средняя плотность Земли, G – гравитационная постоянная. Само же значение силы, растягивающей Землю, определится в результате двойного интегрирования по х, т.е.
(7) Чтобы найти первый интеграл, введём замену p = R + x . При этом (7) примет вид
(8) Поскольку в (8) интегрирование ведётся дважды по одному и тому же параметру р, находим дважды первообразную, а потом подставляем граничные значения. При этом получим для первого слагаемого в квадратных скобках
(9) Второе слагаемое в квадратных скобках после интегрирования примет вид
(10) Третье слагаемое примет вид
(11) В результате с достаточной степенью точности
(12) Учитывая, что масса Земли равна
(13) можно переписать (12) в виде
(14) Выражение (14) описывает полную приливную силу, растягивающую Землю под воздействием гравитационного поля Луны. Для удобства моделирования, а также учитывая, что Земля находится в несвязанном жёсткими связями, эту силу можно рассматривать как две, направленные в противоположные стороны и равные половине рассчитанной силы, как показано на рис. 4.

Далее, с учётом коррекции (14) обычно используемого выражения для силы в форме (2), можно моделировать приливы по ранее применяемым схемам и выводя соответствующим образом динамику процесса, связанную с движением Луны по отношению к Земле. При этом можно ещё упростить задачу, используя ранее найденные нами решения для динамических циклических цепочек[4]. Вид данной модели в применении к моделированию приливных явлений представлен на рис. 5.
Рис. 5. Схема моделирования по аналогии с динамической циклической цепочкой; на схеме: FgM – сила гравитационного притяжения Земли, Frush/2 – приливная сила Луны

Как видно из данной схемы, модель может рассматриваться в качестве некоторой совокупности переменных по амплитуде сил, «обкатывающихся» вокруг распределённой циклической цепочки водного покрова планеты. Безусловно, данное решение будет непростым, но оно будет строго отражать ту исходную парадигму, которая закладывается и в современные расчеты (связанную с неоднородностью поля притяжения Луны), что снимет большинство несоответствий, проявляющихся в существующих расчётах и связанных, в частности, с тем, что подъём приливных волн больше, чем их отток на поперечном диаметре. Это непосредственно видно из самого рис. 5, на котором в поперечном диаметре действует только гравитационная сила Земли FgM, а на продольном диаметре действует разница приливной и гравитационной силы Frush/2 - FgM. Это соответствует как раз модели, представленной в указанной статье.
Таким образом, в результате моделирования мы показали, что приливная сила обусловлена распределённой силой гравитационного притяжения Луны, значение которой отличается от ранее использованного. Учёт этой особенности позволит существенно уточнить моделирование приливных процессов. В частности, из показанного представления не следует существующее мнение о том, что «конце концов из-за приливного трения произойдет полная синхронизация осевого вращения Земли с орбитальным движением Луны, и земные сутки сравняются с месяцем. Луна и Земля в своем орбитальном кружении вокруг центра масс системы будут все время обращены друг к другу одной стороной» [1]. Взаимовлияние, безусловно, существует, но разность между фазами Луны и максимумами приливов всегда будет присутствовать из-за конечности скорости распространения гравитационного поля, а следовательно, и полная синхронизация принципиально невозможна. С увеличением периода обращения Луны будут замедляться и периоды лунных приливов, а когда и если период Луны станет равным и далее меньшим земного периода, данный процесс взаимовлияния сохранится, как сохранится и само тяготение, обуславливающее деформацию Земли. Единственным следствием замедления будет рост амплитуды прилива. Последнее обусловлено выявленной нами обратной пропорциональностью между амплитудой смещения элементов динамической системы и частотой при той же величине воздействующей переменной силы.

Литература:
1. Бутиков Е. И. Физика океанских приливов в компьютерных моделях.
2. Пантелеев В.Л. 6.1 Приливообразующий потенциал, курс лекций МГУ им. Ломоносова.
3. Воронцов-Вельяминов Б.А. Теория приливов.
4. Каравашкин С.Б., Каравашкина О.Н. Циклические цепочки // блог Classical science.