Удивительные примеры логики. Смысл интеграла и производной. В помощь студенту

В помощь студенту

Удивительные примеры логики


Смысл интеграла и производной. В помощь студенту

Комментарии (5)

Всего: 5 комментариев
#1 | Андрей Рыбак »» | 01.01.2018 20:29
  
0
Интегралы чаще всего описываются как “площадь под кривой”. Это описание сбивает с толку. Точно также, как если сказать, что умножение — это “нахождение площади прямоугольника”. Нахождение площади — это одно из полезных применений умножения, но не его суть. Интегралы помогают нам комбинировать числа тогда, когда умножение бессильно.

Так я размышлял про себя на парах математики в ВУЗе:

“Интегралы позволяют нам ‘умножать’ изменяющиеся числа. Мы привыкли к “3 × 4 = 12”, но что если одно из чисел изменяется? Мы не можем умножать меняющиеся числа, поэтому используем интегралы вместо умножения.

Вы услышите много разговоров насчет площади — но это всего лишь один из способов визуализировать умножение. Ключом является не площадь, а идея объединения множеств воедино. Конечно, мы можем интегрировать (“умножать”) длину и ширину, чтобы получить площадь на плоскости. Но мы также можем интегрировать скорость и время, чтобы получить расстояние, или длину, ширину и высоту для получения объема.

Когда мы хотим использовать обычное умножение, но не можем, мы достаем свое оружие и начинаем интегрировать. Площадь — это всего лишь прием визуализации, не зацикливайтесь на нем слишком сильно. А теперь давайте учить математику!”

И вот он, мой момент истины: интегрирование — это улучшенная версия умножения, которая работает с изменяющимися величинами. Давайте изучать интегралы в таком свете.

Понятие умножения
Вот как во все времена и эпохи понимали умножение:

Если речь идет о натуральных числах (3 × 4), умножение — это повторяющееся сложение.
С вещественными числами (3.12 × √2 ), умножение — это масштабирование.
В случае с отрицательными числами (-2.3 × 4.3), умножение — это поворот и масштабирование.
С комплексными числами (3 × 3i), умножение выступает вращением и масштабированием.
Мы ходим вокруг да около “применения” одного числа к другому, и действия, которые мы применяем (повторное суммирование, масштабирование, зеркальное отображение или вращение), могут быть разными. Интегрирование — это всего лишь еще один шаг в этом направлении.

Понятие площади
Площадь — очень тонкое понятие. На данный момент, давайте представим площадь как визуальную интерпретацию умножения:

представим площадь как визуальную интерпретацию умножения

Мы можем “применять” числа на разных осях друг к другу (3 применяется к 4) и получить результат (12 единиц площади). Свойства каждого вводного значения (длина и длина) превратились в результат (единицы площади).

Легко, правда? Не так, как кажется на первый взгляд. Умножение может привести к “отрицательному результату” (3×(-4) = -12), которого не существует.

Мы понимаем график как представление умножения, и используем эту аналогию из-за удобства. Если бы все были слепыми, и в мире не существовало диаграмм, мы бы все равно хорошо справлялись с умножением. Площадь — это всего лишь интерпретация.

Умножение по частям
А теперь давайте умножим 3 × 4.5:

Что такое интеграл

Что происходит? Ну, 4.5 — это не целочисленное число, но мы же можем воспользоваться “частичным” умножением. Если 3×4 = 3 + 3 + 3 + 3, то

3 × 4.5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3×0.5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1.5 = 13.5

Мы берем 3 (значение) 4.5 раза. Таким образом, мы объединили 3 с 4 полными сегментами (3 × 4 = 12), а также одним частичным сегментом (3 × 0.5 = 1.5).

Мы так привыкли к умножению, что даже забываем, как здорово оно работает. Мы можем разбить число на единицы (целые или частичные), умножать каждый кусочек и складывать результаты. Заметьте, как мы легко расправились с дробной частью? Это и есть начало интегрирования.

Проблема с числами
Числа не всегда ведут себя постоянно для наших расчетов. Сценарии типа “Вы ехали 3 часа со скоростью 30 км/ч” не имеют ничего общего с реальностью. Так условия описываются просто для удобства.

