Проблема граничных условий

С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина
e-mail: sbkaravashkin@gmail.com
Труды СЕЛФ
блог «Classical Science»
оригинал

Абстракт

На основе комплекса точных аналитических решений задач для упругих систем продемонстрировано, что начальные и граничные условия, которыми обычно пользуются при моделировании, уже включены в моделирующие системы уравнений, что делает излишним вводить эти условия дополнительно. Также показано, что при предельном переходе к динамическим системам с распределёнными параметрами данная особенность сохраняется так же, как сохраняется она и при моделировании лестничных электрических фильтров с несогласованной нагрузкой.


Мы не будем останавливаться на общеиспользуемых особенностях граничных условий. Их большое количество. Это и граничные условия Дирихле, Неймана, Робина. Условия теплового идеального контакта, условия для электромагнитного поля и т.д. «Иногда к граничным относят и начальные условия в нестационарных задачах, таких как решение гиперболических или параболических уравнений»{1}. Единственно, обращу внимание на главную особенность как начальных, так и граничных условий – выделять конкретное решение для конкретной задачи из общего класса решений дифференциального уравнения или системы уравнений. Проще говоря, начальные и граничные условия определяют неизвестные коэффициенты в общем решении, которое привязывает это решение к конкретной математической модели.
Но есть другая сторона медали, которая была до сих пор неизвестна математикам в связи с отсутствием у них упорядоченного комплекса аналитических решений задач для механических динамических систем с сосредоточенными параметрами.
Чтобы показать её, приведём несколько моделирующих уравнений и решений для них из множества задач, решённых нами в данной области математической физики.

1. Однородная полубесконечная линия с сосредоточенными параметрами при воздействии внешней силы на граничный элемент

Общий вид данной линии представлен на рис. 1.

Рис. 1. Общий вид модели полубесконечной упругой линии. F(t) – внешняя сила, воздействующая на первый элемент линии; a – расстояние между элементами в невозмущённом состоянии; Δ – величина смещения n-го элемента в результате возбуждения линии

Стандартная система моделирующих уравнений, описывающая возбуждение в данной линии при гармоническом виде внешней силы, имеет вид
(1)
где m – масса элементов, s – жёсткость связей элементов упругой линии,
Мы видим, что первое уравнение отличается от всех последующих, поскольку в нём отражаются и начальные условия, и область воздействия внешней силы, и наличие границы линии. Данная система уравнений имеет три решения, соответствующие периодическому, критическому и апериодическому режимам колебаний {2}
Для периодического режима
(2)
Для критического режима
(3)
Для апериодического режима
(4)
где Δn – смещение n–го элемента из состояния покоя под воздействием возмущения. Мы видим, что амплитуда колебаний зависит от частоты, амплитуды внешней силы, жёсткости линии и массы элементов линии. Также мы видим, что реакция элементов линии смещена по отношению к фазе воздействующей силы на величину (π/2 – τ). Таким образом, начальные и граничные условия, заложенные в моделирующие уравнения без каких бы то ни было дополнительных условий, полностью детерминированно определяют амплитудные и фазовые характеристики реакции системы на внешнее воздействие.

2. Однородная полубесконечная линия с сосредоточенными параметрами при воздействии внешней силы на внутренний элемент линии

Вид этой линии показан на рис. 2.

Рис. 2. Общий вид модели полубесконечной упругой линии. F(t) – внешняя сила, воздействующая на k-й элемент линии; a – расстояние между элементами в невозмущённом состоянии: Δ – величина смещения n-го элемента в результате возбуждения линии

Моделирующая система уравнений примет вид
(5)
В этой модели уже два уравнения системы отличаются от остальных. Первое уравнение определяет границу линии, а k-е уравнение определяет точку воздействия внешней силы, т.е. начальные условия. Соответственно с этим изменяются и решения.
Получаем для периодического режима колебаний
(6)
Для критического режима колебаний
(7)
Для апериодического режима колебаний
(8)
Мы видим, что изменение моделирующей системы уравнений принципиально изменило и сами решения. Теперь они описывают уже два процесса в одной линии. При этом существенно изменился вид амплитуды и фазовой задержки возмущения в линии. В частности, в периодическом режиме в знаменателе появился делитель cos τ, который не может быть предсказан никакими граничными условиями, налагаемыми на моделирующую систему уравнений.

3. Конечная линия со свободными концами и воздействием на граничный элемент

Вид данной линии представлен на рис. 3.

