Комплексные числа

Комплексные числа. Комплексным числом называется число вида z=a+biabRi2=−1

Замечание.
Действительное число a - это действительная часть числа z и обозначается a=Rez
Действительное число b - это мнимая часть числа z и обозначается b=Imz
Действительные числа представляют собой полноценный набор чисел и действий над ними, которого, кажется, должно хватить для решения любых заданий курса математики. Но как решить такое уравнение в действительных числах x2+1=0? Существует ещё одно расширение чисел - комплексные числа. В комплексных числах можно брать корни из отрицательных чисел.
Алгебраическая форма комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа имеет видz=a+bi(aRbRi2=−1)

Замечание. Если a=ReZ=0b=Imz=0, то число z называется мнимым. Если a=ReZ=0b=Imz=0, то число z называется чисто мнимым

Геометрической интерпретацией действительных чисел является действительная прямая. Кроме того, на действительной прямой "нет места для новых точек", то есть любой точке на действительной оси отвечает действительное число. Следовательно, комплексные числа на этой прямой расположить уже нельзя, однако можно попытаться рассмотреть наряду с действительной осью, на которой мы будем откладывать действительную часть комплексного числа, ещё одну ось, ей перпендикулярную; будем называть её мнимой осью. Тогда любому комплексному числу z = a + ib можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс будем откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат - мнимую часть. Таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Если такое соответствие построено, то координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Интерпритацией комплексного числа z = a + b i является вектор OA с координатами(a,b) с началом в точке O(0,0) и концом в точке A(a,b)
Сопряженные числа. Числа z=a+bi и z=a−bi называются сопряженными комплексными числами

Свойство. Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами:z+z=2azz=a2+b2

Противоположные числа. Числа z=a+bi и −z=−a−bi называются противоположными комплексными числами.

Свойство. Сумма двух противоположных комплексных чисел равна нулю:
z+(−z)=0

Равные числа. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части.

Действия с комплексными числами, заданными в алгебраической форме:

Свойство сложения: Сумма двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d)i
Пример: 5+3i+3−i=8+2i

Свойство вычитания: Разность двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1−z2=a+bi−c+di=a−c+(b−d)i

Пример: . 5+3i−3−i=2+4i

Свойство умножения: Произведение двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1z2=a+bic+di=ac−bd+(ad+bc)i

Пример: 3+2i4−i=12−3i+8i−2i2=14+5i

Свойство деления: Частное двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число видаz=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi

Пример: . 1+i2+i=1+i1−i2+i1−i=1−i22−2i+i−i2=23−21i

Действия с комплексными числами, заданных в тригонометрической форме
Запись комплексного числа z = a + bi в виде z=rcos+isin называется тригонометрической формой комплексного числа.

Модуль комплексного числа: r=a2+b2

Аргумент комплексного числа:cos=rasin=rb
Мнимые и комплексные числа

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
x 2 = a ,
где а – известная величина. Решение этого уравнения можно записать как:
Здесь возможны три случая:

1). Если a = 0 , то x = 0.

2). Если а – положительное число, то его квадратный корень имеет два значения: одно положительное, другое отрицательное; например, уравнение x 2 = 25 имеет два корня: 5 и – 5. Это часто записывается как корень с двойным знаком:
3).Если а – отрицательное число, то это уравнение не имеет решений среди известных нам положительных и отрицательных чисел, потому что вторая степень любого числа есть число неотрицательное ( продумайте это! ). Но если мы хотим получить решения уравнения x 2 = a также и для отрицательных значений а , мы вынуждены ввести числа нового типа – мнимые числа. Таким образом, мнимым называется число,вторая степень которого является числом отрицательным. Согласно этому определению мнимых чисел мы можем определить и мнимую единицу:
Тогда для уравнения x 2 = – 25 мы получаем два мнимых корня:
Подставляя оба эти корня в наше уравнение, получаем тождество. (Проверьте !). В отличие от мнимых чисел все остальные числа (положительные и отрицательные, целые и дробные, рациональные и иррациональные) называются действительными или вещественными числами. Сумма действительного и мнимого числа называется комплексным числом и обозначается:

a + b i ,

где a, b – действительные числа, i – мнимая единица.

П р и м е р ы комплексных чисел: 3 + 4 i , 7 – 13.6 i , 0 + 25 i = 25 i , 2 + i.

По материалам http://ucheba-legko.ru/

Комментарии (1)

Всего: 1 комментарий
#1 | Андрей Бузик »» | 04.07.2013 15:35
  
2
Комплексные числа-2

Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D < 0 ( здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа
записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i 2 = –1. Число a называетсяабсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Основные договорённости:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a+ 0 i или a – 0 i. Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5 .

2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi.

3. Два комплексных числа a+ bi и c+ di считаются равными, если a= c и b= d. В противном случае комплексные числа не равны.

Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложениикомплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:

( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i 2 = –1.

П р и м е р . ( a+ bi )( a – bi )= a 2 + b 2. Следовательно, произведение

двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному

положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р . Найти ( 8 + i ) : ( 2 – 3i ) .

Р е ш е н и е . Перепишем это отношение в виде дроби:
Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3i

и выполнив все преобразования, получим:
Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой: Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ biбудет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью.
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:
Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль. __

Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tan = b / a .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через его модуль r и аргумент :
Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.

Это знаменитая формула Муавра.
Здесь k - целое. Чтобы получить n различных значений корня n-ой степени из z необходимо задать n последовательных значений для k ( например, k = 0, 1, 2,…, n – 1 ) .
Добавлять комментарии могут только
зарегистрированные пользователи!
 
Имя или номер: Пароль:
Регистрация » Забыли пароль?
 
© decoder.ru 2003 - 2019, создание портала - Vinchi Group & MySites
ЧИСТЫЙ ИНТЕРНЕТ - logoSlovo.RU