Отрывок из книги Иэна Стюарта
Совместно с издательством «Альпина нон-фикшн» публикуем отрывок из книги Иэна Стюарта «Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни» о том, как связаны математические открытия прошлых веков и технологии последнего столетия.
Зачем нужна математика в повседневной жизни?
Пьер де Ферма знаменит своей Великой теоремой, которая гласит, что если n равно по крайней мере 3, то сумма двух n-х степеней целых чисел не может также быть n-й степенью целого числа. Эндрю Уайлс в конечном итоге нашел этому современное формальное доказательство в 1995 году, примерно 358 лет спустя после того, как Ферма высказал свою гипотезу. По профессии Ферма был юристом, советником парламента в Тулузе, но большую часть времени посвящал математике. У него был друг по имени Френикль де Бесси, парижский математик, известный прежде всего полным каталогом 880 магических квадратов четвертого порядка. Они активно переписывались, и 18 октября 1640 года Ферма написал де Бесси (по-французски), что «каждое простое число делит… одну из степеней любой прогрессии за вычетом единицы, а показатель этой степени делит данное простое число за вычетом единицы».
Если перевести этот текст на алгебраический язык, то Ферма утверждал, что если p — простое число и a — произвольное число, то ap-1-1 делится на p (без остатка). Например, поскольку 17 — простое число, то, согласно его утверждению, все числа
116-1 216-1 316-1 … 1616-1 1816-1 …
кратны 17. Очевидно, 1716-1 придется пропустить: это число никак не может быть кратно 17, поскольку оно на единицу меньше такого числа, а именно 1716. Ферма понимал, что такое дополнительное условие необходимо, но не упомянул этого в письме. Проверим такой случай:
1616-1 = 18 446 744 073 709 551 615
и, разделив это число на 17, получим 1 085 102 592 571 150 095
ровно. Как вам такое?
Этот любопытный факт в настоящее время называют Малой теоремой Ферма, в отличие от Последней (или Великой) теоремы. Ферма был одним из пионеров теории чисел, изучающей глубокие свойства целых чисел. Как в его время, так и в последующие три столетия теория чисел представляла собой самую что ни на есть чистую математику. Она не имела важных применений, и было непохоже, чтобы они когда-нибудь появились. Один из ведущих специалистов Великобритании по чистой математике Годфри Харольд Харди, несомненно, думал именно так, о чем и заявил в своем небольшом шедевре — эссе «Апология математика», опубликованном в 1940 году. Теория чисел была для Харди одной из любимых областей математики, и в 1938 году он вместе с Эдвардом Мейтлендом Райтом выпустил классический труд «Введение в теорию чисел». В нем можно найти и Малую теорему Ферма — это Теорема 71 в главе VI. Мало того, вся глава, по существу, рассказывает о ее следствиях.
Политические и математические взгляды Харди отражали веяния, преобладавшие в то время в высших кругах академического сообщества, и сегодня представляются в значительной мере предвзятыми, но стиль изложения у него легок и элегантен, а кроме того, его статьи позволяют лучше понять академический менталитет тех времен, что тоже весьма ценно. Некоторые из изложенных им взглядов актуальны и сегодня. Харди говорил, что «писать о математике — сплошная тоска для профессионального математика. Математик должен делать что-то значимое, доказывать новые теоремы, чтобы расширять математические знания, а не рассказывать о том, что сделал он сам или другие математики». Такой вот своеобразный подход к «распространению знаний», так высоко ценимому сегодня в академическом мире, но именно он превалировал в общении с неспециалистами еще 40 лет назад.
Одна из причин, по которым Харди считал необходимым оправдывать свою профессию перед публикой, была в том, что, по его мнению, математика того сорта, которой он посвятил свою жизнь, никогда не имела полезных приложений и перспектив их обрести. Математика не оправдывала себя. Интерес Харди к ней был чисто интеллектуальным: удовлетворение от решения сложных задач и расширение абстрактного человеческого знания. Его не особенно беспокоила утилитарная полезность математики, но он испытывал по этому поводу легкое чувство вины. Однако его, как убежденного пацифиста, тревожила возможность использования математики в военных целях. Бушевала Вторая мировая война, а некоторые области математики всегда применялись в военном деле. Архимед, как говорят, использовал свойства параболы, чтобы сфокусировать солнечные лучи на вражеских кораблях и поджечь их, а рычаги — чтобы сконструировать громадную лапу, способную вытащить корабль из воды. Баллистика позволяет нам прицельно метать предметы — от каменных ядер до разрывных снарядов. Ракеты и дроны не могут достичь цели без помощи сложной математики, в частности теории управления. Но Харди был убежден, что его любимая теория чисел никогда — по крайней мере, еще очень-очень долго — не будет иметь военного применения, и гордился этим.
