Алгебраический смысл мнимой величины


Алгебраический смысл мнимой величины

Несмотря на то, что теория функций комплексного переменного давно заняла достойное место в математическом моделировании физических процессов, до сих пор физический смысл самой мнимой единицы остаётся неясным. В том числе, до сих пор не вскрыта сама связь между фазовыми характеристиками исследуемых с помощью этого аппарата физических процессов и мнимой единицей, которая и сейчас подспудно признаётся как нечто физически неощутимое. Даже Эйлер, создавший упорядоченный аппарат теории комплексного переменного, считал, что «мнимым количеством называют такое, которое ни больше нуля, ни меньше нуля, ни равно нулю; это, следовательно, нечто невозможное, как например, (-1)^(1/2) или вообще a + b(-1)^(1/2) , поскольку такое количество ни положительно, ни отрицательно, ни нуль… Всякое мнимое количество всегда образовано двумя членами, один из которых есть действительное количество, обозначаемое через M, а другой – произведение также действительного количества N на (-1)^(1/2); таким образом, (-1)^(1/2) есть единственный источник всех мнимых выражений» [1, с. 62].

Аналогично представлял Декарт геометрические образы возникновения комплексного числа. Так, рассматривая пересечение прямой с окружностью, он заключал, что «если окружность, имеющая центр в точке N и проходящая через точку L, не пересекает и не касается прямой MQR, то уравнение не имеет ни одного корня, так что можно утверждать, что построение предложенной задачи невозможно» [2, с. 17]. «Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы, иероглифы нелепых количеств»[3] – Л. Карно.
Поэтому, «как ни велики были достижения в исследовании свойств мнимых величин и их приложений, как ни сходны были законы операций над ними с законами, управляющими действительными числами, они оставались в глазах математиков XVIII века полезными функциями, лишёнными самостоятельного реального значения» [1. с. 63].
Последнее привело к тому, что под физическим смыслом мнимой единицы стали понимать исключительно моделирующие приложения аппарата теории комплексного переменного. Так Каспар Валлес, первым создавший удобный аппарат решения геодезических задач, применив теорию комплексного переменного, писал: ««настоящий опыт предпринимается с целью узнать, как аналитически представлять направление» и «посредством только уравнения, связывающего один неизвестный отрезок и несколько известных отрезков, получить такое выражение, которое сразу представило бы искомый отрезок как по величине, так и по направлению» [1, с. 63-64].
Этот подход сохранился до сегодняшних дней. Так, уже в наше время другой исследователь – Г.П. Шпиньков, исследуя физическую сущность мнимой единицы на аппарате квантовой механики, сводит к тому же: ««мнимая» единица i есть указатель качественно полярно противоположной сущности (свойства, числа, параметра), подчиняющейся полярно противоположной алгебре знаков (отрицательной, по отношению к обычно существующей, названной нами положительной)» [4, с. 9]. Иными словами, всё тот же подход суперпозиции вещественных чисел, проявляющийся в аппарате теории комплексного переменного, не вскрывающий физической сути, причины, заложенной в самой мнимой единице. Поэтому все утверждения, что «понятия, в течение двухсот пятидесяти лет представлявшиеся только удобными фикциями, получили ясный реальный смысл, а сам термин «мнимое число» стал всего лишь историческим пережитком» [1, с. 17] – не соответствуют действительности. Мнимая единица так и осталась до сих пор неясной основой некоего математического аппарата, который хорошо отображает действительность.
Вместе с тем подобный разрыв между физической ассоциативностью математических символов и ассоциативностью аппарата, построенного на алгебре этих символов, нелогичен. В данном исследовании мы попробуем рассмотреть саму сущность мнимой единицы, являющейся причиной, позволяющей ассоциативно оперировать одновременно амплитудой и фазой физических процессов.
Для этого обратимся к приведенному квадратному уравнению, которое с учётом структуры известных решений, следующих из теоремы Виета, может быть представлено в виде:
(1)
На рис. 1 приведено построение семейства парабол на основе (1) при изменении коэффициента а, который в решении принимает как действительные, так и мнимые значения.

Рис. 1. График семейства парабол, построенных по формуле (1), при b = 2; a = 3; 2; 1; 0,-1, -2; -3

Из графика видно, что минимум параболы находится в точке (b; – а). Это подтверждает и определение минимума функции (1) аналитическими методами.
(2)
или
(3)
Тем самым, величина а фактически определяет и положение корней, и положение экстремума квадратичной функции по оси у.
Вторым важным моментом является то, что в области отрицательных значений a исчезает пересечение с осью абсцисс, но расстояние от неё до минимума функции определяется величиной а. Вследствие этого можно сделать построение, соединив минимум функции с началом координат некоторым вектором, как показано на рис. 2.

Рис. 2. Построения прообраза радиус-вектора в комплексной плоскости

Формализм, описывающий данный радиус-вектор r, тот же, что и у комплексного числа, а именно;
(4)
Таким образом, мнимая величина определяет минимальное расстояние между некоторой функцией и осью абсцисс или, в общем случае, между ближайшей по перпендикуляру точкой функции и некоторой прямой. В результате, вследствие смещения функции на величину квадрата модуля мнимого числа, формируется треугольник, переводящий рассмотрение с оси абсцисс для действительных корней в некоторую плоскость. После этого достаточно ввести зависимость коэффициентов от некоторых изменяющихся переменных, чтобы прийти к функции комплексной переменной. Но при этом в каждой точке функции сущность мнимой величины остаётся неизменной, а функции комплексного переменного определяют изменение тех самых минимальных расстояний а при трансформации коэффициентов самой функции. Этим обеспечивается ассоциативность конформных отображений.
Это несложно показать, введя зависимость коэффициентов a и b от некоторого изменяемого параметра p, а именно, в частном случае и для исследуемой функции (1)
(5)
Траектория смещения мнимых точек касания парабол показана на рис. 3.