Формулы по типу “расстояние = скорость × время” только маскируют проблему; нам все еще нужно брать постоянные числа и умножать. А как узнать пройденное расстояние, если наша скорость постоянно изменялась во времени?

Описываем изменение
Первым испытанием для нас будет описание изменяющегося числа. Мы можем просто сказать: “Моя скорость менялась с 0 до 30 км/ч”. Это не совсем точно: как быстро она изменялась? Были ли изменения плавными?

Давайте будем точны: моя скорость в каждый момент времени равнялась удвоенному количеству секунд. В 1 секунду я двигался со скоростью 2 км/ч. Во 2 секунду скорость уже была 4 км/ч, в 3 секунду — уже 6 км/ч, и так далее:

Что такое интеграл

Вот теперь у нас есть хорошее описание, достаточно подробное, чтобы знать свою скорость в каждый момент времени. Формальное описание звучит как “скорость — это функция времени”, и оно означает, что мы можем взять любой момент времени (t) и узнать нашу скорость в тот момент (“2t” км/ч).

(Это, конечно, не дает ответа на вопрос, почему скорость и время связаны. Я могу ускоряться за счет гравитации, или ослик может толкать меня сзади. Мы всего лишь установили, что с изменением времени изменяется и скорость).

Наше произведение “расстояние = скорость × время”, возможно, лучше написать так:

расстояние = скорость(t) × t

где скорость (t) — это скорость в любой момент времени. В нашем случае скорость (t) = 2t, так что мы пишем:

расстояние = 2t × t

Но это уравнение выглядит странно! “t” по-прежнему выглядит как единичный момент, который нужно выбирать (например, t=3 секунды), а значит и скорость (t) примет единичное значение (6 км/ч). А это нехорошо.

При обычном умножении, мы можем взять одну скорость и предположить, что она одинаковая во всем прямоугольнике. Но изменяющаяся скорость требует совмещения скорости и времени по частям (секунда за секундой). В каждый момент ситуация может быть разной.

Вот как это выглядит в большой перспективе:

Обычное умножение (прямоугольник): берем расстояние, на которое мы продвинулись за секунду, предполагая, что эта величина была постоянной во все последующие секунды движения, и “масштабируем ее”.
Интегрирование (по частям): рассматриваем время как ряд мгновений, в каждое из которых скорость разная. Суммируем расстояния, пройденные посекундно.
Мы видим, что обычное умножение — это частный случай интегрирования, когда количество пройденных метров не изменяется.

Насколько большая эта “часть”?
Насколько велика “часть”, при прохождении дистанции по частям? Секунда? Миллисекунда? Наносекунда?

Ответ навскидку: достаточно мала, чтобы значение было постоянным все время. Нам не нужна идеальная точность.

Более длинный ответ: такие понятия, как пределы, были придуманы, чтобы помочь в покусочном умножении. Принося пользу, они просто решают проблему и отвлекают от сути “объединения величин”. Мне очень не нравится, что пределы проходят в самом начале матанализа, еще перед тем, как студенты вникнут в проблему, которую они решают.

А что по поводу начала и конца?
Скажем, мы исследуем интервал от 3 до 4 секунд.

Скорость вначале (3×2 = 6 км/ч) отличается от скорости в конце (4×2 = 8 км/ч). Так какое же значение мне брать при вычислении “скорости × время”?

Решением будет разбить наши кусочки времени на достаточно мелкие отрезки (от 3.00000 до 3.00001 секунд), пока разность скоростей от начала до конца интервала будет для нас незначительной. Опять же, это более длинный разговор, но “поверьте мне”, что это временной отрезок, который делает разницу незначительной.

На графике представьте, что каждый интервал — это одна точка на прямой. Вы можете нарисовать ровную линию к каждой скорости, и ваша “площадь” будет представлять собой множество отрезков, которое и будет измерять умножение.

Где же “часть”, и каково ее значение?
Разделение части и ее значения далось мне нелегко.

“Часть” — это интервал, который мы рассматриваем (1 секунда, 1 миллисекунда, 1 наносекунда). “Позиция” — это то, где начинается секундный, миллисекундный или наносекундный интервал. Значение — это наша скорость в той позиции.