***
Харди писал в то время, когда типичный кембриджский «дон» (преподаватель) тратил около четырех часов в день на научные изыскания и, может быть, часок на работу со студентами, а остальное время отдыхал, заряжая свои интеллектуальные батарейки. Он смотрел крикет и читал газеты. Ему, по всей видимости, просто не приходило в голову, что даже ведущий математик-исследователь мог бы использовать свободное время с пользой и рассказывать неспециалистам, чем в настоящее время занимаются математики. Это позволило бы творить новую математику и параллельно писать о ней. Именно этим многие из нас, профессиональных математиков, занимаются сегодня.
Общее утверждение Харди о том, что значительная доля чистой математики не имеет практического применения и, вероятно, никогда не найдет его, остается верным. Но вот при выборе конкретных примеров бесполезных тем он сильно рисковал попасть впросак. Сказав, что теория чисел и теория относительности еще много лет не смогут послужить никакой военной цели, он, что называется, попал пальцем в небо, хотя нужно признать, что его предсказание не исключало подобное применение полностью. Очень трудно решить заранее, какие идеи найдут применение, а какие нет. Научитесь делать это, и вы сможете без труда разбогатеть. Интересно, что именно те области, которые не кажутся практически применимыми, могут внезапно выскочить на передний план в промышленности, коммерции и, к несчастью, в военном деле. Именно это произошло с теорией чисел и конкретно с Малой теоремой Ферма, которая теперь стала основой того, что мы считаем абсолютно стойкими шифрами.
Ирония ситуации в том, что за два года до того, как Харди написал свою «Апологию…», глава британской контрразведки MI6 купил поместье Блетчли-парк, в котором в будущем должна была разместиться Правительственная школа кодирования и шифрования, секретный дешифровальный центр союзников во время Второй мировой войны. Там, как известно, криптоаналитики взломали шифр машины Enigma, которую Германия использовала в военных целях, и ряд других шифровальных систем стран Оси. Самый известный сотрудник Блетчли-парка Алан Тьюринг начал обучение в 1938 году и прибыл в школу в день объявления войны. Криптоаналитики Блетчли-парка использовали для взлома германских шифров неординарные подходы и математику, в том числе и идеи из теории чисел. Всего лишь через неполные 40 лет после этого произошла настоящая революция в криптографии, фундаментом которой стала теория чисел. Естественно, для новой криптографии нашлось не только гражданское, но и военное применение. Вскоре она приобрела принципиально важное значение для работы интернета. Сегодня мы сильно зависим от нее, по большей части даже не сознавая, что она существует.
Теория относительности тоже нашла свое место не только в гражданской, но и в военной сфере. Можно сказать, что она сыграла определенную роль в реализации Манхэттенского проекта по созданию атомной бомбы. В соответствии с популярной легендой, знаменитая формула Эйнштейна E = mc2 убедила физиков, что в небольшом количестве вещества содержится громадное количество энергии. Это, конечно, сильное упрощение, которое использовалось после ударов по Хиросиме и Нагасаки для объяснения публике принципа действия такого оружия. Не исключено, что таким образом пытались также отвлечь внимание от настоящего секрета: физики ядерных реакций. Более близкий к нам пример — Глобальная система позиционирования, GPS (глава 11), точность которой зависит как от специальной, так и от общей теории относительности. Разработка системы финансировалась американскими военными, а сама она первоначально предназначалась исключительно для них.
Счет 2:2 в пользу военных.
Я совершенно не виню Харди. Он понятия не имел, что происходит в Блетчли-парке, и едва ли мог предугадать стремительный взлет цифровых вычислений и средств связи. Слово «цифровой» означает в основном работу с целыми числами, а ведь именно этим занимается теория чисел. Внезапно оказалось, что результаты, полученные многими поколениями специалистов по чистой математике исключительно из интеллектуального любопытства, теперь можно использовать для инновационной технологии.
