Все комментарии

Аффинные преобразования. Рассмотренные выше линейные преобразования на комплексной плоскости являются частным случаем более общего аффинного преобразования плоскости [18, с. 49] где четыре числа (a, b, c, d) задают линейное преобразование при неизменном положении начала координат, а пара чисел (e, f) характеризует обычную трансляцию. Программирование здесь не сложное. Зато существенно расширяются возможности манипулирования параметрами, добиваясь самых разных причудливых ... читать далее »

В зависимости от длины r и угла наклона α образующих векторов получаем различные варианты шкуры дракона (рис. 14, рис. 15). Некоторые из них специально подобраны так, что имеют дробную размерность в точности равную числу золотого сечения D = Ф. Структурные формы естественно видоизменяются. Но чёткие границы-отличия "золотых" от "не золотых конструкций" отсутствуют. То есть в шкурах дракона явные признаки золотого сечения не наблюдаются. В том числе, с точки зрения ... читать далее »

Аналогичным образом простая шкура формируется двумя перпендикулярными векторами. Причем их месторасположение особого значения не имеет, поскольку приводит к одной и той же геометрической фигуре, только с разными размерами и ориентацией относительно начала координат. В то же время длины векторов очень важны Для угла α = 36o сжатие пропорционально Выбирая эти два преобразования случайным равновероятным образом методом случайных итераций, получим множество точек (рис. 12), ... читать далее »

Первое преобразование переводит ∆ AOC → ∆ ADO. Причем вершины треугольников переходят по правилу: A →A, O → D, C → O . Данная операция соответствует повороту ∆A OC вокруг начала координат (точки О) по часовой стрелке на угол α (ОС ложится на вещественную ось x), сжатию вдоль осей x и y в 2 a раза и трансляции на d влево. Второе преобразование переводит ∆ ACO → ∆ COE , причем вершины треугольников переходят по ... читать далее »

Фрактальная размерность контура D определяется из уравнения 2rD + (2r)D = 1 или 2(4cosα)−D + (2cosα)−D 1= (рис. 9). В частности, если угол α = 45o, соотношение эквивалентно кубическому уравнению x2(x −1) = 2 для величины x = 2D 2 с одним вещественным корнем Так, для "золотого" угла α = 36o фрактальная размерность составляет D ≈ 1,2610. Исходя из общих правил, изложенных, например, в работе [18, c. 46], система итерируемых ... читать далее »

Примечательно, что шестиугольник Серпинского (K = 6, r = 3), который имеет более отдаленное отношение к золотому сечению, чем правильный пятиугольник, тем не менее, обладает фрактальной размерностью D6 = ln6 ln3 ≈1,6309 , которая отличается от Ф только на 0,8 %. Во всяком случае, шестиугольник к ней более близок, чем «усеянный золотом пятиугольный фрактал» (в смысле наличия в нем множества проявлений золотого сечения): В тоже время в расчете фрактальной размерности D5 ... читать далее »

Понятно, что этим процесс преобразований не заканчивается. Всё дело в проявлении смекалки и лёгкой фантазии, совмещённой с простыми знаниями на кратность углов поворота и др. (рис. 5, рис. 6). Многоугольники (снежинки) Серпинского. Совокупность векторов на комплексной плоскости, задающих систему итерируемых функций (СИФ) для данного фрактала, описывается соотношением [18, с. 42] один из способов задания комплексных координат вершин равностороннего K-угольника на описанной ... читать далее »

Построив основную кривую z1, n по формуле (1), её можно объединить (совместить) с подобной себе линией со сдвигом и/или поворотом, получая разнообразные причудливые формы (рис. 3, рис. 4). В данном случае хорошо реализуются фрактальные конструкции в виде пятиконечной звёзды или снежинки. читать далее »

Кривая Коха с изменяющимся углом. Кривая (снежинка) Коха хорошо известна [12, с. 17–19] и в своем роде уникальна. Она обладает вертикальной осью симметрии. Свободно умещаясь на небольшом листе бумаги, имеет в пределе бесконечную длину! Везде непрерывна. Но нигде к ней нельзя провести касательную. Развивая представления классических фракталов [18, с. 43] можно организовать кривую Коха с изменяющимся углом (рис. 1). Система итерированных функций [12, с. 96–126] имеет четыре преобразования 4,1=j ... читать далее »

Исходные предпосылки. Фрактальный принцип позволяет воссоздать всё целое по его доступной части за счёт постоянно сохраняющейся пропорциональности. Например, сегмент круга "помнит" свой растр независимо от изменения диаметра окружности. Одновременно он содержит информацию, достаточную для восстановления всей окружности заданного радиуса. В этом контексте число золотого сечения тоже уникально. Свойство части отражать целое довольно наглядно проявляется в виде «геометрически самоподобной непрерывной дроби для ... читать далее »

Меньшую погрешность, например, дают такие "с ходу" синтезированные формулы: Несмотря на их визуальную красоту, проку от них всё одно мало. Довольно отчетливо прослеживается условно генетическая связь «треугольники – матрёшки – фракталы – золотое сечение» [13], которая может стать прообразом развития новых идей. Довольно отчетливо прослеживается условно генетическая связь «треугольники – матрёшки – фракталы – золотое сечение» [13], которая может стать прообразом развития новых идей. Во всяком случае, ... читать далее »