Например, рассмотрим интервал от 3.0 до 4.0 секунд:

“Ширина” отрезка времени составляет 1.0 секунду
Позиция (начальное время) равно 3.0
Значение (скорость(t)) — это скорость(3.0) = 6.0 км/ч
Опять же, матанализ учит нас сокращать интервал до тех пор, пока разница между значениями в начале и конце интервала будет на столько мала, что ею можно пренебречь, считая этот интервал "точкой". Не выпускайте из вида большую картинку: мы умножаем набор частей.

Понимание записи интеграла
У нас есть здравая идея “покусочного умножения”, но мы никак не можем ее выразить. “Расстояние = скорость(t) × t” все еще выглядит, как обычное уравнение, где t и скорость(t) принимают одно единственное значение.

В матанализе мы пишем это соотношение как

расстояние = ∫скорость(t)dt

знак интеграла (s-образная кривая) означает, что мы умножаем покусочно и суммируем значения в одно.
dt представляет временной “интервал”, который мы рассматриваем. Его называют “дельта t” а не “d раз по t”.
t представляет положение dt (если dt — это промежуток от 3.0 до 4.0, то t равно 3.0)
скорость(t) — это значение, на которое мы умножаем (скорость(3.0) = 6.0))
У меня есть парочка претензий к этой записи:

То, как здесь используются буквы, немного смущает. “dt” выглядит как “d раз по t” в отличие от любого уравнения, которое вы ранее видели.
Мы пишем скорость(t) × dt, вместо скорость(t_dt) × dt. Последний вариант четко указывает, что мы исследуем “t” на конкретном участке “dt”, а не какое-то глобальное “t”
Вы часто встретите ∫скорость(t), без dt. Это вообще помогает легко забыть, что мы выполняем покусочное умножение двух элементов.
Похоже, уже поздно менять форму записи интегралов. Просто запомните эту идею насчет “умножения” чего-то, что изменяется.

Как это понимать
Когда я вижу вот это:

расстояние = ∫скорость(t)dt

Я думаю “Расстояние равно скорости t раз (читая левую часть первой) или “совместите скорость и время, чтобы получить расстояние” (читая правую часть первой).

В уме я перевожу “скорость(t)” как скорость и “dt”, и это превращается в умножение, при условии, что скорости позволено изменяться. Представление интегрирования подобным образом помогает мне сконцентрироваться на том, что на самом деле происходит (“Мы совмещаем скорость и время, чтобы получить расстояние!”) вместо зацикливания на деталях действия.

Бесплатный сюрприз: новые идеи
Интегралы — это очень глубокая идея, также, как и умножение. У вас могло появиться много вопросов, основанных на этой аналогии:

Если интегралы умножают изменяющиеся величины, есть ли что-то, что делит их? (ДА — производные).
Являются ли интегралы (умножение) и производные (деление) взаимообратными? (Да, с некоторыми тонкостями).
Можем ли мы преобразовать уравнение “расстояние = скорость × время” в “скорость = расстояние / время”? (Да).
Можем ли мы совмещать несколько величин одновременно? (Да — это называется многократное интегрирование).
Влияет ли как-то порядок совмещения на результат? (Обычно нет).
Как только вы начнёте воспринимать интегралы как “улучшенное умножение”, вы сразу начнете задумываться о таких вещах, как “улучшенное деление”, “повторное интегрирование” и так далее. Застряв на “площади под кривой”, вы не уловите связи между этими темами. (Математических заучек видение “площади под кривой” и “угла наклона кривой” обратными понятиями ставит в тупик).

Как читать интегралы
У интегралов масса применений. Одним из них является объяснение того, что две величины были “умножены” для получения результата.

Вот как мы представляем площадь круга с помощью интегралов:

Площадь = ∫Длина окружности (r) · dr = ∫2πr · dr = π · r2

Нам бы очень хотелось взять площадь кривой умножением. Но мы не можем — высота изменяется в каждой ее точке. Если мы “развернем” круг, мы увидим, что частичка площади под каждой порцией радиуса будет равна “радиус × отрезок окружности”. Мы можем описать эту связь с помощью интеграла (как описано выше).

А вот как интеграл описывает идею, что “масса = плотность × объем”:

масса = ∫V ρ(r) ∙ dv

Что здесь сказано? Греческая буква "ро" ("ρ") — это функция плотности, которая говорит нам, насколько плотен материал в определенном положении. Так, r∙dv — это частичка объема, который мы рассматриваем. Так что мы умножаем маленький кусочек объема (dv) на плотность в том интервале ρ(r), и потом складываем все эти части, чтобы получить массу.