Рис. 3. Траектория смещения мнимых точек касания парабол при изменении р от 0,5 до 3

То, что сами параболы в процессе смещения могут пересекаться, не имеет значения, поскольку, с одной стороны, исследуется трансформация одной параболы при различных р, с другой стороны, в комплексной плоскости отображается только траектория мнимых точек касания, отстоящих от оси х на расстояние а. Несложно убедиться, что и в комплексной плоскости траектория будет точно такой же, как коричневая линия на рис. 3. Также понятно, что если рассматриваемая функция будет зависеть от двух независимых переменных, то она будет описывать некоторое семейство кривых.
В принципе, данные выводы в некоторой степени являются развитием выводов, сделанных Валлисом, который «предложил несовершенное представление комплексных чисел и способ, позволяющий геометрически построить корни уравнения ax^2+ bx + c = 0 для случая вещественных и комплексных корней» [5, с. 44]. Но суть не только в корнях, а в том, что действительные корни строго располагаются на действительной оси абсцисс. Комплексные же корни образуют треугольник в плоскости и достаточно использовать формализм комплексных чисел, полностью совпадающий с базовыми соотношениями данного треугольника, чтобы от прообраза этого треугольника перейти на комплексную плоскость.
Важно отметить, что все задачи в плоскости действительного переменного, связанные с мнимыми величинами, так или иначе сводятся к уравнению параболы. Это обусловлено тем, что сами функции рассматриваются не в произвольных точках, но именно при тех значениях аргумента, которые обеспечивают мнимую точку касания квадратичного аргумента, имеющего мнимые корни. Все остальные степени и корни в этой точке становятся постоянными коэффициентами, влияющими только на величину расстояния между мнимой точкой касания и осью абсцисс. Так в вышеуказанной задаче мнимого пересечения круга и произвольной прямой, она сводится к системе уравнений
(6)
Пересечение круга с прямой определится путём совместного решения этой системы уравнений, приводящей к квадратному уравнению
(7)
Полученное уравнение является параболическим, что и требовалось доказать.
Наконец, факт ассоциативности конформных отображений, как было показано ранее[6], определяется тем, что условия Коши-Римана приводят к уравнению Лапласа, а значит, поля таких следов мнимых точек касания автоматически будут способны моделировать стационарные процессы в физике. К слову сказать, физическая ассоциативность неконформных отображений требует дополнительных изысканий, поскольку это достаточно широкий класс функций, включающий и те подклассы, которые подобной ассоциативностью обладать не будут.
Физическая ассоциативность фазовых сдвигов в комплексной плоскости проявляется, если рассматриваемая нами парабола определяется функцией времени от расстояния, т.е. t = f(x). В этом случае данная кривая будет описывать траекторию движения тела. Взяв траектории двух тел, одна из который проходит через точку касания с осью абсцисс, получим построение, показанное на рис. 4.

Рис. 4. График, определяющий мнимую точку касания параболы в координатах (x, vt)

Из графика видно, что угол φ фактически определяет запаздывание процесса вдоль синей траектории, по отношению к процессу вдоль зелёной траектории в точке мнимого касания кривой. Понятно, что физическая корректность дальнейших операций уже определяется соответствием условиям Коши-Римана, как и в случае отображений.
Таким образом, показано, что переход к мнимым корням квадратного уравнения знаменуется в действительной плоскости переходом мнимой части в измерение расстояния между экстремумом параболы и осью абсцисс с образованием векторного треугольника, являющегося прообразом векторного треугольника на комплексной плоскости. Это определяет физическое соответствие конформного отображения и фаз запаздывания в случае использования временного параметра по оси ординат. След экстремума параболы в плоскости действительного переменного при изменении её коэффициентов является прообразом комплексной функции в комплексной плоскости.

С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина
e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru
http://sbkaravashkin.blogspot.com/2015/07/blog-post_20.html

Литература:
1. История Математики (с древнейших времен и до 19 века) в 3-х томах под редакцией А. П. Юшкевича, т. 3, М., Наука, 1972.
2. Р. Декарт Геометрия. Государственное объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, М-Л. 1938.
3. А. Соловьев. История открытия комплексных чисел.
4. Г. П. Шпеньков. Физический смысл мнимой единицы i.
5. Морис Клайн. Математика. Утрата определенности.
6. Каравашкин С.Б. О некоторых особенностях производной комплексной функции по комплексной переменной. Труды СЕЛФ, 1 (1994), 77–94.

Комментарии

Комментарии не найдены ...
Добавлять комментарии могут только
зарегистрированные пользователи!
 
Имя или номер: Пароль:
Регистрация » Забыли пароль?
 
© decoder.ru 2003 - 2021, создание портала - Vinchi Group & MySites
ЧИСТЫЙ ИНТЕРНЕТ - logoSlovo.RU