Чарльз Сейфе. Ноль: биография опасной идеи. Фрагменты из книги.



Так как книга имеет правообладателя, ее нельзя полностью печатать. (хотя у меня есть в полном изложении книга)
Возможно только цитирование.
Я буду использовать краткие, самые интересные на мой взгляд моменты из этой книги, но не более.
А всю книгу, если она вас заинтересует, вы может поискать в интернете, как и в электронном виде, так и напечатанную.

Так как я сейчас занимаюсь темой математика нулей и бесконечностей


http://www.decoder.ru/list/all/topic_243/

мне она особо интересна.
На мой взгляд книга написана в живой , интересной манере. Доступна для широкого круга читателей и тех кто увлекается математикой, и тех кто только с ней соприкасается..

Комментарии (3)

Всего: 3 комментария
  
#1 | Анатолий »» | 09.07.2016 17:23
  
0
Чарльз Сейфе Ноль: биография опасной идеи

Перевод с английского Александры Александровой

Из Глава 0


Здесь рассказывается история ноля — его рождения в древности, роста и процветания на Востоке, борьбы за признание в Европе, при шествия на Запад и вечной угрозы современной физике. Это история людей, которые сражались за смысл этого таинственного числа, — ученых и мистиков, исследователей и церковников, каждый из которых пытался понять ноль. Это история попыток западного мира безуспешно (а иногда и насильственно) заслониться от восточной идеи ноля. И это история парадоксов, созданных невинным с виду числом, потрясающим самые блестящие умы даже нашего столетия и угрожающих повредить саму систему научной мысли.

Ноль могуществен, потому что он — близнец бесконечности. Они равны и противоположны, как инь и ян. Они одинаково парадоксальны и одинаково смущают. Самые главные вопросы в науке и в религии касаются небытия и вечности, пустоты и беспредельности, ноля и бесконечности. Споры насчет ноля были сражениями, потрясавшими основы философии, естественных наук, математики и религии. За каждым решением кроются ноль и бесконечность.

Ноль был причиной битвы между Востоком и Западом. Ноль был в центре борьбы между религией и наукой. Ноль стал языком природы и самым важным инструментом математики. И еще он — самая загадочная проблема физики: темная сердцевина черной дыры и яркая вспышка Большого взрыва появились из тщетных попыток нанести нолю поражение

На протяжении всей своей истории, несмотря на отрицание и изгнание, ноль всегда побеждал тех, кто ему противостоял. Человечеству никогда не удавалось заставить ноль покориться его философам. Вместо этого ноль формировал взгляды человека на Вселенную и на Бога.




+++

Из главы 1


Проблема с нолем заключается в том, что мы не нуждаемся в нем в повседневной жизни. Никто не отправляется на рынок, чтобы купить ноль рыб. В определенной мере это наиболее цивилизованная из основ, и ее использование было навязано нам только потребностями разработанных моделей мышления.

Альфред Норт Уайтхед



+++


Ведь нет нужды пасти ноль овец или пересчитывать ноль цыплят. Вместо того чтобы сказать: «У нас ноль бананов», торговец скажет: «У нас нет бананов». Не требуется цифры для обозначения отсутствия чего-нибудь, так что никому и не приходило в голову придумывать для нее обозначение. Поэтому люди так долго и обходились без ноля. Он просто не был нужен, а потому не возникал


+++


Причина была отчасти в том, что египтяне интересовались только практической стороной дела. Они так и не пошли дальше измерения объемов и подсчета дней и часов. Математика не использовалась для чего-либо отвлеченного, если не считать астрологии. В результате даже лучшие египетские математики не могли использовать принципы геометрии там, где это не было связано с реальным миром: они не превратили свою математическую систему в абстрактную систему логики. Они также не соотносили математику с философией. Греки отличались от египтян тем, что пользовались абстракциями и философскими категориями; они довели математику до ее верхней точки в древности. Однако не греки открыли ноль. Ноль пришел с Востока, а не с Запада.




Рождение ноля


+++

Решением этой проблемы был ноль. Около 300 года до н. э. вавилоняне начали использовать два наклонных клинышка Изображение 9 для обозначения пустого места: пустой колонки абака. Символ-заполнитель позволял с легкостью определить, к какому разряду принадлежит значащий символ. До появления ноля значок Изображение 10Изображение 11 мог означать 61 или 3601; благодаря использованию ноля он означал 61; 3601 обозначался как Изображение 12Изображение 13Изображение 14 (рис. 2). Ноль родился из потребности дать каждой последовательности вавилонских цифр единственное постоянное значение.

Хотя ноль был полезен, это был всего лишь символ-заполнитель. Он обозначал только пустое место в колонке абака — той колонке, где все камешки на дне. Он только обеспечивал, что все цифры стоят на правильном месте; собственной числовой ценности он не имел. В конце концов, 000 002,148 означает в точности то же, что 2,148. Ноль в ряду цифр получает значение, зависящее от какой-то другой цифры слева от него. Сам по себе ноль ничего не значит. Ноль был цифрой, а не числом. Он не имел величины.

Величина числа определяется его положением на числовой оси по сравнению с другими числами. Например, число 2 идет до числа 3 и после числа 1; ничто другое значения не имеет. Однако ноль сначала не занимал места на числовой оси, это был просто символ, не имевший места в иерархии чисел. Даже сегодня мы иногда воспринимаем ноль как «нечисло», несмотря на то, что все мы знаем, что он обладает собственной числовой значимостью; мы используем цифру 0 как символ-заполнитель, не связывая его с числом ноль. Ноль следует за цифрой 9, а не перед 1, где следовало бы. Не имеет значения, где находится символ-заполнитель, он может располагаться где угодно на числовой оси. Однако сегодня всем известно, что на самом деле ноль не может находиться где угодно, потому что имеет определенное собственное численное значение. Это число, которое отделяет положительные числа от отрицательных. Он является четным целым числом, предшествующим единице. Ноль должен находиться на своем законном месте — перед плюс единицей и после минус единицы. Никакое другое его положение не имеет смысла. Тем не менее ноль располагается в конце ряда на компьютерной клавиатуре и внизу экрана телефона, потому что мы всегда начинаем считать с единицы.

Единица представляется наиболее подходящей для начала счета, но это заставляет нас помещать ноль на неестественное для него место. Для других культур, как, например, майя, живших в Мексике и в Центральной Америке, начало счета с единицы вовсе не казалось рациональным. На самом деле майя имели систему чисел и календарь более логичные, чем наши. Как и у вавилонян, в их системе величина числа зависела от места, на котором стоит обозначающая его цифра. Единственным существенным отличием служило то, что вместо 60 в качестве основы майя использовали 20, с остатками более ранней десятеричной системы. Как и вавилонянам, им требовался ноль, чтобы определять, что какая цифра значит. Для пущего интереса майя пользовались цифрами двух типов: простой основывался на точках и черточках, более сложный — на глифах, гротескных лицах. Нетрудно воочию убедиться, насколько странно сейчас выглядят цифры майя


продолжение следует.
  
#2 | Анатолий »» | 10.07.2016 09:28
  
0
Устрашающие свойства пустоты.


Однако страх перед нолем коренился глубже, чем страх бездны. Для древних математические свойства ноля были непостижимы, столь же окутаны тайной, как и рождение Вселенной. Причина этого крылась в том, что ноль отличается от всех остальных чисел. В отличие от других цифр в вавилонской системе, нолю никогда не позволялось стоять в одиночку — и не без основания. Оказавшись сам по себе, ноль ведет себя странно, по крайней мере не так, как остальные числа.

Если прибавить число к самому себе, оно изменится. Один плюс один — уже не один, а два. Два и два дают четыре. А вот ноль плюс ноль есть ноль. Это нарушает основной принцип счисления, называемый аксиомой Архимеда и говорящий, что если прибавлять число к самому себе достаточное количество раз, результат превзойдет по величине любое другое число. (Аксиома Архимеда была сформулирована в терминах площадей; число рассматривалось как разница между двумя неравными площадями.) Ноль же отказывается увеличиваться. Он также отказывается увеличивать любое другое число. Сложите два и ноль, и вы получите два; дело выглядит так, словно вы и не складывали ничего. То же самое происходит и при вычитании. Отнимите ноль от двух, и вы получите два. Ноль не имеет реальности. Однако это лишенное реальности число угрожает нарушить простейшие математические операции, такие как умножение и деление.


+++

В области чисел умножение означает растяжение — в буквальном смысле слова. Представьте себе, что числовая ось — это резиновая лента с делениями на ней (рис. 4). Умножение на два может рассматриваться как растяжение резиновой ленты вдвое: то деление, которое приходилось на отметку «один», теперь переместилось на «два»; приходившееся на «три» — на «шесть». Аналогично умножение на одну вторую сходно с некоторым сжатием резиновой ленты: деление на «два» перемещается на «один», деление на «три» — на «полтора».



Но что происходит при умножении на ноль? Сколько бы раз ни взять ноль, все равно будет ноль, и все деления соберутся на ноле. Резиновая лента порвалась. Вся числовая ось нарушилась.

К несчастью, нет способа обойти этот неприятный факт. Любое число ноль раз — ноль; это свойство нашей системы счисления. Чтобы в повседневно используемых числах был смысл, они должны обладать тем, что именуется свойством дистрибутивности

+++

Если же применить это свойство к нолю, получается нечто странное. Мы знаем, что 0 + 0 = 0. Возьмем в качестве примера число 2. 2 + 0 = 2 + (0 + 0); согласно свойству дистрибутивности, мы также знаем, что 2 × (0 + 0) — то же самое, что 2 × 0 + 2 × 0. Однако это означает, что 2 × 0 = 2 × 0 + 2 × 0. Чем бы ни было 2 × 0, когда вы прибавляете это число к самому себе, оно остается тем же самым, очень похожим на ноль. На самом деле это он и есть. Если вычесть 2 × 0 из обеих частей равенства, мы увидим, что 0 = 2 × 0. Таким образом, что бы вы ни делали, умножение числа на ноль дает ноль. Это зловредное число сжимает числовую ось в точку. Однако сколь бы досадным ни было это свойство, истинная сила ноля делается очевидной при делении, а не умножении.

Если умножение растягивает числовую ось, то деление сжимает ее. Умножьте какое-нибудь число на два, и вы растянете резиновую ленту — числовую ось — вдвое; разделите результат на два, и резиновая лента сожмется вдвое, произведя действие, обратное умножению. Производя деление, вы уничтожаете следствие умножения: метка на резиновой ленте, переместившаяся на новое место, возвращается в прежнее положение.