Мы привыкли просто умножать плотность на объем, но если плотность изменяется, то нужно интегрировать. Индекс V просто означает “интеграл объема”, что по сути является тройным интегралом длины, ширины и высоты! Интеграл предполагает четыре “умножения”: 3 для поиска объема, и еще одно для умножения на плотность.

Что это нам дало?
Сегодняшней целью было не научное понимание интегральных исчислений. Наша цель — расширить модель мышления, и получить представление об интеграле как о надстройке над такими низкоуровневыми операциями как сложение, вычитание, умножение и деление.

Рассматривайте интегралы как улучшенный способ умножения: вычисления станут проще, и вам под силу станут понятия типа кратного интеграла и производной. Приятных вычислений!

Перевод статьи "A Calculus Analogy: Integrals as Multiplication".

Что такое интеграл — это умножение
#2 | Андрей Рыбак »» | 01.01.2018 20:33
  
0
В высшей математике и матанализе все примеры — скучные. "Эй, ребятки! Вы когда-нибудь вообще интересовались расстоянием, скоростью и ускорением движущейся частицы? Нет? Ну, этим мы будем заниматься весь урок!"

Я люблю физику, но это не самый лучший способ разобраться. Мы обречены ждать того момента, когда начнутся лабораторные занятия, или хуже того, это превращает матанализ в "математику для лабораторных занятий". Нельзя ли объяснить это на вещах попонятнее, и желательно применить к реальной жизни?

Думаю, вполне можно. Итак, вот наша цель:

использовать деньги, а не физику, чтобы разобраться с принципами матанализа,
посмотреть, как соотносятся разные понятия: банковский счёт и зарплата, затем зарплата и надбавка,
посмотрим, что ещё можно из этого выжать — можно ли исследовать глубже.
Надейвайте ваши матановые шлемы — время погружаться.

Деньги, денежки, деньжищи
Мой любимый пример из матанализа — это отношение накопительного банковского счёта, зарплаты и надбавки к зарплате.

Знакомьтесь, это Джо ("Привет, Джо!"). Вы, пронырливый мерзавец, проникаете в компьютер Джо и отслеживаете движение по его банковскому счёту каждую неделю. Что полезного вы можете из этого выудить?

производная на примере банковского счётаОп-па! Вообще-то, нечего тут ловить — Джо ничего не получает. А что, если вы теперь видите такую картинку?

Производная — на примере с банковским счётом

Тут всё просто: Джо, похоже, зашибает деньгу. Но сколько? Быстренько посчитав в уме разницу, мы можем определить, сколько ему платят в неделю. Ясно, что Джо получает 100 монет каждую неделю.

Ключевая мысль: если я знаю, как быстро растёт твой счёт в банке, я знаю твою зарплату.
Сумма на счету в банке зависит от зарплаты — эта сумма изменяется из-за еженедельных выплат.

Кому надбавки?
Идём дальше: что ещё мы можем разведать, имея данные о зарплате? Вообще-то, зарплата тоже поддаётся анализу — мы можем проследить, изменяется ли она! Стало быть, мы можем определить, меняется ли зарплата Джо от недели к недели (получает ли он надбавку?).

План таков:

взять понедельную разбивку банковского счёта Джо,
посчитать разницу по счёту и получить данные по его зарплате,
посчитать разницу по зарплате и получить данные по надбавке (если таковая имеется).
В первом примере (100 монет в неделю) очевидно, что никакой надбавкой там и не пахнет (прости, Джо). Основная идея в том, чтобы "найти разницу" и проанализировать первое соотношение (счёта и зарплаты), и потом "найти разницу ещё раз", чтобы проанализировать второе соотношение (зарплаты к надбавке).



Отматываем назад
Мы сейчас двигались в одном направлении — от банковского счёта к зарплате. А работает ли это в другую сторону — если я знаю зарплату, могу ли я предсказать, сколько осядет на счету в банке?

Я вижу, вы медлите с ответом. Да, знать, что Джо получает 100 монет в неделю — неимоверно здорово. Однако... не нужно ли нам учесть то, сколько было на счету изначально?