С.Л. Василенко Золотое сечение в классических фракталах Золотая пуля не обязательно летит в цель Рассматривая разнообразные фракталы, возникает интуитивное ощущение их красоты и похожести на экзотические природные объекты либо картинки виртуальных миров. Подобные чувства рождаются и при исследовании разных предметов, в которых присутствуют стройные пропорции. Фракталы впервые и наиболее полно описаны в книге Бенуа Мандельброта (1924–2010) «The Fractal Geometry of Nature» (1977) [1]. В математическом ... читать далее »

Фракталы в природе Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки ... читать далее »

Программа для работы и построения фракталов Проверил программу. Довольно красиво и интересно рисует фрактальные изображения. Очень много возможностей. программа бесплатная! Не требует уж таких больших ресурсов памяти и скорости процессора. Очень советую попробовать! При таких возможностях не требует больших умственных способностей )) (ну немного надо поработать мозгами, желательно знать английский) Incendia. Скачать: читать далее »

ДЕРЕВО ФЕЙГЕНБАУМА И МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА Рис 3. Если вы когда-либо видели формулу множетсва Мандельброта z=z2 + x, вы могли бы заметить схожесть между этой формулой и самой простой из формул для построения дерева Фейгенбаума x2 – r. И это действительно так. Сходство существует. Но фейгенбаумово дерево растет в другую сторону. Измените формулу Фейгенбаума на x2 + r и вы увидите сходство. Что касается множества Мандельброта, вам нужно смотреть вдоль горизонтальной оси, так как это единственная позиция в ... читать далее »

ГЕНЕРАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ Рис 2. Посмотрите на распределение точек где-нибудь на правом краю дерева Фейгенбаума (Свойства -> Интервал -> Отрезок Псевдохаоса в программе Lt Bifurcator) Видите, они кажутся очень случайными. Так что кажется вполне оправданной идея использования этого для генерации случайных чисел. Все что для этого может потребоваться — это запустить формулу x = (1 + r)x – rx2 или какую-либо ей подобную и использовать последнее вычисленное значение каждый раз, когда требуется случайное ... читать далее »

АТТРАКТОР И КОНСТАНТА ФЕЙГЕНБАУМА АТТРАКТОР ФЕЙГЕНБАУМА В отличие от константы Фейгенбаума, это число не является универсальным. Значение этого аттрактора зависит от того, какая используется формула. Для формулы, используемой в Lt Bifurcator x = (1 + r)x – rxІ графически можно найти значение приблизительно равное 2.56. Число представляет значение параметра, при котором график первый раз проходит бесконечное количество бифуркаций. Это означает, что аттрактор Фейгенбаума — это хаотический аттрактор, т.к. ... читать далее »

ПОЧЕМУ СИСТЕМА СТАНОВИТСЯ НЕПРЕДСКАЗУЕМОЙ? Объяснение этому явлению дать не просто. Для каждой точки параметра r (по оси абсцисс), для функции x возможны следующие варианты. У функции могут быть: периодическая орбита, т.е. она периодически принимает одно или несколько значений, что происходит с фракталом, приведенным здесь в качестве иллюстрации на сегменте 0 < r < 2.57 хаотическая орбита, т.е. она принимает такое большое количество различных значений при итерационном процессе, что невозможно найти ... читать далее »

БИФУРКАЦИИ В МОДЕЛЯХ ПОПУЛЯЦИЙ Чудо фрактальной геометрии заключается в том, что чрезвычайно сложные формы могут получаться из таких простых процессов генерирования. Еще один сюрприз преподносит нам учение о динамических системах: такие простые, детерминированные уравнения могут порождать такое хаотическое поведение, при котором система никогда не возвращается в стабильное состояние и не проявляется никакой закономерности. Часто такие системы ведут себя вполне нормально до некоторого определенного ... читать далее »

МНОЖЕСТВО ЖУЛИА Удивительно, но множества Жулиа образуются по той же самой формуле, что и множество Мандельброта. Множество Жулиа было изобретено французским математиком Гастоном Жулиа, по имени которого и было названо множество. Первый вопрос, возникающий после визуального знакомства с множествами Мандельброта и Жулиа это “если оба фрактала сгенерированы по одной формуле, почему они такие разные?” Сначала посмотрите на картинки множества Жулиа. Достаточно странно, но существуют разные типы множеств Жулиа. ... читать далее »

МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА Множества Мандельброта и Жулиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой ... читать далее »

Кто больше любит, тот сильнее стремится к Богу, тот ближе будет к Нему. Каждый будет прославлен в меру любви своей. И я узнал, что любовь бывает разная по силе своей. Кто боится Бога, чтобы Его чем-нибудь не оскорбить – это первая любовь. Кто имеет ум чистый от помыслов – это вторая любовь, большая первой. Кто ощутимо имеет благодать в душе своей – это третья любовь, еще большая. Четвертая, совершенная любовь к Богу – это когда имеет благодать Святого Духа и в душе и в теле. У того освящается тело, и ... читать далее »

СЛОЖНЫЕ ФРАКТАЛЫ Большая часть встречающихся сегодня фракталов не являются детерминированными. Они не линейны и не собранны из повторяющихся геометрических форм. Такие фракталы называются сложными. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА Фактически, если вы увеличите маленькую область любого сложного фрактала а затем проделаете то же самое с маленькой областью этой области, то эти два увеличения будут значительно отличаться друг от друга. Два изображения будут очень похожи в деталях, но они не будут полностью ... читать далее »

ИНТЕГРАЦИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ФРАКТАЛОВ И ХАОС Из рассмотренных примеров детерминистских фракталов можно увидеть, что они не проявляют никакого хаотического поведения и что они на самом деле очень даже предсказуемы. