Риманова геометрия


Открываю ряд статей о Геометрии Римана.
Предупреждаю что могут быть повторы в изложении.

Риманова геометрия


Научно-исследовательские труды Бернхард Римана оказали огромное влияние на развитие математики в конце XIX и начале XX веков.
Выдающийся математик и геометр Риман ввел так называемые римановы поверхности, которые сыграли важную роль при исследовании многозначных функций.

В 1854 году в своей знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» Риман дал общую идею математического пространства или «многообразия», включая функциональные и топологические пространства. Здесь Риман рассматривал геометрию как учение о непрерывных n-мерных многообразиях, то есть совокупностях любых однородных объектов. Обобщив результаты К. Гаусса по внутренней геометрии поверхностей, Риман сформулировал понятие линейного элемента, так называемого дифференциала расстояния между точками многообразия. Главным достижением ученого Римана стало создание новой геометрии.Риманова геометрия — это раздел дифференциальной геометрии, объектом изучения которой, главным образом, являются римановы многообразия. Римановы многообразия — это гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой, то есть с выбором евклидовой метрики на каждом касательном пространстве, которая гладко меняется от точки к точке. Подразделом римановой геометрии является геометрия в целом, которая выявляет связь глобальных свойств риманова многообразия (к примеру, топология или диаметр) и его локальных свойств (к примеру, ограничений на кривизну).Основными элементами трехмерной римановой геометрии являются точки, прямые и плоскости.В римановой геометрии имеют место такие предложения: через каждые две точки проходит одна прямая, каждые две плоскости пересекаются по одной прямой, каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются (в одной точке), точки на прямой расположены в циклическом порядке (как и прямые, лежащие в одной плоскости и проходящие через одну точку). Таким образом, требования аксиом римановой геометрии, относящиеся конгруэнтности, обеспечивают свободные движения фигур по плоскости и в пространстве Римана, как на плоскости, так и в пространстве Евклида.Метрические свойства плоскости Римана «в малом» совпадают с метрическими свойствами обыкновенной сферы, а именно: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная некоторой части сферы; радиус R этой сферы — один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Число К = 1/R2 называется кривизной пространства Римана. Следует отметить, что, чем меньше К, тем ближе свойства фигур этого пространства к евклидовым.«В целом» свойства плоскости Римана отличаются от свойств целой сферы в следующем: на плоскости Римана две прямые пересекаются в одной точке, а на сфере два больших круга, которые выступают как прямые в сферической геометрии, пересекаются в двух точках; прямая, лежащая на плоскости, не разделяет эту плоскость, таким образом, если прямая а лежит в плоскости a, то любые две точки плоскости a, не лежащие на прямой а, возможно соединить отрезком, не пересекая прямой а.Таким образом, Риман построил вторую разновидность неевклидовой геометрии в противоположность геометрии Лобачевского.Уникальные идеи и методы, предложенные Риманом открыли новые пути для развития математики и нашли применение в механике и физике. Развитию римановой геометрии послужило создание итальянскими учеными Риччи-Курбастро и Леви-Чивита тензорного исчисления.

Автор: Nina Kozlova
Источник: http://kozlova448.blogspot.ru/2012/11/blog-post_10.html

Комментарии (13)

Всего: 13 комментариев
  
#1 | Анатолий »» | 26.04.2014 22:56
  
1
5. Эллиптическая, или риманова, геометрия.