Рис. 3. Механическая модель конечной упругой линии с сосредоточенными параметрами при воздействии внешней силы на начало линии

Моделирующая система уравнений имеет вид{4}
(9)
Здесь опять свои особенности. Первое уравнение описывает воздействие внешней силы и одну из границ. Последнее уравнение описывает вторую границу. Никаких дополнительных начальных и граничных условий не требуется. Все особенности учтены в самой моделирующей системе уравнений. Эти решения имеют вид:
Для периодического режима колебаний
(10)
Для критического режима колебаний
(11)
Для апериодического режима колебаний
(12)
И опять мы видим изменения решений в связи с изменением граничных условий, заложенных в моделирующую систему уравнений, как видим и полную детерминированной решений, в которых учтены особенности модели.
Если мы будем воздействовать не на граничный, а на внутренний элемент линии, то решения опять изменятся вместе с изменением модели и моделирующей системы уравнений.

4. Конечная линия со свободными концами и воздействием на внутренний элемент

Схема линии приведена на рис. 4.

Рис.4. Общий вид конечной упругой линии, на k-й элемент которой воздействует внешняя сила

Моделирующая система уравнений теперь имеет вид{3}
(13)
В связи с особенностями воздействия, решения расслаиваются, принимая вид
Для периодического режима колебаний
(14)
Для критического режима колебаний
(15)
Для апериодического режима колебаний
(16)
И опять, как и в предыдущих случаях, амплитудные и фазовые характеристики полностью детерминированы и соответствуют конкретной математической модели.
В последней модели возможны условия, при которых в одной из частей линии вообще будут отсутствовать колебания, при наличии колебаний в другой части линии, и что не может быть выявлено никакими начальными и граничными условиями, поскольку точка воздействия внешней силы не может по существующим правилам ассоциироваться с границей, а начальные условия данной особенности не видят. Эффект хорошо виден на приведенных ниже диаграммах на рис. 5.

Рис. 5. Диаграммы вынужденных колебаний в конечной однородной упругой линии с незакрепленными концами при воздействии внешней силы на внутренние элементы линии. Слева – периодический, справа – апериодический режимы колебаний. Параметры линии: m = 0,01 кг; s = 100 Н/м ; a = 0,01 м ; n = 24 ; F0 = 0,48 Н ; f = 30 Гц – в периодическом режиме; F0 = 2,0 Н ; f = 35 Гц – в апериодическом режиме. Критическая частота f = 31,8 Гц

Как видим, нет единого решения для всех задач, как принято сейчас. Сами модели определяют вид решений, и чем сложнее модель, тем более будет проявляться различие между решениями.
В том, что все решения точны, можно убедиться в статьях, на которые даны ссылки ниже и которые опубликованы в международных журналах.
Можно было бы предположить, что данные особенности характерны только для динамических моделей с сосредоточенными параметрами. Но это не так. Чтобы продемонстрировать это, осуществим предельные переходы к линиям с распределёнными параметрами. Это осуществить достаточно просто, приняв
(17)
где T – внутреннее натяжение в линии, x0 – расстояние от отсчетной точки до точки покоя рассматриваемого элемента линии, и устремив к нулю, сохраняя конечными параметры линии T, ρ, x0.
При этом все моделирующие уравнения автоматически сведутся к стандартному волновому уравнению
(18)
Сам переход осуществляется следующим образом. Прежде всего, учитывается, что
(19)
При этом уравнения с граничными и начальными условиями теряют смысл, а общее уравнение преобразуется следующим образом:
(20)
Поскольку все модели сводятся к одному и тому же дифференциальному уравнению с разными начальными и граничными условиями, то и решение должно быть одним и тем же с небольшими вариациями. Хотя сразу можно сказать, что граничных условий для полубесконечной и тем более для бесконечной в оба конца линии никто и никогда записать не сможет. А ведь решения существуют, что само по себе наводит на определённые выводы. Но и для конечных линий общеизвестное правило не выполняется.
Из решений вышеприведенных систем уравнений остаётся только решение для периодического режима колебаний, что вполне естественно, поскольку сама гипотеза сплошности предполагает, что длина волны в линии значительно превосходит расстояние между элементами линии. Этим условиям как раз и соответствует периодический режим колебаний, проявляющийся на низких частотах.
Вследствие данного перехода теряются особенности моделирующих систем, и компенсировать это дополнительными условиями не представляется возможным, поскольку предугадать зависимость амплитуды и фазы решения практически невозможно, тем более в системах со сложными границами.
Если же осуществить предельный переход для уже полученных решений для динамических систем с сосредоточенными параметрами, то для представленных решений получим:
Для полубесконечной модели с возбуждением границы уравнение (2) примет вид
(21)
Для полубесконечной модели с возбуждением внутри системы уравнение (6) примет вид
(22)
Для конечной линии с возбуждением граничного элемента уравнение (10) примет вид
(23)
где l – длина упругой линии.
Наконец, для конечной упругой линии с возбуждением внутри системы, имеем вместо (16)
(24)
Продемонстрировано несколько начальных базовых моделей упругих линий, и во всех случаях мы не использовали дополнительных начальных и граничных условий, но каждый раз получали решение, строго соответствующее модели. Приведенные примеры можно было бы продолжать и продолжать. Можно было бы привести модели с изломами, с переходами неоднородности, с сопротивлением, с резонансными подсистемами, циклические модели{5}. Везде одно и то же. Везде разные решения, разные амплитудные зависимости, разные фазовые соотношения. Нигде дополнительные граничные условия не нужны и везде полный детерминизм, в то время как техника с использованием начальных и граничных условий никогда не сможет привести к аналогичным зависимостям. В более сложных моделях ситуация будет только усугубляться. Это свидетельствует о том, что технология начальных и граничных условий не способна корректно описывать математические модели. Это общее свойство, свидетельствующее, что, пытаясь задавать дополнительные условия вне модели, мы автоматически вносим грубую ошибку в решение. Эта техника не даёт зависимости амплитуды от параметров динамической системы и внешней силы, не выделяет режимы колебаний, не фиксирует фазовых соотношений. Придумать это невозможно. Только решая задачи, в которых указанные условия непосредственно входят в моделирующую систему уравнений и потом, преобразуя задачу к интересующему нас виду, мы приходим к искомым аналитическим решениям. Следует, наконец, вспомнить, что техника с использованием начальных и граничных условий была введена исключительно вследствие отсутствия в прошлые века комплекса аналитических решений, представленных здесь. Но время идёт и нужно идти в ногу со временем, а не цепляться за бессилие математиков прошлых веков, усугубляя ситуацию. Тем более что представленная новая методика была экспериментально проверена и показала полное соответствие расчётного и экспериментального результатов {6}.