Чертовски верно! Просто цифры прироста по счёту или зарплате явно недостаточно — с какой отметки начинать-то? Для упрощения (например, в домашней работе) часто допускают, что Джо начал с нуля. Но раз уж вы делаете предположение, вам наверняка хотелось бы знать изначальные условия (то самое преславутое "+ С" в формуле первообразной).

Пример посложнее
Допустим, накопительный счёт Джо растёт вот так: 100, 300, 600, 1000, 1500...



Так, что мы тут видим? Случайный набор цифр? Давайте высчитаем разницу по неделям, и получим такую картину:



Любопытненько — зарплата Джо возрастает каждую неделю! Давайте ещё раз найдём разницу по неделям и посмотрим, что получится:



И вуаля — оказывается, Джо получает регулярное повышение зарплаты на 100 монет в неделю. Не будем останавливаться на достигнутом — давайте нанесём это всё на единую шкалу:



Тут можно рассуждать так: Джо получает повышение зарплаты каждую неделю, из-за этого растёт зарплата, из-за чего увеличивается счёт в банке. Пока надбавка растёт, растёт и зарплата, что также сильно влияет на накопительный счёт. Можно представить себе, что надбавка "раздувает" зарплату, а из-за раздувающейся зарплаты, в свою очередь, "набухает" и банковский счёт.

Ну и... где тут матанализ?
Как выглядит формула для нахождения состояния счёта в банке нашего Джо для любой заданной недели? Ну, это сумма всех его зарплат до этого дня:

100 + 200 + 300 + 400... = 100 × n × (n + 1)/2
Формула суммы последовательности чисел (1 + 2 + 3 + 4...) близка к n2/2, и приближается к ней по мере роста числа слагаемых.

Итак, вот наши первые результаты по математическому анализу:

постоянная надбавка (100 монет/неделю) приводит к тому что, ...
...линейно растёт зарплата (100, 200, 300, 400), что ведёт к...
...квадратичному (что-либо × n2) возрастанию счёта в банке (100, 300, 600, 1000... ну вы видели кривую!)
А почему там приблизительно ½ × n2, а не просто n2? Дам подсказку: линейное возрастание зарплаты (100, 200, 300) даёт нам треугольник. Площадь этого треугольника представляет собой сумму всех выплат, а площадь прямоугольного треугольника равняется ½ × основание × высота. Основание равняется n — числу недель, а высота (прибыль) есть 100 × n.

Такие геометрические манипуляции становятся сущим адом при работе с более сложными задачами — тот факт, что мы можем посчитать 2 × 100 с хвостиком, не означает, что это лучший путь. Матанализ предоставляет нам более мощный инструментарий (производные и интегралы).



Разбираемся с деталями
Наше понимание общей картины с банковским счётом, зарплатой и надбавкой позволяет нам заглянуть глубже.

А можно подсчитать общий доход от 1 недели до 10?

Конечно! Есть два варианта: можно поочерёдно сложить доход за каждую неделю (зарплата за первую неделю + зарплата за вторую неделю + ...), либо же посчитать разницу на счету: сумма по счёту на 10 неделе минус сумма по счёту на первой неделе. У этого метода есть крутое название: Фундаментальная Теорема Матанализа!

Можно ли пойти дальше и найти производную для надбавки?

Ну почему нет? Допустим, надбавка составляет 100 монет/неделю; если мы возьмём производную, то увидим, что она упала до 0 (ведь нет "надбавки для надбавки", она остаётся на неизменном уровне). Однако же, мы вполне можем представить себе ситуацию, когда надбавка тоже возрастает (надбавка первой недели = 100, надбавка второй недели = 200, и т.д.). Пользуясь нашими идеями: если "надбавка надбавки" постоянная, сама надбавка будет расти линейно (что-то × n), зарплата изменяется квадратично (что-то × n2), а счёт в банке растёт кубически (что-то × n3). Ну и в общем-то всё сходится!

Могут ли производные находиться бесконечно?

Ага. Кто знает, может наша последовательность выглядит так: банковский счёт → зарплата → надбавка → инфляция → надой коровы фермера Джо → качество кормёжки коровы фермера Джо. Многие схемы "перестают давать производные", как только мы добираемся до корня проблемы. Но некоторые интересные ситуации, вроде экпоненциального роста, имеют бесконечное число производных! Вы получаете доход, который приносит доход, который приносит доход, ... бесконечно! В таком случае, вы никогда не докапаетесь до исходной причины роста вашего банковского счёта, потому что на него влияет бесконечно число факторов (всё довольно хитро).