В евклидовой геометрии, как и в гиперболической геометрии Бойаи - Лобачевского, молчаливо допускается, что всякая прямая бесконечна (бесконечность прямой существенно связана с отношением "быть между" и аксиомами порядка). Но после того как гиперболическая геометрия открыла путь к свободному построению геометрий, естественно возник вопрос о том, нельзя ли осуществить построение таких неевклидовых геометрий, в которых прямые линии конечны и замкнуты. Разумеется, в таких геометриях теряют силу не только постулат о параллельных, но и аксиомы порядка. Современные исследования выяснили значение этих геометрий для новейших физических теорий. Впервые такие геометрии были подвергнуты рассмотрению в речи, произнесенной в 1851 г. Риманом при вступлении его в должность приват-доцента Гёттингенского университета. Геометрии с замкнутыми конечными прямыми могут быть построены без каких бы то ни было противоречий Вообразим двумерный мир, состоящий из поверхности S сферы, причем под "прямыми" условимся понимать большие круги сферы. Это был бы самый естественный способ описывать "мир" мореплавателя: дуги больших кругов являются кратчайшими кривыми, связывающими две точки на сфере, а это как раз и есть характеристическое свойство прямых на плоскости. В рассматриваемом двумерном мире всякие две "прямые" пересекаются, так что из внешней точки нельзя провести ни одной "прямой", не пересекающейся с данной (т. е. ей параллельной). Геометрия "прямых" в этом мире называется эллиптической геометрией. Расстояние между двумя точками в такой геометрии измеряется просто как длина кратчайшей дуги большого круга, проходящего через данные точки. Углы измеряются так же, как и в евклидовой геометрии. Самым характерным свойством эллиптической геометрии мы считаем несуществование параллельных.

Рис. 112. Модель неевклидовой плоскости Пуанкаре


Следуя Риману, мы можем обобщить эту геометрию следующим образом. Рассмотрим "мир", состоящий из некоторой кривой поверхности в пространстве (не обязательно сферы) и определим "прямую линию", проходящую через две точки, как кратчайшую кривую ("геодезическую"), соединяющую эти точки. Точки поверхности можно разбить на два класса: 1°. Точки, в окрестности которых поверхность подобна сфере в том отношении, что она вся лежит по одну сторону от касательной плоскости в этой точке. 2°. Точки, в окрестности которых поверхность седлообразна (лежит по обе стороны касательной плоскости). Точки первого класса называются эллиптическими точками поверхности - по той причине, что при небольшом параллельном перемещении касательной плоскости она пересечет поверхность по кривой, имеющей вид эллипса; точки же второго класса носят название гиперболических, так как при аналогичном перемещении касательной плоскости получается пересечение с поверхностью, напоминающее гиперболу. Геометрия геодезических "прямых" в окрестности точки поверхности является эллиптической или гиперболической, смотря по тому, будет ли сама точка эллиптической или гиперболической. На этой модели неевклидовой геометрии углы измеряются, как в обыкновенной евклидовой геометрии.

Рис. 113. 'Прямые линии' в геометрии Римана

Изложенная идея была развита Риманом дальше: он рассмотрел геометрии пространства, аналогичные только что разобранным геометриям поверхности. По Риману, "кривизна" пространства, меняясь от точки к точке, определяет характер геометрии в окрестности точки. "Прямые линии" у Римана - геодезические кривые. В эйнштейновой общей теории относительности геометрия пространства есть риманова геометрия; свет распространяется по геодезическим линиям, а кривизна пространства в каждой точке определяется в зависимости от свойств материи в окрестности точки.

Рис. 114. Эллиптическая точка

Возникнув из чисто аксиоматических изысканий, неевклидова геометрия в наши дни стала чрезвычайно полезным аппаратом, допускающим различные применения при изучении физической реальности. В теории относительности, в оптике, в общей теории колебаний неевклидово описание явлений оказывается в ряде случаев гораздо более адекватным физической реальности, чем евклидово.

Рис. 115. Гиперболическая точка

Источник: http://mathemlib.ru
  
#2 | Анатолий »» | 27.04.2014 21:20
  
1
Несколько видео по заданной теме.