Рис. 6. Расчетная амплитудно-частотная (а) и фазо-частотная (б) характеристики входного сопротивления Rin при различных значениях активной нагрузки Rload и постоянном входном токе I(t) от частоты. Параметры исследуемого фильтра: L = 12,6 mГн; C = 0,5 mФ; R0 = 159,15 Ом; rL = 10 Ом; R1 = 20 kОм; R2 = 33 kОм; Rload = 0, 51, 102, 158, 358, 558, 758, 958 Ом

Рис. 7. Схема экспериментальной установки для измерения амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик лестничного фильтра LC-типа. Параметры установки: L = 12,6 mГн; C = 0,5 mФ; R0 = 159,15 Ом; rL = 10 Ом; R1 = 20 kОм; R2 = 33 kОм; Rload = 0, 51, 102, 158, 358, 558, 758, 958 Ом

Рис. 8. Экспериментальная амплитудно-частотная (а) и фазо-частотная (б) характеристики входного сопротивления Rin при различных значениях активной нагрузки Rload и постоянном значении входного тока I(t) от частоты. Параметры исследуемого фильтра: L = 12,6 mГн; C = 0,5 mФ; R0 = 159,15 Ом; rL = 10 Ом; R1 = 20 kОм; R2 = 33 kОм; Rload = 0, 51, 102, 158, 358, 558, 758, 958 Ом

Указанные особенности касаются не только механических динамических систем. Граничные условия не дают достоверных решений во всех областях матфизики, включая гидродинамику, теплопроводность, теорию динамических полей и т.д., поскольку неспособны в полной мере описать внутренние процессы и реакцию модели на внешнее воздействие.
Вот она, настоящая классическая матфизика, а не догматичный уродец, которым хотят её представить ревизионисты всех мастей, неспособные развивать, а потому подменяющие познание бесплодным фантазированием да огульными обвинениями знанию. Чем дольше мир не будет желать это видеть, тем дольше будет попусту тратить время и средства, не подвигаясь к знанию ни на шаг.

Литература

1. Граничные условия Википедия
2. С.Б. Каравашкин. Точное аналитическое решение задачи о колебаниях в одномерной бесконечной упругой линии с сосредоточенными массами. IJMEE, 30 (2002), 2, 138–154.
3. С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина. Некоторые особенности моделирования вынужденных колебаний. Материалы, технологии, инструменты (НАН Беларуси), 5 (2000), 3, 14–19.
4. С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина. Решение для конечных упругих линий с сосредоточенными параметрами. Материалы, технологии, инструменты (НАН Беларуси), 4 (1999), 4, 5–13.
5. С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина. Точные аналитические решения для комплекса задач о колебаниях упругих линий с сосредоточенными параметрами. – Transactions of international conference under IEEE leadership “Control of Oscillations and Chaos” (COC 2000, July 2000, SPb, Russia), 1, p.154
6. С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина. Особенности колебательных процессов в электрических лестничных фильтрах с конечным числом звеньев и несогласованной нагрузкой.

Комментарии

Комментарии не найдены ...
Добавлять комментарии могут только
зарегистрированные пользователи!
 
Имя или номер: Пароль:
Регистрация » Забыли пароль?
 
© decoder.ru 2003 - 2017, создание портала - Vinchi Group & MySites