Мы видели, что произошло при умножении числа на ноль: числовая ось была уничтожена. Деление на ноль должно было быть противоположностью умножению на ноль — оно должно было бы восстановить числовую ось. К несчастью, этого не происходит.

В предыдущем примере мы видели, что 2 × 0 есть 0. Таким образом, чтобы совершить действие, обратное умножению, мы должны предположить, что (2 × 0) / 0 вернет нас к 2. Точно так же (3 × 0) / 0 должно вернуть нас к 3, (4 × 0) / 0 — к 4… Однако каждое из чисел 2 × 0, 3 × 0, 4 × 0, как мы видели, равно 0, так что (2 × 0) / 0 = 0 / 0, (3 × 0) / 0 = 0 / 0, (4 × 0) / 0 = 0 / 0. Увы, это означает, что 0 / 0 = 2, а также 0 / 0 = 3, 0 / 0 = 4… Это же бессмыслица!


+++

Странные вещи происходят и в том случае, если мы посмотрим на 1 / 0 с другой точки зрения. Умножение на ноль должно произвести действие, обратное делению на ноль, так что 1 / 0 × 0 должно быть равно 1. Однако мы видели, что любое число, умноженное на ноль, дает ноль. Нет такого числа, которое, умноженное на ноль, давало бы 1, по крайней мере, среди чисел, с которыми мы встречались.

Хуже всего то, что если вы необдуманно разделите на ноль, вы можете разрушить все основы логики и математики. Достаточно всего один раз — один-единственный — разделить на ноль, и это позволит вам математически доказать все что угодно. Вы сможете доказать, что 1 + 1 = 42, а из этого вывести, что Эдгар Гувер был инопланетянином, Уильям Шекспир — узбеком, и даже что небо — в горошек. (Приложение А поможет вам доказать, что Уинстон Черчилль был морковкой.)

Умножение на ноль уничтожает числовую ось. Однако деление на ноль разрушает всю систему математики.

Это простое число обладает большим могуществом. Оно стало самым важным математическим инструментом. Однако благодаря своим странным математическим и философским свойствам ноль пришел в столкновение с фундаментальной западной философией





Продолжение следует.
  
#3 | Анатолий »» | 10.07.2016 15:44
  
0
Глава 2

Из ничего ничто и выйдет.


Ноль вступил в противоречие с одним из центральных принципов западной философии, утверждением, корни которого уходят в нумерологию Пифагора и парадоксы Зенона. На этом основании покоилась вся греческая философия: пустоты не существует.

Греческая вселенная, созданная Пифагором, Аристотелем и Птолемеем, выжила и после падения греческой цивилизации. В этой вселенной не существует такой вещи, как ничто. Ноля не существует. По этой причине Запад почти два тысячелетия не мог принять ноль. Последствия этого были печальны. Отсутствие ноля препятствовало росту математики, душило новое в науке и попутно вызвало путаницу с календарем. Прежде чем принять ноль, философы Запада должны были разрушить свою вселенную.


+++


На самом деле сколь бы маленькую мерку мы ни использовали, невозможно найти такую, которая измерила бы сторону и диагональ квадрата в совершенстве: диагональ несоизмерима со стороной квадрата. Тем не менее без общей меры невозможно выразить длины двух отрезков так, чтобы они образовали пропорцию. Это значит, что для квадрата со стороной в единицу длины нельзя найти такие натуральные числа a и b, чтобы диагональ квадрата могла быть выражена как a / b. Другими словами, диагональ квадрата выражается числом иррациональным; сегодня мы понимаем, что это число — корень квадратный из двух.

+++


Бесконечность и пустота обладали могуществом, которое пугало греков. Бесконечность грозила сделать всякое движение невозможным, а пустота — разбить Вселенную вдребезги. Отвергая ноль, греческие философы придали своему взгляду на Вселенную жизнеспособность на протяжении двух тысячелетий.

Доктрина Пифагора сделалась краеугольным камнем западной философии: Вселенная управлялась отношениями и формами; планеты двигались по небесным сферам и в своем вращении создавали музыку сфер. Но что лежало за их пределами? Существовали ли все бо́льшие и бо́льшие сферы? Была ли самая внешняя из сфер концом Вселенной? Аристотель и более поздние философы настаивали на том, что не может существовать бесконечного числа сложенных друг в друга сфер. Приняв такую философию, Запад отверг возможность существования бесконечности или бесконечного, потому что бесконечность — благодаря Зенону Элейскому, человеку, которого его современники считали совершенно невыносимым, — начинала подгрызать корни западного мышления.


+++


Греки не могли проделать этот ловкий математический трюк. У них не было понятия предела, потому что они не верили в ноль. Элементы бесконечной последовательности не имели предела, или пункта назначения; считалось, что они делаются меньше и меньше без какого-то определенного конца. В результате греки не могли справиться с бесконечностью. Они размышляли над концепцией пустоты, но отвергали ноль как число; они заигрывали с понятием бесконечности, но отказывались признать существование чисел, которые бесконечно малы или бесконечно велики. Это было величайшим недочетом греческой математики, и это было единственным, что помешало им открыть дифференциальное и интегральное исчисление.


+++


Доказательство Архимеда с использованием треугольников было очень близко к идее предела и бесконечно малых, без их действительного открытия. В своих более поздних работах Архимед вычислил объемы тел вращения параболы и окружности вокруг прямой, что, как знает любой изучающий математику, есть одно из первых домашних заданий при изучении курса дифференциального и интегрального исчисления. Однако аксиома Архимеда отвергала ноль, который является мостом между областями конечных и бесконечных величин, мостом, абсолютно необходимым для дифференциального и интегрального исчисления и высшей математики.

+++


Если вы внимательно присмотритесь, то увидите, что люди и в самом деле начинают считать с ноля. Секундомер начинает отсчет с 0:00.00 и доходит до 0:01.00 только через секунду. Спидометр автомобиля, только что изготовленного на заводе, установлен на 00000, хотя к тому моменту, когда продавец пригонит его в магазин, он покажет на несколько миль больше. У военных день официально начинается в 00:00 часов. Однако считая вслух, вы всегда начнете с «один», если только вы не математик и не программист[12]. Это имеет отношение к порядку.

Когда вы имеете дело с пересчитыванием чисел — 1, 2, 3 и т. д., их легко расположить по порядку: число 1 идет первым, 2 — вторым, 3 — третьим. Нам не нужно беспокоиться о том, чтобы не перепутать количественный смысл числа — то есть кардинал, мощность соответствующего ему множества (например, множества пяти единиц) — с его порядковым номером, ординалом, поскольку по сути это одно и то же. Так обстояли дела многие годы, и все были довольны. Но когда появился ноль, аккуратные взаимоотношения между мощностью и порядковым номером оказались разрушены. Числа расположились так: 0, 1, 2, 3; 0 оказался на первом месте, 1 — на втором, 2 — на третьем. Кардинал и ординал перестали быть взаимозаменяемыми. В этом и кроется корень проблемы с календарем.


+++


Зияющая бездна



И все-таки это не было полное «ничто»: было нечто бесформенное, лишенное всякого вида… Здравый разум убеждал меня совлечь начисто всякий остаток формы, если мысленно хочу представить бесформенное, но я не мог.

Св. Августин. «Исповедь»[13]


+++


Глава 3

Ничто не позволено




Ноль отправляется на Восток



Поистине, бесконечное — счастье. Нет счастья в малом, лишь бесконечное — счастье.

Чхандогья-Упанишада[14]


+++


Как многие восточные религии, индуизм пропитался символизмом двойственности. (Конечно, эта идея периодически возникала в западном мире, где сразу же клеймилась как еретическая. Одним таким примером может служить манихейская ересь, которая рассматривала мир как находящийся под влиянием равных и противоположных сил — добра и зла.) Как инь и ян на Дальнем Востоке и зороастрийский дуализм на Ближнем Востоке, индуизм видел творение и уничтожение переплетенными между собой. Бог Шива был одновременно создателем и разрушителем мира и изображался с барабаном творения в одной руке и огнем разрушения в другой (рис. 13). Однако Шива одновременно олицетворял ничто. Один из аспектов этого божества, Нишкала Шива, буквально именовался «Шива без частей». Он был первозданной бездной, окончательным ничто — олицетворением безжизненности. Однако из бездны родилась Вселенная, как и бесконечность. В отличие от западной вселенной индуистский космос имел бесконечную протяженность; за пределами нашей Вселенной существовали бесчисленные другие вселенные.


+++


В то же время, впрочем, космос никогда не лишался своей изначальной пустоты. Ничто было тем, из чего возник мир, и снова достичь ничто было окончательной целью человечества. В одной из легенд Смерть говорит ученику о душе: «В сердцах всех людей скрыт Атман, Дух, Самость. Он меньше мельчайшего атома и больше величайших пространств».

Этот Атман, присутствующий во всем, есть часть сущности Вселенной, и он бессмертен. Когда человек умирает, Атман освобождается из тела и скоро входит в другое существо; душа переселяется, и происходит реинкарнация. Целью индуиста является полное освобождение Атмана из цикла перерождений, прекращение блужданий от смерти к смерти. Путь к достижению окончательного освобождения — достижение безжизненности и пренебрежение иллюзией реальности. «Тело, обитель духа, находится под властью удовольствий и страданий, — говорит бог. — Если человек подчиняется своему телу, этот человек никогда не освободится». Однако стоит вам отделить себя от капризов плоти и погрузиться в безмолвие и пустоту своей души, и вы будете освобождены. Ваш Атман вылетит из сетей человеческих желаний и присоединится к коллективному сознанию — бесконечной душе, пронизывающей Вселенную, одновременно пребывающей всюду и нигде. Это — бесконечность и ничто.

Таким образом, Индия, общество, где активно исследовалась пустота и бесконечность, приняла ноль.


+++

Индийские математики сделали больше, чем просто приняли ноль. Они преобразовали его, изменив его роль: символа-заполнителя — на число. Эта реинкарнация и дала нолю его силу.

+++


Числа наконец отделились от геометрии, они стали использоваться для большего, чем просто измерение объектов. В отличие от греков индийцы не видели квадратов в квадратных числах или площади треугольника, перемножая две величины. Вместо этого они видели взаимодействие чисел — чисел, лишенных их геометрического значения. Это было рождением того, что теперь мы знаем как алгебру. Хотя такой склад ума не позволил индийцам много внести в геометрию, он имел другое, неожиданное следствие. Он освободил индийцев от недостатков греческой системы мышления — и, в частности, отвержения ноля.