Полугруппы накрытий римановых поверхностей




Алгебры токов на римановых поверхностях



Простые числа и дзета-функция Римана



Science show. Выпуск 30. Гипотеза Римана



.Математика. Математика в криптографии. Неевклидова геометрия



Гипотеза Римана

  
#3 | Анатолий »» | 30.04.2014 18:36
  
1
Так же представляю работу:

Математический институт им. В.А. Стеклова
Российской академии наук

Лекционные курсы НОЦ

Выпуск 1
Издание выходит с 2006 года

Е.М. Чирка

Римановы поверхности

Редакционный совет:
С.И. Адян, Д.В. Аносов, О.В. Бесов, И.В. Волович,
А.М. Зубков, А.Д. Изаак (ответственный секретарь),
А.А. Карацуба, В.В. Козлов, С.П. Новиков,
В.П. Павлов (заместитель главного редактора),
А.Н. Паршин, Ю.В. Прохоров, А.Г. Сергеев , А.А. Славнов,
Д.В. Трещев (главный редактор), Е.М. Чирка
Л43 Лекционные курсы НОЦ / Математический инсти-
тут им. В.А. Стеклова РАН (МИАН). — М.: МИАН, 2006.
Вып. 1: Римановы поверхности / Чирка Е.М. — 106 с.
ISBN 5-98419-011-7
Серия “Лекционные курсы НОЦ” — рецензируемое продолжающе-
еся издание Математического института им. В.А. Стеклова РАН. В се-
рии “Лекционные курсы НОЦ” публикуются материалы специальных
курсов, прочитанных в Математическом институте им. В.А. Стекло-
ва Российской академии наук в рамках программы Научно-образова-
тельный центр МИАН.
Настоящая брошюра содержит полугодовой курс Е.М. Чирки “Ри-
мановы поверхности”, прочитанный в осеннем семестре 2005 года.



Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Алгебраические кривые (введение) 7
Лекция 1. Аналитическое продолжение – Римановы обла-
сти – Алгебраические функции – Подготовитель-
ная теорема Вейерштрасса – Локальная парамет-
ризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Лекция 2. Особые точки – Разрешение особенностей – Пове-
дение в ∞ – Проекции – Формула Римана–Гурвица 15
Топология поверхностей и дифференциальные фор-
мы 23
Лекция 3. Гладкие многообразия – Векторные поля – Диф-
ференциальные формы – Цепи и интегрирова-
ние – Лемма Пуанкаре – Когомологии де Рама . 23
Лекция 4. Хирургия ориентированной поверхности – Пото-
ки – Регуляризация – d-проблема на ориентиру-
емой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Комплексные структуры на поверхности 43
Лекция 5. Римановы поверхности – Комплексные структу-
ры – Почти комплексные структуры – Уравнение
Бельтрами и голоморфные диски – Операторы
Коши–Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Лекция 6. Лемма Вейля – Теорема единственности – Урав-
нение голоморфных дисков – Существование го-
ломорфных дисков – Комплексные структуры и
метрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Вокруг оператора ∂Ї 57
Лекция 7. ∂Ї на потоках – Вычеты мероморфных форм –
Дивизоры мероморфных функций и форм – ∂Ї-
проблема на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . 57
Лекция 8. Когомологии Дольбо в потоках – Замкнутость
образа ∂Ї – Двойственность Серра – Расслоения
и формы – Потоки и расслоения . . . . . . . . . . 65
ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ
Лекция 9. Разложения Ходжа – ∂∂Ї-проблема – Дубли и
функции Грина – Теорема Римана – Задача Мит-
таг-Леффлера для форм – Задача Миттаг-Леф-
флера для функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Дивизоры мероморфных функций 81
Лекция 10. Дивизоры – Теорема Римана–Роха – Задача Вей-
ерштрасса – Решётки периодов и многообразия
Якоби – Теорема Якоби . . . . . . . . . . . . . . . 81
Лекция 11. Расслоения и дивизоры – Дивизоры и расслое-
ния – Классы Черна – Риман–Рох для расслое-
ний – Вложения в Pn – И опять алгебраические
кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Контрольная работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Список литературы 105


Можно посмотреть, можно скачать:

Римановы поверхности
  
#4 | Анатолий »» | 01.05.2014 19:41
  
-1
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
В ЦЕЛОМ

Перевод с немецкого
Ю. Д. БУРАГО
Под редакцией и с добавлением
В. А. ТОПОНОГОВА

Книга известного немецкого геометра В. Клингенберга и его
учеников Д. Громола и В. Мейера посвящена основным вопросам
римановой геометрии в целом.
Написанная на современном уровне, книга тем ие менее читается
легко и может служить учебным пособием по римаиовой геометрии,
что особенно ценно ввиду отсутствия соответствующей литературы.
Вместе с добавлением В. А. Топоногова она дает обзор последних
достижений и проблем этой области математики. Большое число
задач помогает глубже усвоить материал и облегчает самостоятель-
самостоятельное изучение предмета.
Книга представляет интерес для студентов старших курсов,
аспирантов и научных работников математических специальностей.