А что будет, если производная стала отрицательной?

Хороший вопрос. Если надбавка станет отрицательной, зарплата начнёт уменьшаться. Однако, до тех пор, пока зарплата выше нуля, счёт в банке будет расти! Посудите сами: 100 монет зарплаты вместо 200, конечно, вас не сильно обрадуют, но всё ещё увеличивают ваши накопления в банке. В конце концов, отрицательная надбавка (в таком случае, штраф) пересилит зарплату, и та станет отрицательной, что означает, что теперь Джо платит своему начальнику. Но до тех пор счёт в банке будет увеличиваться.

Как быстро можно находиться производные?

Представьте, что мы анализируем портфель акций, а не банковский счёт. В таком случае, нам понадобилось бы строить нашу модель с зарплатой и счётом на посекундных данных. Идея в том, чтобы использовать настолько короткие интервалы, насколько нам нужно — достаточно серьёзную часть матанализа занимает раздел, который позволяет сказать, "вот такой предел — достаточно точный для меня".

Формулы математического анализа, которые вам обычно попадаются (интеграл от x = 1/2 × x2) отличаются от "дискретных" (сумма от 1 до n = 1/2 × n × (n+1)), потому что в случае дискретных подсчётов используются "кусочные" интервалы.



Что мы имеем в итоге
Зачем мы заморачивались с такой аналогией? Затем, что привычные "расстояние, скорость, ускорение" не приводят к правильным вопросам. Вот какая следующая производная от ускорения?.. (Она называется "толчок" и довольно редко используется). Такой узколобый пример похож на то, как если бы дети думали, что умножение нужно исключительно для нахождения площади, и вообще работает только для двух чисел за раз.

Вот ключевые моменты:

математический анализ помогает нам находить взаимосвязи (банковский счёт с зарплатой и затем с надбавкой),
производная "стремится вниз" (можно посчитать разницу неделю за неделей и отыскать значение зарплаты),
интеграл "стремится вверх" (складываем зарплаты — получаем банковский счёт),
мы можем найти формулу для нужной задачи (имея данные по счёту, предсказать зарплату) или найти нужное значение (какова моя зарплата на третью неделю?),
матанализ полезен и помимо супер-сложных научных вопросов. Если у вас есть данные или формула (уровень производительности, размер населения, ВВП страны) и вы хотите исследовать их поведение, математический анализ — ваш инструмент,
матанализ по учебнику предполагает запоминание правил дифференцирования и интегрирования. Запомни основы (xn, e, ln, sin, cos) и остальное предоставь компьютерам. Наш мозг лучше приспособлен к тому, чтобы переводить наши мысли на язык математики.


В мире моей мечты производная и интеграл станут обыденными вещами. Ведь они являются тем, что можно делать с формулами — так же, как вычитание и сложение являются тем, что можно делать с числами.

"Ребятушки, мы находим общую массу с помощью суммы (масса1 + масса2 = масса3). А чтобы найти, как изменится наше местоположение, мы используем производную."

"Ну да, сложение позволяет совмещать вещи. И да, надо найти производную, чтобы узнать, как меняется положение. Как бы ты считал это по-другому?"

Всегда приятно помечтать. Приятных вычислений!

Перевод статьи "Understanding Calculus With A Bank Account Metaphor".

Что такое производная — на примере с банковским счётом
#3 | Андрей Рыбак »» | 01.01.2018 23:11
  
0
Зачем нужны синусы и косинусы?

#4 | Андрей Рыбак »» | 01.01.2018 23:33
  
0
Почему нельзя делить на ноль?

#5 | Андрей Рыбак »» | 10.01.2018 18:49
  
0
Тригонометрия - это легко и просто, даже для чайников. Например, табличные значения синуса и косинуса легко запомнить с помощью пальцев левой руки.
Добавлять комментарии могут только
зарегистрированные пользователи!
 
Имя или номер: Пароль:
Регистрация » Забыли пароль?
 
© decoder.ru 2003 - 2018, создание портала - Vinchi Group & MySites