Поскольку числа лишились своего геометрического значения, математики могли больше не беспокоиться насчет того, что какие-то математические операции не имели геометрического смысла. Вы не можете скосить три акра травы с поля в два акра, но ничто не мешает вам вычесть три из двух. Сегодня мы знаем, что 2 — 3 = –1 (отрицательная величина). Впрочем, для древних это вовсе не было очевидно. Много раз, решая уравнения, они получали отрицательный результат и заключали, что их решение не имеет смысла. В конце концов, если вы мыслите в терминах геометрии, что такое отрицательная площадь? Для греков это была просто бессмыслица.


+++


Как 2 — 3 считалось числом, так и 2 — 2 было числом для индийцев. Это был ноль. Не просто символ-заместитель, обозначавший пустое место на абаке, а число. Ноль имел собственное значение и фиксированное место на числовой оси. Поскольку ноль был равен 2 — 2, то он должен был находиться между (2 — 1) и отрицательным числом (2 — 3). Ничто другое не имело смысла. Ноль больше не мог располагаться справа от девяти, как это имеет место на компьютерной клавиатуре; ноль занимал свое собственное место на числовой оси. Числовая ось больше не могла существовать без ноля, как не могла существовать система счисления без числа 2. Ноль наконец-то явился.

Впрочем, даже индийцы думали, что ноль — в силу всех обычных причин — весьма странное число. В конце концов, ноль, умноженный на что угодно, — это ноль; он все всасывает в себя. А уж когда вы делите на ноль, начинается полная фантасмагория. Брахмагупта пытался выяснить, что такое 0 / 0 и 1 / 0, но ему это не удалось. «Ноль, деленный на ноль, — ничто, — писал он. — Положительное или отрицательное число, деленное на ноль, есть дробь c нолем в знаменателе». Другими словами, он думал, что 0 / 0 есть 0 (он, как мы увидим, ошибался), а 1 / 0… ну, этого мы не знаем, потому что высказывание Брахмагупты смысла не имеет. В основном он махал руками и надеялся, что проблема сама собой исчезнет.

+++


Ошибка Брахмагупты продержалась не так уж долго. Со временем индийцы поняли, что 1 / 0 бесконечно велико. «Эта дробь, у которой знаменатель — ноль, называется бесконечным количеством, — пишет Бхаскара, индийский математик XII века, говоря о том, что происходит, когда какое-то число прибавляется к 1 / 0. — Не происходит изменения, как бы много ни было прибавлено или убавлено, как ничего не меняется в бесконечном и неизменном Боге».

Бог был найден в бесконечности и в ноле.


+++


Арабские цифры


Слово «зеро» имеет индийские и арабские корни. Приняв индийско-арабские цифры, арабы также приняли и ноль. Индийское название ноля было «сунья» — «пустое»; арабы переделали это слово в «сифр». Когда некоторые западные ученые описывали новое число своим коллегам, они превратили «сифр» в нечто, звучащее как бы по-латыни: «зефирус», откуда и пошло «зеро». Другие западные математики так сильно не исказили слово «сифр» и стали называть ноль «цифра». Ноль был так важен для новой системы счисления, что люди начали называть цифрой любой знак для записи числа; отсюда, в частности, произошло французское chiffre, в равной степени применимое к любой из арабских цифр


+++


Мусульмане ухватились за идеи атомистов. В конце концов теперь, когда стал использоваться ноль, идея пустоты снова сделалась респектабельной. Аристотель пустоту ненавидел, атомисты настаивали на ее существовании. Библия говорила о создании мира из пустоты, в то время как греческая доктрина отвергала такую возможность. Христиане, преклонявшиеся перед греческой философией, ставили Аристотеля выше Библии; мусульмане же сделали противоположный выбор.




Я то, что я есть: ничто



Каббала была гораздо большим, чем манипуляции с числами. Это была настолько мистическая традиция, что некоторые ученые видят в ней поразительное сходство с индуизмом. Например, каббалисты ухватились за идею двойственности природы Бога. Еврейский термин «ейн соф», означающий «бесконечный», представлял созидательный аспект Бога, ту часть Божества, которая создала Вселенную и пронизывает каждый уголок космоса. Однако в то же время Бог имел и другое имя: «айин», или «ничто». Бесконечность и пустота шли рука об руку и обе были частью Божественного Создателя. Более того, термин «айин» является анаграммой (и имеет то же числовое значение), что и слово «аний», означающее на иврите «я». Ничего не могло быть яснее — Бог закодированно говорил: «Я — ничто и одновременно — бесконечность

+++


Триумф ноля

бесконечный бог ничто

Ноль и бесконечность были самой сердцевиной Возрождения. По мере того как Европа медленно пробуждалась от Темных веков, пустота и бесконечность — ничто и все — грозили уничтожить аристотелевы основания Церкви и открыть путь научной революции.


+++

Первым продемонстрировал силу бесконечности и ноля итальянский зодчий Филиппо Брунеллески: он создал реалистичное изображение, пользуясь бесконечно удаленной точкой.

По определению, точка — это ноль, благодаря концепции измерений. В повседневной жизни вы пользуетесь трехмерными объектами. (Эйнштейн показал, что наш мир имеет четыре измерения, как мы увидим в следующих главах.) Часы у вас на столе, чашка кофе, которую вы выпиваете утром, книга, которую вы читаете на ночь, — все это трехмерные объекты. Теперь представьте себе, что огромная рука спускается сверху и расплющивает книгу. Вместо трехмерного объекта книга теперь — плоский прямоугольник. Она потеряла одно измерение: она имеет длину и ширину, но не имеет высоты. Книга стала двумерна. Теперь представьте, что она повернута на бок и снова сплющена огромной рукой. Книга больше не является прямоугольником. Она сделалась отрезком прямой, снова потеряв одно измерение: не имеет высоты и ширины, но имеет длину. Она — одномерный объект. Вы можете лишить ее даже этого единственного измерения. Сплющенный по длине, отрезок прямой становится точкой, бесконечно малой, не имеющей ни высоты, ни ширины, ни длины. Точка — это объект, имеющий ноль измерений.

+++

В 1425 году Брунеллески поместил именно такую точку в центр изображения знаменитого флорентийского здания — Баптистерия. Этот имеющий ноль измерений объект, исчезающая точка, бесконечно малое пятнышко на картине, представляет собой нечто, бесконечно удаленное от зрителя (рис. 18). Объекты на картине отступают в даль, они делаются все ближе к исчезающей точке, делаются более сжатыми по мере того, как удаляются от зрителя. Все, находящееся достаточно далеко — люди, деревья, здания, — сжимаются в имеющую ноль измерений точку и исчезают. Ноль в центре картины содержит бесконечность пространства.


+++


То, что ноль и бесконечность соединены в бесконечно удаленной точке, — не совпадение. Умножение на ноль заставляет числовую ось сжаться в точку; исчезающая точка заставляет большую часть Вселенной сократиться до крошечного пятнышка. Это сингулярность, концепция, ставшая позднее очень важной в истории науки, однако на том раннем этапе математики знали немногим больше художников о свойствах ноля.

+++

Неприятности начались в 1517 году, когда страдающий запором немецкий монах прибил к двери церкви в Виттенберге список своих тезисов. (Запор Лютера носит легендарный характер. Некоторые ученые считают, что его великие разоблачения Церкви пришли ему на ум, когда он сидел в уборной. «Освобождение Лютера от цепей страха совпало с освобождением его кишечника», — говорит один текст, комментирующий данную теорию.) Это было началом Реформации; интеллектуалы повсюду начали оспаривать авторитет папы. К 1530-м годам английский король Генрих VIII, стремясь обеспечить законность передачи трона, отверг власть папы и объявил себя главой Английской церкви.

Католическая церковь должна была нанести ответный удар. На протяжении столетий заигрывая с философами, под угрозой раскола она снова вернулась к ортодоксии и опять стала опираться на учения таких ученых, как святой Августин и Боэций, и на аристотелевское доказательство существования Бога. Кардиналы и служители Церкви больше не могли подвергать сомнению древние доктрины. Ноль стал еретической идеей. Следовало принять заключенную в скорлупу Вселенную, отвергнув пустоту и бесконечность. Один из ударных отрядов, распространявших эти учения, был создан в 1530 году: орден иезуитов, собрание высокообразованных интеллектуалов, хорошо подготовленных для нападения на протестантизм. Церковь имела и другие инструменты для борьбы с ересью — испанская инквизиция начала сжигать протестантов в 1543 году, в том же году, когда умер Коперник, а папа Павел III издал индекс запрещенных книг[20]. Контрреформация была попыткой Церкви восстановить старый порядок, удушив новые идеи. Мысль, поддержанная такими разными людьми, как епископ Этьен Тампье в XIII веке и кардинал Николай Кузанский в XV веке, могла означать смертный приговор в XVI столетии

+++

Ноль и пустота



Я оказываюсь созданным таким образом, что являюсь как бы чем-то средним между Богом и небытием, или между Высшей сущностью и ничем.

Рене Декарт. «Размышления о первой философии»


+++

Декарт понял, что не может начать свои две оси с числа 1. Это вело бы к ошибке, подобной той, которую совершил Беда, обновляя календарь. Однако в отличие от Беды Декарт жил в Европе, где арабские цифры стали делом обычным, поэтому он начал отсчет от ноля. В самом центре системы координат — там, где пересекаются оси, — сидит ноль. Начало, точка (0, 0) — основа декартовой системы координат. (Названия, использовавшиеся Декартом, несколько отличались от тех, которыми мы пользуемся сегодня. В частности, он не распространял свою систему на отрицательные числа, хотя его коллеги быстро это сделали.)

Декарт быстро понял, как могущественна его система координат. Он использовал ее для преобразования фигур и форм в уравнения и числа. Благодаря декартовым координатам любой геометрический объект — квадрат, треугольник, кривая — мог быть выражен уравнением в виде математической зависимости. Например, окружность с центром в начале координат является геометрическим местом точек с координатами xБольше2 + yБольше2 — 1 = 0. Парабола может быть обозначена как y — xБольше2 = 0.

+++

Для Декарта ноль также крылся во владениях Бога наравне с бесконечностью. Поскольку старая аристотелева доктрина рушилась, Декарт, верный своей иезуитской подготовке, старался использовать ничто и бесконечность взамен прежнего доказательства существования Бога.

Как и древние мыслители, Декарт полагал, что ничто — даже знание — не может быть создано из ничего. Это означало, что все идеи, все философские системы, все понятия, все будущие открытия уже существуют от рождения в умах людей, а исследования — просто процесс раскрытия уже вложенного знания законов, управляющих Вселенной. Поскольку мы имеем концепцию бесконечного совершенного существа в наших умах, Декарт утверждал, что это бесконечное совершенное существо — Бог — должно существовать. Все остальные существа меньше Бога, они конечны. Все они находятся где-то между Богом и ничто. Они — сочетание бесконечности и ноля.