Предлагаемая вниманию читателей книга представляет рас-
расширенное изложение лекций по римановой геометрии в целом,
прочитанных выдающимся немецким геометром В. Клингенбергом;
книга написана с помощью его учеников Д. Громола и В. Мейера.
Отличительными чертами книги является современность ее содер-
содержания и языка. Иначе говоря, авторы занимаются прежде всего
задачами геометрии в целом и, в частности, связями между гео-
геометрией и топологией римановых многообразий, изложение же
построено на инвариантном исчислении Кошу ля. Первые три пара-
параграфа книги (а правильнее—три главы, так как параграфы очень
длинны) представляют современный учебник римановой геометрии,
не предполагающий предварительного знания предмета, их можно
рекомендовать начинающему геометру для ознакомления с языком
н методами, вошедшими в геометрию приблизительно с 1950 г. и,
следовательно, ставшими уже классическими. Надо отметить, что
в книге Клингенберга и соавторов „язык" развивается весьма
умеренно, но зато на этом языке раскрываются действительно
интересные вопросы. А именно, в конце книги доказываются два
фундаментальных результата, стоящих в центре развития рима-
римановой геометрии за последние годы — „теорема сравнения" Топо-
ногова и „теорема о сфере" Клингенберга.
При этом, как и во многих других случаях, выясняется заме-
замечательная связь всего наиболее содержательного в геометрии
с „интегрирующими" синтетическими методами —древними „эле-
„элементарными" и современными топологическими; здесь нетрудно
увидеть продолжение традиции, идущей от Эйлера и Коши и пред-
представленной в наше время работами А. Д. Александрова. Свое-
Своеобразную особенность книги составляют „замечания" в конце
каждого раздела. Задачи в узком смысле (которые читателю реко-
рекомендуется решить и на которые дальше имеются ссылки в тексте)
тщательно отделены при переводе от более трудных результатов,
а именно, эти последние снабжены либо ссылками на литературу,
либо словами „можно доказать".
При переводе исправлены некоторые мелкие погрешности,
а разделы 2.4, 2.5, 3.4 переработаны, причем переводчик восполь-
воспользовался неопубликованной работой, любезно предоставленной ему
А. И. Фетом.

Можно прочитать , можно скачать:

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ В ЦЕЛОМ
  
#5 | Анатолий »» | 05.05.2014 18:55
  
1
Риманова геометрия. Седьмой и восьмой семестр.
В.А. Шарафутдинов. Лекции по римановой геометрии



ГЛАВА I. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

В. А. Шарафутдинов

Топология на множестве это ꀨ минимальная структура, позволяющая определить
предел, непрерывность и другие, связанные с непрерывностью, понятия.
1. Определение топологического пространства


Можно прочитать, можно скачать:


ГЛАВА I. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
  
#6 | Анатолий »» | 06.05.2014 20:43
  
-1
Продолжение:

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
В. А. Шарафутдинов
Как отмечалось в начале первой главы, на топологическом пространстве возмож-
но рассмотрение непрерывных функций и других понятий, связанных с непрерывно-
стью. В Анализе, наряду с непрерывностью, изучаются производные, дифференциа-
лы и другие понятия, связанные с дифференцируемостью. Гладкое многообразие 睐
естественный объект, на котором можно определить подобные понятия.
1. Определение гладкого многообразия


Можно прочитать, можно скачать:

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
  
#7 | Анатолий »» | 07.05.2014 19:31
  
1
Продолжение:

ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА

В. А. Шарафутдинов

В этой главе, если не оговорено противное, многообразие означает многообразие
без края.
Марстон Морс первый обратил внимание на важные связи между топологией мно-
гообразия и критическими точками гладкой функции, определенной на этом много-
образии.
1. Пример функции Морса
В этом параграфе мы на простом примере обнаружим некоторые связи между
критическими точками гладкой действительной функции, определенной на многооб-
разии, и топологией этого многообразия. В остальных параграфах этой главы будет
показано, что эти связи имеют место и в общем случае.


можно посмотреть, можно скачать:

ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА
  
#8 | Анатолий »» | 08.05.2014 20:52
  
1
ГЛАВА IV. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

В. А. Шарафутдинов

1. Тензорная алгебра над конечномерным векторным пространством
Мы ограничимся рассмотрением векторного пространства над полем R действи-
тельных чисел, хотя все содержание настоящего параграфа дословно переносится на
случай векторного пространства над произвольным полем.


можно прочитать, можно скачать

ГЛАВА IV. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
  
#9 | Анатолий »» | 09.05.2014 19:58
  
1
ГЛАВА V. РИМАНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ

В. А. Шарафутдинов

1. Определение риманова многообразия.
Связность Леви-Чивиты
Напомним, что в §13 главы 2 мы уже ввели понятие римановой метрики на мно-
гообразии. Повторим его здесь в несколько иных терминах.

Можно прочитать, можно скачать:

ГЛАВА V. РИМАНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ
  
#10 | Анатолий »» | 10.05.2014 18:36
  
1
ГЛАВА VI. ВАРИАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

В. А. Шарафутдинов

Обратите внимание, что пока глава 3 (теория Морса) стоит особняком в нашем
курсе, главы 4 и 5 независимы от нее. В настоящей главе мы привлечем основные
идеи теории Морса к изучению пространства путей риманова многообразия.
Значение настоящей главы состоит также в том, что она в некоторой степени вос-
полняет пробел в математическом образовании, образовавшийся после исключения
вариационного исчисления из числа обязательных курсов, читаемых на математи-
ческом факультете. Принято считать, что этот курс стал частью функционального
анализа; хотя в реальности это утверждение далеко от истины. Правда, некоторые
важные понятия вариационного исчисления сохранились в курсе теоретической ме-
ханики (уравнения Эйлера – Лагранжа, канонические уравнения, гамильтонов фор-
мализм, вариационные принципы), но их общематематическое значение зачастую
недостаточно подчеркивается. Рассматриваемая в этой главе геометрическая вари-
ационная задача является образцом, на котором обычно отрабатываются гипотезы
и методы для других задач вариационного исчисления. Несомненно, что читатель,
ознакомившийся с настоящей главой, сможет затем без больших усилий освоить ва-
риационное исчисление, например, по великолепному учебнику [1].

1. Пространство путей гладкого многообразия


Можно прочитать, можно скачать:

ГЛАВА VI. ВАРИАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
  
#11 | Анатолий »» | 11.05.2014 18:59
  
1
Профессор В.А. Шарафутдинов 2012-2013

Программа курса

ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ТОПОЛОГИЮ
И РИМАНОВУ ГЕОМЕТРИЮ