Однако хотя ноль снова и снова появлялся в философии Декарта, он до самой смерти настаивал на том, что пустоты — окончательного ноля — не существует. Дитя Контрреформации, Декарт узнал об Аристотеле как раз в тот момент, когда Церковь в наибольшей мере полагалась на его принципы. В результате Декарт, проникнутый философией Аристотеля, отрицал существование вакуума.


+++

Ноль и научная революция



Когда в математику были введены переменные величины и когда их изменяемость была распространена до бесконечно малого и бесконечно большого, тогда и математика, вообще столь строго нравственная, совершила грехопадение… Девственное состояние абсолютной значимости, неопровержимой доказанности всего математического навсегда ушло в прошлое; наступила эра разногласий, и мы дошли до того, что большинство людей дифференцирует и интегрирует не потому, что они понимают, что они делают, а просто потому, что верят в это, так как до сих пор результат всегда получался правильный.

Фридрих Энгельс. «Анти-Дюринг»

+++


В глубине могучего нового инструмента научного мира — дифференциального и интегрального исчисления — таился парадокс. Изобретатели исчисления, Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц, создали мощнейший математический метод благодаря делению на ноль и сложению бесконечного числа нолей. Оба действия были столь же нелогичны, как сложение 1 и 1, чтобы получить 3. Дифференциальное и интегральное исчисление в своих основах отрицали математическую логику. Их принятие было актом веры. Ученые совершили этот прыжок, поскольку дифференциальное и интегральное исчисление есть язык природы. Чтобы в совершенстве понимать этот язык, наука должна была победить бесконечные ноли.




Бесконечные ноли


Представьте себе следующую серию: 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + 1… Нетрудно увидеть, что сумма этой серии равна нолю: ведь (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1)… — то же самое, что 0 + 0 + 0 + 0 +…, что, несомненно, дает в сумме ноль. Однако внимание! Сгруппируйте члены серии иначе: 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) +… Это то же самое, что 1 + 0 + 0 + 0 +… и явно равняется 1. Одна и та же сумма бесконечного числа нолей одновременно равна 0 и 1! Итальянский священник отец Гвидо Гранди даже использовал эту серию для доказательства того, что Бог мог создать Вселенную (1) из ничего (0). На самом деле такая серия в сумме может давать что угодно. Чтобы сумма стала равна 5, используйте 5 и –5 вместо 1 и –1, и можно будет доказать, что 0 + 0 + 0 + 0 +… равно 5.

+++


Сложение бесконечного числа объектов друг с другом может приводить к странным и противоречивым результатам. Иногда, когда члены стремятся к нолю, сумма оказывается конечной, прекрасным, нормальным числом вроде 2 или 53. В других случаях сумма делается бесконечно большой. А сумма бесконечной серии нолей может равняться вообще чему угодно. И все это происходило одновременно. Происходило нечто странное, и никто не знал, как же обращаться с бесконечностью


+++

Теперь представьте себе, что вы пытаетесь оценить размер треугольника, вписывая в него маленькие прямоугольники. При первой попытке вы получите площадь в 16 — гораздо меньше действительной площади в 32. Вторая попытка окажется несколько лучше. С помощью трех прямоугольников вы получите площадь в 24. Близко, но вы еще не у цели. Третья попытка дает 28 — еще ближе.

Как вы видите, использование меньших и меньших прямоугольников, ширина которых, обозначенная символом Øx, стремится к нолю, делает результат все более близким к 32, истинной площади треугольника. (Сумма площадей прямоугольников равна ∑f(x)Øx, где греческий символ ∑ означает сумму по соответствующему ряду, а f(x) есть уравнение кривой, к которой стремятся прямоугольники.

В современном написании, при том что x стремится к нолю, мы заменяем ∑ новым символом, ∫, а Øx — dx, что превращает уравнение в ∫f(x)dx — в интеграл.)

+++

так Кавальери складывал бесконечное число неделимых нолей для определения площади или объема геометрического объекта.

Утверждения Кавальери весьма беспокоили геометров. Сложение бесконечного числа имеющих нулевую площадь отрезков не могло дать двумерного треугольника, а бесконечного числа имеющих нулевой объем плоскостей — трехмерный объект. Это была та же проблема: нет логического смысла в сумме бесконечного числа нолей. Тем не менее метод Кавальери всегда приносил правильный ответ. Математики стали игнорировать логические и философские нестыковки при сложении бесконечного числа нолей, особенно поскольку неделимые, или бесконечно малые, как их стали называть, величины наконец позволили найти ответ на давно существовавшую проблему касательной.

+++

Когда вы пытаетесь рассчитать наклон касательной, процесс приближения вам портит ноль. По мере того как аппроксимация делается все лучше и лучше, точки на кривой, которые вы для нее используете, оказываются все ближе друг к другу. Это означает, что разница по вертикали, Øy, стремится к нолю, как и расстояние по горизонтали между точками, Øx. В результате, когда аппроксимация касательной делается все лучше, Øy / Øx приближается к 0 / 0. Ноль, деленный на ноль, может равняться любому числу на свете. Имеет ли наклон касательной какое-либо значение?

+++

Каждый раз, когда математики пытались иметь дело с бесконечностью или с нолем, они сталкивались с логическими трудностями. Чтобы вычислить объем бочки или площадь параболы, математики складывали друг с другом бесконечные ноли; чтобы найти касательную к кривой, они делили ноль на самого себя. Ноль и бесконечность заставляли простой акт нахождения касательной или определения площади выглядеть противоречащими самим себе. Эти трудности положили бы конец интересным рассуждениям, если бы не одно обстоятельство: эти бесконечности и ноли служат ключом к пониманию природы


+++

Дифференциальное и интегральное исчисление, с другой стороны, дало ученым способ выражать законы, управляющие движением небесных тел, — и законы, со временем позволившие узнать, как эти луны и звезды возникли. Дифференциальное и интегральное исчисление оказалось истинным языком природы, но оно было пронизано нолями и бесконечностью, которые грозили уничтожить новый инструмент.


+++
Метод давал правильный ответ, но ньютоновское действие исчезновения очень смущало. Если, как настаивал Ньютон, (оx́)больше2, (оx́)больше3 и более высокие степени оx были равны нолю, то и само оx́ должно быть равно нолю[28]. С другой стороны, если оx́ — ноль, то деление на оx́, как мы делали в конце, то же самое, что деление на ноль — как и самый последний шаг избавления от о в верхней и нижней части выражения оý / оx́. Деление на ноль запрещено математической логикой



+++


Например, возьмем знаменитое уравнение, с которым все мы знакомимся в школе: скорость, умноженная на время, дает расстояние. Оно показывает, как далеко (на сколько миль — x) вы продвинетесь, если будете бежать с постоянной скоростью v в час на протяжении t часов: υt = x. Это уравнение очень полезно, когда вы подсчитываете, сколько времени займет путь от Нью-Йорка до Чикаго на поезде, который едет со скоростью ровно 120 миль в час. Однако сколько предметов на самом деле двигаются с постоянной скоростью, как поезд в этом математическом примере? Уроните мяч, и окажется, что он падает все быстрее и быстрее. В данном случае уравнение x = vt попросту неверно. В случае падающего мяча x = gtбольше2 / 2, где g — ускорение, вызванное гравитацией. С другой стороны, если вы приложите к мячу увеличивающуюся силу, может оказаться, что x = atбольше3 / 3. Равенство расстояния скорости, умноженной на время, — это не универсальный закон, он действует не при всех условиях.

Исчисление позволило Ньютону объединить все эти уравнения в один великий свод законов — законов, приложимых во всех случаях, при всех условиях. Впервые наука смогла увидеть универсальные законы, лежащие в основе всех этих мелких полузаконов. Несмотря на то, что математики знали о глубинном пороке анализа, связанном с математикой ноля и бесконечности, они быстро восприняли новые математические инструменты. Дело в том, что природа говорит не обычными уравнениями. Она говорит дифференциальными уравнениями, и математический анализ — инструмент, который нужен, чтобы их создавать и решать.

Дифференциальные уравнения отличаются от обычных, с которыми все мы знакомы. Обычное уравнение подобно машине: вы скармливаете машине числа, и она выбрасывает ответ. Дифференциальное уравнение тоже похоже на машину, но на этот раз вы вводите в машину уравнения, а получаете новые уравнения. Загрузите уравнение, описывающее условия проблемы (движется ли мяч с постоянной скоростью или на мяч действует сила), и в результате получите уравнение, в котором закодирован ответ, который вы ищете: двигается ли мяч по прямой или по параболе. Одно дифференциальное уравнение управляет всем неисчислимым количеством уравнений-законов. И в отличие от мелких уравнений-законов, которые то выполняются, то нет, дифференциальное уравнение верно всегда. Это универсальный закон, возможность заглянуть в механизм природы. Математический анализ Ньютона — его метод флюксий — сделал именно это: связал вместе такие концепции, как позиция, скорость, ускорение. Когда Ньютон обозначил положение функцией времени x, он понял, что скорость — это просто флюксия (современные математики называют ее производной от положения по времени: x́), а ускорение — всего лишь производная от скорости по времени: x˝ Переход от положения к скорости и к ускорению и обратно так же прост, как дифференцирование или интегрирование.

Имея в руках такой инструмент, Ньютон смог создать простое дифференциальное уравнение, описывающее движение всех тел во Вселенной: F = mx˝, где F — сила, действующая на тело, а m — его масса. (На самом деле это не вполне универсальный закон, поскольку уравнение верно, только когда масса объекта постоянна. Более общая версия закона Ньютона[29] выглядит так: F = ṕ, где p — количество движения, или импульс тела. Конечно, уравнения Ньютона были со временем усовершенствованы множеством ученых, в том числе Эйнштейном.)

+++


Ньютон не любил бесконечно малые величины, маленькие о в его флюксиях иногда вели себя как ноль, а иногда — как отличные от ноля числа. В определенном смысле эти бесконечно малые были бесконечно малы, меньше любого положительного числа, но все же каким-то образом больше ноля. Для математиков того времени это была смешная концепция.

Ньютона смущали бесконечно малые в его уравнениях, и он заметал их под ковер. Маленькие о в его уравнениях были всего лишь посредниками, костылями, которые чудесным образом исчезали к концу выкладок. С другой стороны, Лейбниц наслаждался бесконечно малыми. Там, где Ньютон писал о x́, Лейбниц писал dx — бесконечно малый кусочек x. Бесконечно малые выжили без изменений во всех расчетах Лейбница; действительно, производная от y по x было не свободным от бесконечно малых отношением флюксий ý / x́, а отношением бесконечно малых dy / dx.

В исчислении Лейбница с этими dy и dx можно было обращаться как с обычными числами, поэтому современные математики и физики обычно используют обозначения Лейбница, а не Ньютона. Дифференциальное исчисление Лейбница обладало той же силой, что и метод Ньютона, а благодаря обозначениям даже несколько большей. Тем не менее под всеми математическими ухищрениями дифференциалы Лейбница имели ту же запретную природу 0 / 0, которая вредила флюксиям Ньютона. До тех пор, пока сохранялся этот недостаток, исчисление продолжало основываться скорее на вере, чем на логике. (На самом деле вера очень сильно влияла на Лейбница, когда он создавал новые математические методы, например двоичную систему счисления. Любое число могло быть записано как ряд нолей и единиц. Для Лейбница это было созданием ex nihilo, созданием Вселенной из ничего, большего, чем Бог / 1 и пустоты / 0. Лейбниц даже пытался убедить иезуитов использовать это знание для обращения китайцев в христианство.)

+++

Правило Лопиталя нанесло первый удар по тревожащим математиков выражениям 0 / 0, постоянно встречавшимся в математическом анализе. Правило дало способ определять истинную величину математических функций, стремящихся к 0 / 0 в данной точке. Правило Лопиталя гласит, что значение отношения функций равно производной верхнего выражения, деленному на производную нижнего выражения. Например, рассмотрим выражение x / (sin x), когда x = 0. При x = 0 sin x = 0, так что выражение принимает вид 0 / 0. Используя правило Лопиталя, мы увидим, что выражение стремится к 1 / (cos x), поскольку производная x — это 1, а производная sin x — это cos x. При x = 0 cos x равен 1, так что все выражение равно 1 / 1 = 1. Ловкие манипуляции могли также позволить с использованием правила Лопиталя разрешать и другие странные вопросы: ∞ / ∞, 0 / 0, 0 / ∞, ∞0.

+++


Все эти выражения, но особенно 0 / 0, могли бы принимать любые значения, какие только пожелаете, в зависимости от того, какие функции вы поставите в числитель и в знаменатель. Поэтому-то 0 / 0 и назвали неопределенностью. Это теперь не было полной тайной, математики могли получить некоторую информацию о 0 / 0, если подходили к делу очень осторожно. Ноль больше не был врагом, которого следовало избегать, это была подлежащая изучению загадка.


+++

Это правило было чрезвычайно важным для разрешения трудностей с 0 / 0, однако лежащая в их основе проблема оставалась. Новая математика Ньютона и Лейбница зависит от деления на ноль и от чисел, которые чудесным образом исчезают при возведении в квадрат. С помощью правила Лопиталя 0 / 0 исследуется инструментами, изначально опирающимися на 0 / 0. Эти аргументы — замкнутый круг. Физики и математики по всему миру начали использовать математический анализ для изучения природы, а концепцию абсолютного пространства — для объяснения движения — под крики протеста со стороны Церкви.

+++

Хотя математики того времени язвили по поводу логики Беркли, славный епископ был совершенно прав. В те дни исчисление было очень отлично от других областей математики. Каждая теорема в геометрии строго доказывалась. Позаимствовав несколько правил у Евклида и тщательно, шаг за шагом продвигаясь вперед, математик мог доказать, что углы треугольника в сумме равны 180 градусам, или любой другой геометрический факт. С другой стороны, анализ основывался на вере.

Никто не мог объяснить, как при возведении в квадрат исчезают бесконечно малые. Этот факт просто принимался потому, что, заставив их исчезнуть в нужный момент, математики получали правильный результат. Никого не беспокоило деление на ноль, раз удобное игнорирование правил математики объясняло все — от падения яблока до орбит планет на небе. Хотя анализ давал правильные результаты, его использование было таким же актом веры, как вера в Бога.


+++

Конец мистицизма



Количество — это что-то или ничто; если это что-то, оно еще не исчезло; если это ничто, оно буквально исчезло. Предположение, что имеется промежуточное состояние между этими двумя, — химера.

Жан Лерон Даламбер


+++

Несмотря на шаткие основания, к концу XVIII века математики по всей Европе достигли поразительных успехов, используя новый инструмент. Колин Макларен и Брук Тейлор, возможно, лучшие английские математики эры изоляции от континента, обнаружили, как использовать исчисление для того, чтобы записывать функции в совершенно новом виде. Например, используя некоторые уловки, математики обнаружили, что функция 1 / (1 — x) может быть записана как 1 + x + xбольше2 + xбольше3 + xбольше4 +… Хотя два выражения выглядят совершенно разными, они (с некоторыми пояснениями) — в точности одно и то же.

Эти пояснения, вытекающие из свойств ноля и бесконечности, могут оказаться очень важными. Швейцарский ученый Леонард Эйлер, вдохновленный простыми манипуляциями с нолем и бесконечностью в исчислении, используя те же рассуждения, что и Макларен и Тейлор, «доказал», что сумма… 1 / xбольше3 + 1 / xбольше2 + 1 / x + 1 + x + xбольше2 + xбольше3 + xбольше4 +… равна нолю. (Чтобы убедиться, что тут что-то не то, подставьте в качестве x число 1 и посмотрите, что получится.) Эйлер был прекрасный математик — он был одним из самых плодовитых и влиятельных ученых в истории, но в этом случае небрежное обращение с нолем и бесконечностью заставило его сделать ошибку.

+++

Когда в выражении присутствует бесконечность или когда мы делим на ноль, все математические операции, даже такие простые, как сложение, вычитание, умножение и деление, оказываются все закона. Все делается бессмысленным, так что когда вы имеете дело с бесконечным рядом членов, даже знак + делается не таким уж однозначным. Поэтому-то сумма бесконечного числа +1 и –1, как мы видели в начале главы, одновременно равна 0 и 1.

Однако поставив перед рядом знак lim, вы отделяете процесс от его цели. Таким образом, вы избегаете манипулирования бесконечностью и нолями. Так же, как в случае Ахиллеса, каждая из частичных гонок конечна, конечна и каждая частичная сумма под знаком lim. Их можно складывать, делить, возводить в квадрат — делать с ними все что угодно. Правила математики работают, потому что все объекты конечны. Затем, после того как все манипуляции завершены, вы находите предел: экстраполируете и находите, к чему выражение стремится.

+++


То же самое происходит при нахождении производной. Вместо того чтобы делить на ноль, как делали Ньютон и Лейбниц, современные математики делят на число, которому они позволяют стремиться к нолю. Они производят деление — совершенно законно, поскольку в операции не участвует ноль, — а потом находят предел. Жульнические уловки с исчезновением возведенных в квадрат бесконечно малых, а затем делением на ноль, чтобы найти производную, больше не нужны

+++

Больше не было необходимости делить на ноль.

+++

Ноль и бесконечность всегда выглядели подозрительно похожими друг на друга. Умножьте ноль на что угодно, и вы получите ноль. Умножьте бесконечность на что угодно, и вы получите бесконечность. Деление числа на ноль дает бесконечность, деление числа на бесконечность дает ноль.

Прибавление ноля к числу оставляет число без изменения. Прибавление числа к бесконечности оставляет бесконечность без изменения. Это сходство было очевидным со времен Ренессанса, но математикам пришлось ждать до конца Французской революции, прежде чем они открыли большой секрет ноля.

Ноль и бесконечность — две стороны одной медали, равные и противоположные, инь и ян, одинаково могучие противники на противоположных концах области чисел. Причиняющая неприятности природа ноля связана со странной силой бесконечности, и можно понять бесконечное, изучая ноль. Чтобы узнать об этом, математикам пришлось погрузиться в мир воображаемого, странный мир, где окружности — прямые, прямые — окружности, а бесконечность и ноль находятся на противоположных полюсах.

+++

Ноль — не единственное число, которое веками отвергалось математиками. Как и ноль, страдавший от предубеждения греков, игнорировались и другие числа — за то, что не имели геометрического смысла. Одним из таких чисел было i, обладавшее ключом к странным особенностям ноля.

Алгебра предложила новый способ смотреть на числа, совершенно оторванный от греческих геометрических идей. Вместо того чтобы пытаться измерить площадь под параболой, как это делали греки, ранние алгебраисты искали решения уравнений, определявших соотношения между разными числами. Например, простое уравнение 4x — 12 = 0 описывает, как неизвестная величина x соотносится с числами 4, 12 и 0. В данном случае x равен 3. Подставьте 3 вместо x в данном уравнении, и вы сразу увидите, что уравнение выполняется: 3 — это решение уравнения 4x — 12 = 0.

Начав нанизывать символы, чтобы получить уравнение, вы можете столкнуться с чем-то неожиданным. Например, возьмите то же уравнение и замените в нем знак «–» на знак «+». Вы получите совершенно невинно выглядящее уравнение 4x + 12 = 0, однако теперь его решение –3, отрицательное число.

+++

Ноль и бесконечность вечно борются за поглощение всех чисел. Как в манихейском кошмаре, эти двое сидят на противоположных полюсах числовой сферы, всасывая в себя числа, как маленькие черные дыры.


+++


Георг Кантор

Бесконечность больше не была тайной, она стала обыкновенным числом. Это был наколотый на булавку образец, приготовленный для изучения, и математики быстро взялись за анализ. Однако в самых глубинах бесконечности, угнездившись в огромном континууме чисел, все время появлялся ноль. Самое поразительное то, что сама бесконечность может быть нолем.

+++

Это есть определение бесконечного: это нечто, что может оставаться той же мощности, даже если вы из него что-то вычтете.

+++


Четные числа, нечетные числа, целые числа — все эти множества имеют одинаковую мощность, размер, которую Кантор обозначил как Изображение 620 (алеф-ноль, названный так по первой букве еврейского алфавита). Поскольку эти наборы имеют ту же мощность, что и множество натуральных чисел, любое множество мощности Изображение 630 называется счетным. (Конечно, на самом деле вы не можете их пересчитать, если не располагаете бесконечным временем.) Даже множество рациональных чисел — множество чисел, которые могут быть записаны как a / b для целых чисел a и b, — является счетным. Ловко отведя рациональным числам подобающие места, Кантор показал, что рациональные можно «рассадить» по стульям с натуральными номерами, то есть что они образуют множество размера

+++

Слабым утешением для него послужило бы то, что его работы стали основой целой новой области математики: теории множеств. Используя теорию множеств, математики открыли не только числа, о которых мы ничего не знаем; они разработали неслыханные до того понятия — бесконечные бесконечности, которые можно складывать, вычитать, умножать и делить, как обычные числа. Кантор открыл целую новую вселенную чисел. Немецкий математик Давид Гильберт сказал о нем: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором». Однако для Кантора признание опоздало: весь остаток жизни он лечился в психиатрических больницах и в 1918 году умер в одной из них

+++

Глава 7

Абсолютные ноли

+++

Осмысленная математика включает пренебрежение количеством, когда оно мало, но не пренебрежение, когда оно бесконечно велико и когда вам этого не хочется!