Глава 1. Топологические пространства

Топология, топологическое пространство. Гомеоморфизм, сравнение топологий.
Открытые и замкнутые множества. Внутренность, замыкание и граница множества.
Непрерывные отображения.
Примеры топологических пространств. Дискретная топология. Метрические про-
странства, метризуемая топология. Подпространства топологического пространства,
индуцированная топология. Произведение топологических пространств. Фактор-прос-
транство. Шары, сферы, действительное и комплексное проективные пространства,
лист Мебиуса, бутылка Клейна.
Связные топологические пространства, связные множества в топологическом про-
странстве. Сохранение связности при непрерывном отображении. Связность объеди-
нения семейства связных множеств, имеющего непустое пересечение. Связная ком-
понента точки. Вполне несвязные пространства. Компоненты связности.
Хаусдорфовы пространства. Принцип продолжения тождеств, замкнутость графи-
ка непрерывного отображения. Нормальные пространства. Нормальность метриче-
ского пространства.
Компактность. Компактные топологические пространства и компактные множе-
ства в топологическом пространстве. Сохранение компактности при непрерывном
отображении. Связь компактных и замкнутых множеств. Теорема Тихонова (непре-
рывное биективное отображение компактного пространства на хаусдорфово есть го-
меоморфизм). Теорема Вейерштрасса. Компактность произведения. Нормальность
хаусдорфова компактного пространства. Ограниченность компактного множества
в метрическом пространстве. Компактные метрические пространства. Компактные
множества в евклидовом пространстве.
Гомотопия и гомотопическая эквивалентность. Стягиваемые пространства. Дефор-
мационный ретракт.
Склеивание топологических пространств по непрерывному отображению. Конеч-
ный клеточный комплекс, полиэдр, эйлерова характеристика полиэдра.
Гомотопические свойства клеточных комплексов. Инвариантность гомотопическо-
го типа клеточного комплекса по отношению к (а) изменению порядка приклеивания
клеток, (б) замены приклеивающего отображения на гомотопное ему, (в) замены про-
странства, к которому приклеивается клетка, на гомотопически ему эквивалентное.

Глава 2. Гладкие многообразия

Топологическое многообразие. Карты и атласы, дифференцируемая структура.
Гладкое многообразие. Гладкие отображения, диффеоморфизмы. Примеры гладких
многообразий: евклидово пространство, векторное пространство, сфера, проектив-
ные пространства, грассманово многообразие. Произведение многообразий.
1
2
Разбиение единицы. Определение разбиения единицы, подчиненного данному от-
крытому покрытию. Существование гладкой функции на Rn, равной единице на ша-
ре B1 и нулю вне шара B2. Вписанность покрытий, паракомпактные пространства.
Паракомпактность локально компактного хаусдорфова пространства, удовлетворя-
ющего второй аксиоме счетности. Существование разбиения единицы, подчиненного
данному открытому покрытию.
Касательный вектор, касательное пространство многообразия в точке. Лемма о
локализации. Координатный базис, координаты касательного вектора в локальной
системе координат, преобразование координат вектора при замене координат. Отож-
дествление касательного пространства к векторному пространству V с самим V .
Дифференциал гладкого отображения. Дифференциал композиции отображений (цеп-
ное правило). Представление дифференциала в координатном базисе, матрица Яко-
би. Касательное расслоение.
Векторные поля на многообразии. Векторное поле как сечение касательного рас-
слоения. Векторное поле как дифференцирование алгебры гладких функций. Алгеб-
раические операции над векторными полями, скобка Ли. Координатное представле-
ние векторного поля. Локальная однопараметрическая группа преобразований, по-
рожденная векторным полем. Полные векторные поля.
Классические версии теорем об обратной функции и о неявной функции. Теорема
об обратной функции для многообразий. Подмногообразия, погружения и вложе-
ния многообразий. Регулярные точки и регулярные значения гладкого отображения.
Малая теорема о неявной функции. Трансверсальность отображения к подмногооб-
разию, большая теорема о неявной функции.
Множества меры нуль в многообразии. Теорема Сарда.
Вложение многообразий в евклидово пространство. Вложимость компактного мно-
гообразия в евклидово пространство большой размерности. Вложимость компактно-
го n-мерного многообразие в евклидово пространство размерности 2n + 1 (слабая
теорема Уитни). Сильная теорема Уитни (без доказательства).
Многообразия с краем. Инвариантность края. Теорема о неявной функции для
многообразий с краем.
Невозможность ретракции компактного многообразия на его край. Теорема Брау-
эра о неподвижной точке.
Ориентация многообразия. Классификация одномерных и компактных двумерных
многообразий.

Глава 3. Теория Морса

Симметричные билинейные формы на конечномерном векторном пространстве,
нулевое пространство формы, степень вырождения и индекс формы. Невырожден-
ные критические точки гладкой функции. Гессиан функции в критической точке,
индекс критической точки, связь гессиана с матрицей вторых производных. Лемма
Морса. Изолированность невырожденных критических точек. Функции Морса.
Строение многообразия вдали от критических точек. Строение многообразия вбли-
зи критической точки. Теорема Морса. Равенство Морса. Неравенства Морса. Тео-
рема Риба. Существование функций Морса.

Глава 4. Введение в тензорный анализ

Тензорная алгебра над конечномерным векторным пространством. Сопряженное
пространство, каноническое спаривание. Тензоры валентности (r, s). Алгебраические
3
операции над тензорами, тензорное произведение и свертка. Координаты тензора,
правило преобразования координат тензора при замене базиса.
Гладкие тензорные поля валентности (r,s) на многообразии. Алгебраические опе-
рации на тензорных полях. Характеризация тензорных полей валентности (0,s) и
(1,s) как полилинейных отображений на F-модуле V. Векторные и ковекторные
поля, дифференциал функции как ковекторное поле. Координаты тензорного по-
ля относительно локальной системы координат, правило преобразования координат
тензорного поля при замене координат.
Связность на многообразии. Символы Кристоффеля, преобразование символов
Кристоффеля при замене координат. Ковариантная производная тензорного поля,
выражение в координатах.
Тензоры кручения и кривизны. Выражение координат тензоров кручения и кри-
визны через символы Кристоффеля. Формула коммутации для вторых ковариантных
производных.
Векторные поля вдоль параметризованной кривой. Абсолютная производная. Па-
раллельный перенос вдоль кривой.

Глава 5. Римановы многообразия

Римановы многообразия. Существование римановой метрики. Связь с внутренней
геометрией поверхности. Отождествление ко- и контравариантных тензоров с по-
мощью метрического тензора, поднятие и опускание индексов тензора. Изометрия
римановых многообразий.
Связность, совместная с метрикой. Правило дифференцирования скалярного про-
изведения. Связность Леви-Чивиты. Тензор кривизны риманова многообразия, сим-
метрии тензора кривизны. Секционная кривизна, тензор Риччи, скалярная кривизна.
Длина кривой, естественная параметризация кривой. Геодезические. Пропорцио-
нальность параметра на геодезической длине дуги. Дифференциальные уравнения
геодезических. Единственность и локальное существование геодезической, выходя-
щей из данной точки в данном направлении. Экспоненциальное отображение. Ло-
кальная диффеоморфность экспоненциального отображения в окрестности нулевого
вектора. Краевая задача для геодезических, единственность и локальное существо-
вание короткой геодезической, соединяющей две близкие точки.
Поля Якоби вдоль геодезической. Задача Коши для уравнения Якоби. Первый
интеграл уравнения Якоби: линейность скалярного произведения поля Якоби с век-
тором скорости.
Параметризованная поверхность в многообразии. Векторное поле вдоль парамет-
ризованной поверхности. Абсолютные частные производные векторного поля вдоль
поверхности, формула коммутации для них.
Геодезическая вариация геодезической. Связь геодезических вариаций с полями
Якоби. Выражение дифференциала экспоненциального отображения в терминах по-
лей Якоби. Лемма Гаусса.
Геодезические и кратчайшие. Геодезическая длины ≤ r, выходящая из p являет-
ся кратчайшей, если экспоненциальное отображение expp инъективно на шаре Br.
Каждая кратчайшая, параметризованная длиной дуги, является геодезической. До-
статочно малый отрезок геодезической является кратчайшей. Локальное существо-
вание и единственность кратчайшей, соединяющей две данные точки.
Геодезические в евклидовом пространстве, на круглом цилиндре и сфере.
Расстояние между точками риманова многообразия. Метрическая полнота и гео-
дезическая полнота. Лемма о существовании кратчайшей, соединяющей две данные
4
точки, в геодезически полном римановом многообразии. Эквивалентность метриче-
ской и геодезической полноты (теорема Ринова - Хопфа).