Поль Дирак

Наконец стало неоспоримым, что бесконечность и ноль неразделимы и чрезвычайно важны для математики. У математиков не осталось иного выбора, кроме как научиться жить с ними. Для физиков, впрочем, ноль и бесконечность казались совершенно несущественными для понимания того, как функционирует Вселенная. Сложение бесконечностей и деление на ноль могут быть частью математики, но это не путь природы.

Или так надеялись ученые. Пока математики открывали связи между нолем и бесконечностью, физики начали сталкиваться с нолями в мире природы. Ноль перекочевал из математики в физику. В термодинамике он стал непреодолимым барьером: самой низкой возможной температурой. В общей теории относительности Эйнштейна ноль превратился в черную дыру, чудовищную звезду, проглатывающую целые солнца. В квантовой механике ноль оказался странным источником энергии — бесконечной и вездесущей, присутствующей даже в глубоком вакууме призрачной силой, проявляемой ничем.

+++

Согласно ей, все на свете — свет, электроны, протоны, маленькие собачки — имеют свойства и волны, и частицы. Однако если тела одновременно и частицы, и волны, чем они могут быть? Математики знают, как их описать: это волновые функции, решения дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Шрёдингера. К несчастью, это математическое описание не имеет интуитивного значения, практически невозможно представить себе, что такое эти функции[31]. Более того, по мере того как физики выявляли тонкости квантовой механики, обнаруживались все более странные вещи. Возможно, самая невероятная из них вызвана нолем в уравнениях квантовой механики — это энергия нулевых колебаний.

Эта странная сила входит в математические уравнения квантовой вселенной. В середине 1920-х годов немецкий физик Вернер Гейзенберг обнаружил, что эти уравнения имеют шокирующее следствие: неопределенность. Сила ничто как раз и вытекает из принципа неопределенности Гейзенберга.

Принцип неопределенности имеет отношение к возможности описывать свойства частицы. Например, если мы хотим найти определенную частицу, нам нужно определить ее положение и скорость — узнать, где она находится и с какой скоростью движется. Принцип неопределенности Гейзенберга говорит нам, что произвести такое простое действие мы не можем. Как бы мы ни старались, невозможно одновременно точно определить местоположение и скорость частицы. Дело в том, что сам акт измерения уничтожает часть информации, получить которую мы стремимся.

Чтобы что-то измерить, вам нужно коснуться объекта. Например, представьте себе, что вы хотите измерить длину карандаша. Вы можете провести по нему пальцами и так определить длину. Однако при этом вы, возможно, немного переместите карандаш, тем самым слегка изменив его скорость. Лучшим способом было бы осторожно положить рядом с карандашом линейку, однако на самом деле сравнение длины двух предметов также немного нарушит скорость карандаша. Вы можете даже просто смотреть на карандаш, воспринимая отраженный им свет. Как ни мало возмущение, вызванное толчками фотонов, оно все же немножко меняет скорость карандаша. Независимо от того, каким способом вы хотите измерить длину карандаша, вы в любом случае в процессе слегка подтолкнете его. Принцип неопределенности Гейзенберга утверждает, что не существует возможности измерить длину карандаша — или определить местоположение электрона — и одновременно их скорость с полной точностью. На самом деле чем лучше вам известно положение частицы, тем меньше вы знаете о ее скорости, и наоборот. Если вы с нулевой ошибкой определили позицию электрона — точно знаете, где он находится в данный момент, вы должны обладать нулевой информацией о том, как быстро он движется. И если вам с абсолютной точностью — с нулевой ошибкой — известна скорость частицы, вы допустите бесконечную ошибку, определяя ее местоположение: вам ничего не будет известно о том, где частица находится. Вы никогда не можете одновременно знать и то, и другое. Если у вас есть некоторая информация об одном, то насчет другого имеет место неопределенность. Это еще один закон, который нельзя нарушить.

Принцип неопределенности Гейзенберга приложим не только к производимым людьми измерениям. Как и законы термодинамики, он действует и в отношении самой природы. Неопределенность заставляет Вселенную кипеть бесконечной энергией. Представьте себе чрезвычайно маленький объем пространства — что-то вроде крошечной коробочки. Если мы проанализируем, что происходит внутри этой коробочки, мы можем прийти к некоторым заключениям. Например, мы с определенной точностью знаем положение частиц в коробочке: в конце концов, вне коробочки они быть не могут. Нам известно, что их передвижение ограничено определенным объемом, потому что если они окажутся вне коробочки, рассматривать их мы не будем. Поскольку мы имеем некоторую информацию о местонахождении частиц, принцип неопределенности Гейзенберга гласит, что мы точно не знаем скорости частиц — их энергии. По мере того как мы будем делать коробочку все меньше и меньше, мы все меньше и меньше будем знать об энергии частиц.

+++

Когда в уравнении содержится бесконечность, физики обычно решают, что где-то вкралась ошибка: бесконечность не имеет физического смысла. Не отличается от этого и энергия нулевых колебаний, большинство ученых ее полностью игнорирует. Они просто притворяются, что энергия нулевых колебаний равна нолю, хотя и знают, что она бесконечна. Это удобная фикция и обычно не имеет значения. Впрочем, случается, что и имеет. В 1948 году двое голландских физиков, Хендрик Б. Г. Казимир и Дирк Полдер, первыми поняли, что энергию нулевых колебаний не всегда можно игнорировать. Ученые изучали силы, действующие между атомами, когда обнаружили, что их измерения не соответствуют предсказанным силам. В поиске объяснения Казимир пришел к выводу, что это влияние силы ничто.

+++

Релятивистский ноль: черная дыра

Не только течение времени меняется со скоростью, то же происходит с длиной и массой. По мере увеличения скорости тела оно делается короче и тяжелее. При скорости в девять десятых световой линейка в один ярд станет всего 0,44 ярда длиной, а фунтовый пакет сахара будет весить 2,3 фунта, с точки зрения неподвижного наблюдателя.

+++

Теория Эйнштейна работает. Впрочем, существует потенциальная проблема: ноль.

Когда космический корабль достигнет скорости света, время на нем будет все больше и больше замедляться. Если кораблю удастся достичь скорости света, каждая секунда на борту будет равна бесконечному числу секунд на Земле. За долю секунды будут проходить миллиарды и миллиарды лет, Вселенная проживет свой срок и сгорит. Для астронавта на борту такого корабля время остановится. Длительность будет умножена на ноль.


+++

Когда очень массивная звезда коллапсирует, она исчезает. Гравитация настолько велика, что физики не знают ни одной силы во Вселенной, способной остановить коллапс — ни сопротивление электронов, ни давление нейтронов или кварков на это не способны. Умирающая звезда делается все меньше и меньше. Потом… наступает ноль.

Звезда сжимается до нулевого объема. Это и есть черная дыра, объект настолько парадоксальный, что некоторые ученые думают, что с ее помощью можно путешествовать быстрее света и обратно во времени.

+++

Кротовая нора — парадокс, порожденный нолем в уравнениях общей теории относительности. Никто на самом деле не знает, существуют ли кротовые норы, однако НАСА надеется, что это так.

+++

Физик Марк Миллис, глава проекта НАСА «Физика прорыва в реактивном движении», надеется преодолеть эту трудность благодаря физике ноля. К несчастью, ноли черных дыр — сингулярности — в ближайшее время представляются маловероятными кандидатами. Не только чрезвычайно трудно создать голую сингулярность, требующуюся для кротовой норы. Есть вероятность, что такая сингулярность разорвет космического путешественника в клочья. В 1998 году двое физиков из Еврейского университета в Иерусалиме показали, что даже вращающаяся или электрически заряженная черная дыра — с прекрасной кольцевой сингулярностью — благодаря нарастанию массы убьет космонавта. По мере вашего приближения к сингулярности масса черной дыры увеличивается, и увеличивается до бесконечности. Гравитация делается такой сильной, что вы в долю секунды будете разорваны на части. Кротовые норы опасны для здоровья.

Даже если ноли в центре черной дыры не обеспечат легкого способа перемещаться через пространство, ноль квантовой механики предлагает альтернативу: энергия нулевых колебаний может оказаться неисчерпаемым топливом. Именно здесь заканчивается физика мейнстрима и начинается граница.

+++

Гарольд Путофф, директор Института перспективных исследований в Остине (Техас), полагает, что квантовый парус просто изменит свойства вакуума. (Путофф больше всего известен своей статьей 1904 года в журнале Nature и попыткой доказать, что Ури Геллер и другие физики могли наблюдать предметы на расстоянии — без участия зрения. Это заключение не соответствовало мейнстриму науки.) «Вакуум распадается к немного более низкому уровню», — говорит Путофф. Если так, то квантовые паруса — это лишь начало; станет возможным создание двигателей, работающих только на энергии нулевых колебаний. Единственным их недостатком, возможно, является истончение ткани Вселенной, но очень медленное. «Никто и не почувствует. Это все равно, что зачерпнуть чашку воды из океана», — говорит Путофф. Тем не менее угроза для Вселенной имеется.

Нет сомнения в том, что вакуум обладает энергией — об этом свидетельствует сила Казимира. Однако возможно ли, что энергия вакуума представляет собой самый низкий уровень энергии? Если нет, то в вакууме может крыться опасность. В 1983 году двое ученых в журнале Nature высказали предположение, что использование энергии вакуума может привести к самоуничтожению Вселенной. В статье говорилось о том, что наш вакуум может быть «ложным» вакуумом в неестественном энергетическом состоянии — как мяч, неустойчиво лежащий на склоне холма. Если мы дадим вакууму достаточно сильный толчок, «мяч» может покатиться вниз по склону, стремясь к состоянию с более низкой энергией, и мы окажемся не в силах его остановить. Может образоваться огромный пузырь, растущий со скоростью света. Высвобожденная при этом энергия чревата неслыханными разрушениями. Катастрофа может оказаться такой ужасной, что все атомы будут разорваны на части.

К счастью, это совершенно фантастический сценарий. Наша Вселенная существует миллиарды лет, и невероятно, чтобы мы жили в таком неустойчивом состоянии. Столкновения космических лучей, вероятно, уже достаточно «воспламенили» вакуум, чтобы вызвать такую катастрофу, будь она возможна. Это не мешает некоторым энтузиастам — в том числе физикам — пикетировать лаборатории, работающие с высокими энергиями, как, например, Фермилаб (Национальную ускорительную лабораторию им. Энрико Ферми, США). Они опасаются, что обладающее высокой энергией столкновение частиц может привести к коллапсу вакуума. Даже если бы их опасения были обоснованы, представляется практически невозможным ускорить космический корабль с помощью энергии нулевых колебаний. Тем не менее Путофф полагает, что у него есть способ извлечь энергию из пустоты.

+++

Ноль на границе пространства-времени



Друг другу они чуждыми казались.

Взор смертного не мог бы различить,

Что в будущем своем они сливались.

Томас Харди, «Слияние двоих»

В современной физике происходит борьба двух титанов. Общая теория относительности властвует над очень-очень большими объектами: большинством массивных тел во Вселенной, таких как звезды, солнечные системы, галактики. Квантовая механика управляет областью очень-очень малого: атомов, электронов, субатомных частиц. Казалось бы, эти две теории могли бы мирно уживаться: каждая диктовала бы свои правила для разных аспектов Вселенной.

К несчастью, существуют объекты, принадлежащие к обеим областям. Черные дыры очень-очень массивны, так что подчиняются законам относительности. В то же время они очень-очень малы и находятся под властью квантовой механики. Два набора законов не приходят к согласию и сталкиваются в центре черной дыры.

На пересечении квантовой механики и теории относительности, где две теории встречаются, обитает ноль и заставляет их ссориться. Черная дыра — это ноль в уравнениях общей теории относительности. Энергия вакуума — ноль в математических выкладках квантовой механики. Большой взрыв, самое загадочное явление в истории Вселенной, является нолем в обеих теориях. Вселенная возникла из ничего, и обе теории ломаются, когда дело доходит до объяснения возникновения космоса.

Чтобы понять Большой взрыв, физикам нужно поженить квантовую теорию с относительностью. За последние несколько лет у них наметился успех: они создали странную теорию, объясняющую квантово-механическую природу гравитации, что позволяет им бросить взгляд на само создание нашей Вселенной. Все, что было нужно, — это изгнать ноль.

Теория всего есть, по сути, Теория ничего.

+++

Проблема заключается в том, что когда мы пытаемся рассчитать путь к нулевому расстоянию, уравнение взрывается и дает нам бессмысленные ответы — такие, как бесконечность. Это причинило множество неприятностей, когда теория квантовой электродинамики еще только разрабатывалась. Ученые получали бесконечность при попытке разрешения любой проблемы!

Ричард Фейнман

Общей теории относительности и квантовой механике было суждено оказаться несовместимыми. Вселенная общей относительности — это гладкое резиновое полотно. Она непрерывна и текуча, никогда не имеет острия. Квантовая механика, с другой стороны, описывает дергающуюся и прерывистую Вселенную. То, что у обеих теорий есть общего (и на чем они сталкиваются), — это ноль.

Бесконечный ноль черной дыры — масса, сжатая в нулевой объем, бесконечно искривляющая пространство, — прорывает дырку в гладком резиновом полотне. Уравнения общей теории относительности не могут справиться с остротой ноля. В черной дыре пространство и время не имеют смысла. У квантовой механики имеется сходная проблема, связанная с энергией нулевых колебаний. В соответствии с квантовыми законами такая частица, как электрон, должна быть точкой. Другими словами, она совсем не занимает пространства. Электрон — это объект нулевых измерений, и эта его сходная с нолем природа означает, что ученые не знают его массы или заряда


+++

Согласно теории струн, различные частицы представляют собой один и тот же тип струны, просто они колеблются по-разному. Все во Вселенной состоит из струн, имеющих размер примерно 10>–33 см. Сравнивать размер струны с размером нейтрона — все равно что сравнивать размер нейтрона с размером нашей Солнечной системы.

С точки зрения существ столь крупных, как мы, петли выглядят подобными точкам, потому что они такие крошечные. Расстояния (и времена) меньшие, чем размер петель, больше значения не имеют, они не несут никакого физического смысла. Благодаря теории струн ноль изгнан из Вселенной. Таких вещей, как нулевое расстояние или нулевое время, не существует. Это разрешает все проблемы бесконечности в квантовой механике.

Изгнание ноля также решает проблемы бесконечности в общей теории относительности. Если вы представляете себе черную дыру как струну, тела больше не проваливаются сквозь разрыв в ткани пространства-времени. Вместо этого петля-частица, приближаясь к петле — черной дыре, растягивается и касается черной дыры. Две петли вибрируют, разрываются и образуют одну петлю — несколько более массивную черную дыру. (Некоторые теоретики полагают, что акт слияния частицы с черной дырой порождает странные частицы, такие как тахионы: частицы с воображаемой массой, перемещающиеся обратно во времени со скоростью большей, чем скорость света. Такие частицы могут быть приемлемыми в некоторых версиях теории струн.)

Устранение ноля из Вселенной может казаться жестким шагом, однако со струнами гораздо легче иметь дело, чем с точками. Устранив ноль, теория струн сглаживает прерывистую, связанную с частицами природу квантовой теории и чинит прорехи, созданные черными дырами в общей теории относительности. Когда эти проблемы разрешаются, две теории перестают быть несовместимыми. Физики начали думать, что теория струн сможет объединить квантовую теорию и теорию относительности и приведет к возникновению квантовой теории гравитации — теории всего, которая объясняла бы каждый феномен во Вселенной. Впрочем, у теории струн существуют некоторые проблемы. Во-первых, чтобы работать, ей нужно десять измерений.


+++


Струны (или их более обобщенные аналоги, браны — мембраны, поверхности в пространстве многих измерений) настолько малы, что рассмотреть их невозможно с помощью любого инструмента — по крайней мере, до тех пор, пока наша цивилизация не уйдет намного вперед. На субатомном уровне физики рассматривают частицы с помощью ускорителей, используя магнитные поля или другие средства, чтобы заставить частицы разгоняться до очень больших скоростей. Когда частицы сталкиваются друг с другом, они выбрасывают фрагменты. Коллайдеры (ускорители частиц) — это микроскопы, которыми можно пользоваться в субатомном мире, и чем больше энергии вкладывается в частицы, чем мощнее микроскоп, тем более мелкие объекты можно увидеть.

Большой адронный коллайдер, многомиллиардный проект, планировавшийся с начала 1990-х годов, — самый мощный когда-либо существовавший ускоритель частиц. Он состоит более чем из 10 000 магнитов, образующих петлю 54 мили в окружности — примерно той же величины, что кольцевая дорога вокруг Вашингтона. Однако даже его мощности недостаточно для того, чтобы увидеть струны или свернутые измерения — для этого понадобился бы ускоритель частиц примерно в 6 000 000 000 000 000 миль в окружности. Даже на скорости света частице потребовалось бы 1000 лет, чтобы завершить его облет.

В настоящее время невозможно представить себе инструмент, который дал бы ученым возможность напрямую наблюдать струны. Никто не смог придумать эксперимент, который дал бы физикам доказательство того, что черные дыры и частицы на самом деле струны. Это основное возражение против теории струн. Поскольку наука базируется на наблюдениях и экспериментах, некоторые критики утверждают, что теория струн — не наука, а философия. (Существует набор теорий, утверждающий, что некоторые из свернутых измерений могут быть размером в 10больше–19 сантиметров или даже больше. Это ввело бы их в область возможных экспериментов. Однако в настоящее время такие теории рассматриваются как не заслуживающие экспериментальной проверки — интересные идеи, но в лучшем случае очень спекулятивные.)


+++

Час зеро. Большой взрыв



Наблюдения Хаббла говорят о том, что было время — так называемый Большой взрыв, когда Вселенная была бесконечно малой и бесконечно плотной. При таких условиях все законы науки теряют смысл и не позволяют прогнозировать будущее.

Стивен Хокинг. «Краткая история времени: от Большого взрыва до черных дыр»


+++

Вселенная родилась в ноле. Из пустоты, из ничего возник катаклизм — взрыв, который создал всю материю и энергию, из которых состоит Вселенная. Это событие — Большой взрыв — представлялось многим ученым и философам чудовищным. Прошло много времени, прежде чем астрофизики стали соглашаться с тем, что Вселенная конечна во времени, что она, в конце концов, имела начало.

+++

Хаббл именно это и проделал с цефеидами. Большинство звезд, которые он видел, удалены на десятки, сотни и тысячи световых лет от Земли. Однако когда он нашел цефеиду, мигающую сквозь одно из вращающихся облаков — туманность Андромеды, как его тогда называли, — он измерил световой поток и вычислил, что туманность удалена на миллион световых лет, далеко за пределы нашей Галактики. Туманность Андромеды оказалась не облаком светящегося газа, это было облако звезд настолько удаленных, что они выглядели как туман, а не отдельные источники света. Другие вращающиеся галактики были еще более далекими. Сегодня астрономы подозревают, что Вселенная имеет в поперечнике 15 миллиардов световых лет и вся усеяна сгустками галактик.

Это было потрясающее открытие. Вселенная оказалась в миллионы раз больше, чем полагали раньше. Однако сколь бы потрясающим ни было это открытие, Хаббл в наибольшей мере знаменит не этим. Второе открытие Хаббла вдребезги разбило вечную Вселенную Эйнштейна.

Хаббл благодаря своим цефеидам измерял расстояния до разных галактик и скоро начал замечать пугающую зависимость: все галактики с огромной скоростью (в сотни миль в секунду) разлетаются прочь от нашего Млечного Пути. Галактики настолько далеки, что даже эти огромные скорости не так легко измерить.

Единственный способ определить скорость убегания Галактики — использовать доплеровский эффект, тот же принцип, который действует в лазерных винтовках. Вы могли заметить, что когда мимо вас мчится поезд, высота его гудка меняется. Когда поезд приближается, звук гудка бывает высоким, но когда поезд вас миновал, высота резко падает. Это происходит потому, что движение поезда сжимает звуковые волны впереди (делая их высокочастотными) и растягивает позади (в результате чего тон звука понижается) . Это и есть доплеровский эффект.

+++

В отношении света он действует тоже. Если звезда движется в направлении Земли, световые волны сжимаются, приобретают бо́льшую частоту, чем обычно, и смещаются к голубой части спектра — происходит так называемое голубое смещение. Если звезда удаляется, происходит нечто противоположное — красное смещение.

Полиция может определить, как быстро едет автомобиль, измерив изменение отраженного от автомобиля света — в виде радиоволн — при перемещении машины. Аналогичным способом — рассмотрев изменение спектра звезды — астроном вычисляет скорость движения звезды: к нам или от нас.