Глава 6. Вариационная теория геодезических

Пространство кусочно-гладких путей. Вариация пути, векторное поле вариации.
Сравнение функционалов длины и энергии на пространстве путей.
Формула первой вариации функционала энергии. Критические точки функциона-
ла энергии.
Гессиан функционала энергии. Формула второй вариации.
Сопряженные точки. Связь сопряженных точек с критическими точками экспо-
ненциального отображения. Существование в полном римановом многообразии пары
точек, не сопряженных ни вдоль какой геодезической.
Нулевое пространство гессиана. Гессиан вырожден тогда и только тогда, когда
концы геодезической сопряжены. Конечность степени вырождения гессиана.
Теорема об индексе. Пространство ломаных полей Якоби вдоль геодезической с
изломами в точках предписанного разбиения, ограничение гессиана на это простран-
ство.
Метрика на Ω(M;p,q). Конечномерная аппроксимация пространства путей Ωa, удо-
влетворяющих E(ω) ≤ a. Гладкая структура на многообразии ломаных геодезиче-
ских. Гомотопическая эквивалентность пространства путей и многообразия ломаных
геодезических. Конечномерная модель (Int Ωa(t0, t1, . . . , tk), E컸) бесконечномерной за-
дачи (Int Ωa, E).
Пространство Ωa(M;p,q) имеет гомотопический тип конечного клеточного ком-
плекса, число и размерность клеток которого определяются геодезическими из p в
q.
Бесконечные клеточные комплексы. Основная теорема теории Морса.
Отсутствие сопряженных точек в многообразии неположительной секционной кри-
визны. Теорема Адамара-Картана. Теорема Майерса.

Список литературы

[1] П.С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., “Наука”, 1977.
[2] Н. Бурбаки. Общая топология. Основные структуры. М., “Наука”, 1968.
[3] И.М. Гельфанд, С.В. Фомин. Вариационное исчисление. М., “Физматгиз”, 1961.
[4] Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. М., “Наука”, 1979.
[5] Дж. Келли. Общая топология. М., “Наука”, 1968.
[6] Дж. Милнор. Теория Морса. М., “Мир”, 1965.
[7] Дж. Милнор, А. Уоллес. Дифференциальная топология. Начальный курс. М., “Мир”, 1972.
[8] М.М. Постников. Введение в теорию Морса. М., “Наука”, 1971.
[9] П.К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., “Наука”, 1967.
[10] Ф. Уорнер. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М., “Мир”,
[11] М. Хирш. Дифференциальная топология. М., “Мир”, 1979.
[12] Л.П. Эйзенхарт. Риманова геометрия. М., “ИЛ”, 1948.
#12 | gridasov »» | 23.09.2014 00:11
  
1
Задаюсь вопросом :" Математики занимаются наукой ради науки или ради желания познать мир? "
Означу сразу проблему. Чтобы описать математическим методом динамику трансформации любого локального пространства нужно связать чисельные определения, как меру, выраженную всегда в совершено целых числах, дабы не совершать накопления ошибок . Геометрию, как построения взаимодействия векторов связующих мерные участки пространства. А главное присовокупить физику , которая обеспечит понимание процессов поляризации этого пространства , а точнее обеспечит его симметрии, зеркальные тождества и фрактальности.
Невозможно алгебраическими методами , которые определяют всегда только частные решения., методологически описать единовременность трансформации каждой точки анализируемого топологического пространства. Поэтому современные методы неспособны описать турбулизацию гидро газо динамического потока относительно не только поверхностей истечения , но и относительно своих же собственных энергетических образований , как струй и слоев.
Все рассуждения относительно динамики и построения Римановых поверхностей это рассуждения с бесконечным количеством вопросов. которые имеют значение , но которыми все время пренебрегают, загоняя анализ в рамки желаемого , а не реального.
  
#13 | Анатолий »» | 23.09.2014 15:25 | ответ на: #12 ( gridasov ) »»
  
1
В принципе с вами согласен.
Вообще, я где-то писал: Математика это одна их форм религии.
Правдо, это может быть мое глубокое заблуждение, но уж извините, какое есть.
Математика не в состоянии описать мир такой как он есть, это только слепок с мира. Но он так же мертв как и любая копия.
Добавлять комментарии могут только
зарегистрированные пользователи!
 
Имя или номер: Пароль:
Регистрация » Забыли пароль?
 
© decoder.ru 2003 - 2017, создание портала - Vinchi Group & MySites