Хаббл объединил данные о расстоянии с данными допплеровского эффекта и получил нечто шокирующее. Не только галактики разбегаются от нас во всех направлениях, но и чем более удалена галактика, тем с большей скоростью она удаляется.

+++

Время течет вперед, и Вселенная расширяется и расширяется. Если посмотреть на это с другой точки зрения, имея запись истории Вселенной и прокрутив эту запись обратно, мы увидели бы, как Вселенная сжимается и сжимается. В какой-то точке шар совсем сожмется, делаясь все меньше и меньше, и в конце концов исчезнет в точке — сингулярности начала времени и пространства. Это и есть первичный ноль, место рождения Вселенной, он и породил Большой взрыв, чудовищный взрыв, создавший космос. Именно из этой сингулярности возникли вся материя и энергия Вселенной, откуда произошли все галактики, звезды и планеты, которые когда-либо существовали или будут существовать. Вселенная имела начало примерно 15 миллиардов лет назад. С тех пор пространство расширялось. Надежда Эйнштейна на устойчивую вечную Вселенную практически умерла.

+++

Ученым из Принстона не пришлось долго ждать подтверждения своих предсказаний. Двое инженеров из расположенных неподалеку лабораторий Белла в Марри Хилл, Нью Джерси, испытывали чувствительное оборудование для выявления микроволнового излучения. Несмотря на все старания, им не удавалось заставить оборудование работать как следует. Им мешало шипение, похожее на статические помехи в радиопрограммах. От него никак не удавалось избавиться. Сначала инженеры подумали, что виноваты голуби, гадящие на антенну, но после изгнания птиц и очистки антенны от помета шипение сохранилось. Они перепробовали все, что только могли придумать, чтобы избавиться от шума, но ничего не помогало. Когда же инженеры услышали о работах группы из Принстона, они поняли, что обнаружили остаточное космическое излучение. Голубиный помет был не виноват. Они слышали голос Большого взрыва, рассеявшийся и искаженный до шепота. (За свое открытие инженеры Арно Пензиас и Роберт Вильсон получили Нобелевскую премию. Физики из Принстона, Боб Дикке и П. Дж. Э. «Джим» Пибблс, не получили ничего, что несправедливо с точки зрения многих ученых. Нобелевский комитет склонен награждать трудоемкие тщательные эксперименты, а не важные теории.)

Большой взрыв удалось выследить, миф о стационарной Вселенной умер. Как ни непривлекательна была идея конечности Вселенной, физики постепенно признали Большой взрыв и согласились с тем, что Вселенная имела начало.

+++

Ноль также может хранить секрет того, что создало космос. Как пустота вакуума и энергия нулевых колебаний порождают частицы, так они могли породить и вселенные. Бульканье квантовой пены, спонтанное рождение и смерть частиц и могут объяснять возникновение космоса. Возможно, Вселенная — это просто квантовая флуктуация на высоком уровне, огромная сингулярность, частица, порожденная наивысшим вакуумом. Такое космическое яйцо взрывалось бы, расширялось и создавало пространство-время нашей Вселенной. Возможно, наша Вселенная — лишь одна из многих флуктуаций. Некоторые физики считают, что сингулярности в центре черных дыр — это окна в изначальную квантовую пену до Большого взрыва и что кипение пены в центре черной дыры, где время и пространство не имеют смысла, постоянно создает бесчисленные новые вселенные, которые рождаются, расширяются и создают свои собственные звезды и галактики. Ноль может хранить секрет нашего существования — и существования бесконечного множества других вселенных.

Ноль столь могуществен потому, что он вносит беспорядок в законы физики. Именно в час зеро Большого взрыва и на Граунд-Зиро черной дыры математические уравнения, описывающие наш мир, перестают иметь смысл. Однако ноль нельзя игнорировать. Он не только хранит секрет нашего существования, но и несет ответственность за конец Вселенной.


+++

Пока одни физики пытаются истребить ноль в своих уравнениях, другие показывают, что ноль может оказаться тем, кто смеется последним. Хотя ученые могут никогда не раскрыть секрет рождения Вселенной, они на пороге понимания того, как она умрет. Окончательная судьба космоса зависит от ноля.

Эйнштейновские уравнения гравитации не допускают существования статичной, неменяющейся Вселенной. Впрочем, они не исключают нескольких вариантов развития событий, которые зависят от массы космоса. В первом случае надувной шар пространства-времени может расширяться до бесконечности, становясь все больше и больше. Звезды и галактики одна за другой будут гаснуть. Вселенная станет холодной и безжизненной. Впрочем, даже если массы галактик, скоплений галактик, невидимой темной материи будет достаточно, изначального толчка Большого взрыва не хватит для того, чтобы позволить шару расширяться до бесконечности. Галактики будут притягивать друг друга, стягивать ткань пространства-времени, и шар начнет сжиматься. Сжатие будет происходить все быстрее и быстрее, Вселенная становиться все горячее и горячее, наконец все закончится противоположностью Большого взрыва: Большим сжатием. Какая судьба нас ждет — Большое сжатие или Бесконечное расширение? Ответ легко увидеть.

Когда астрономы наблюдают далекую галактику, они смотрят назад во времени. Ближние галактики могут быть удалены на миллионы световых лет. Лучу света, покинувшему галактику сейчас, потребуется миллион лет, чтобы добраться до Земли. Свет который мы видим сегодня, был излучен миллион лет назад. Чем более удалены объекты, наблюдаемые астрономами, тем дальше в прошлое заглядывают ученые.

Судьба нашей Вселенной зависит от того, насколько хорошо расширяется шар пространства-времени. Если расширение быстро замедляется, это хороший знак: энергия Большого взрыва почти истощилась, и наша Вселенная будет двигаться к Большому сжатию. С другой стороны, если расширение Вселенной не особенно замедляется, энергия Большого взрыва могла дать ткани пространства-времени достаточный толчок, чтобы позволить ему расширяться бесконечно.

Астрономы начали измерять изменения в расширении Вселенной. Определенный тип сверхновых (взрывающихся) звезд, названный типом 1А, служит объектом стандартной светимости, как цефеиды Хаббла. Сверхновые 1А взрываются примерно одинаково и имеют одинаковую яркость. Однако в отличие от тусклых цефеид Хаббла сверхновые видны на расстоянии в половину диаметра Вселенной.

В конце 1997 года астрономы объявили, что использовали сверхновые для измерения расстояния до некоторых очень тусклых древних галактик. Расстояние до галактики говорит о ее возрасте, а ее доплеровское смещение говорит о ее скорости. Сравнивая данные о том, как быстро галактики удалялись в разные эры прошлого, астрономы получили возможность определить, как быстро расширяется пространство-время. Полученный ими ответ был странным.

Расширение Вселенной не замедляется, возможно, оно даже ускоряется. Данные, полученные благодаря сверхновым, говорят о том, что Вселенная становится все больше и больше и расширяется все быстрее и быстрее. Если так, то шанс Большого сжатия невелик, поскольку что-то противодействует силе тяготения. Физики снова заговорили о космологической константе — загадочном нечто, добавленном Эйнштейном к своим уравнениям, чтобы уравновесить влияние гравитации. Величайшая ошибка Эйнштейна, возможно, вовсе не ошибка.

Эта таинственная сила может быть силой вакуума. Крошечные частицы, пронизывающие пространство-время, оказывают легкое направленное наружу давление, незаметно растягивая ткань пространства-времени. За миллиарды лет это растяжение накопилось, и в результате Вселенная расширяется все быстрее и быстрее. Участь нашей Вселенной — не Большое сжатие, а вечное расширение и остывание из-за энергии нулевых колебаний и ноля в уравнениях квантовой теории, населяющих вакуум бесконечным множеством частиц.

Астрономы все еще проявляют сдержанность. Данные наблюдений за сверхновыми являются предварительными, но они делаются более основательными. Другие исследования, анализирующие выбросы газа или число гравитационных линз в поле зрения, подтверждают эти данные и предположение, что космос будет расширяться вечно. Вселенную ожидает тепловая смерть.

Ответ на вопрос о будущем Вселенной — лед, а не пламя, благодаря силе ноля.


+++

В бесконечность и за ее пределы



Однако если нам удастся создать полную теорию, со временем она станет понятной каждому, а не только немногим ученым. Тогда все мы — философы, ученые и обычные люди — сможем принять участие в обсуждении того, почему мы и Вселенная существуем. Если мы найдем ответ на этот вопрос, это будет окончательным триумфом человеческого разума, потому что мы узнаем замысел Бога.

Стивен Хокинг

За всеми большими загадками физики кроется ноль. Бесконечная плотность черной дыры порождена делением на ноль. Возникновение Вселенной из ничего вследствие Большого взрыва — результат деления на ноль. Бесконечная энергия вакуума — следствие деления на ноль. Однако деление на ноль разрушает ткань математики и логические схемы и грозит уничтожением самого базиса науки.

Во времена Пифагора, до наступления эры ноля, царила чистая логика. Вселенная была упорядоченной и предсказуемой. Она была построена на рациональных числах и предполагала существование Бога. Внушающие тревогу парадоксы Зенона были объяснены благодаря изгнанию бесконечности и ноля из царства чисел.

+++

С началом научной революции чисто логический мир уступил место эмпирическому, основанному на наблюдениях, а не на философии. Ньютон, чтобы объяснить законы Вселенной, должен был игнорировать нелогичность в дифференциальном исчислении — нелогичность, порожденную делением на ноль.

Как только математики и физики сумели преодолеть проблемы, связанные с делением на ноль в дифференциальном и интегральном исчислении, и ввести его в рамки логики, ноль вернулся в уравнениях квантовой механики и общей теории относительности и снова замарал науку бесконечностью. Перед нолями Вселенной логика пасует. Квантовая теория и теория относительности распадаются на части. Для решения проблемы ученые стараются снова изгнать ноль и унифицировать правила, которым подчиняется космос.

Если им это удастся, они поймут законы Вселенной. Мы познаем физические закономерности, управляющие всем до границ пространства-времени, от возникновения космоса до его конца. Люди поймут космический каприз, вызвавший Большой взрыв. Мы поймем замысел Бога. Однако на этот раз победить ноль может оказаться не так легко.

+++

Математические теории могут быть красивыми, последовательными и как будто объясняющими природу Вселенной — и быть совершенно ошибочными

+++

Вселенная начинается с ноля и кончается нолем.
Добавлять комментарии могут только
зарегистрированные пользователи!
 
Имя или номер: Пароль:
Регистрация » Забыли пароль?
 
© decoder.ru 2003 - 2017, создание портала - Vinchi Group & MySites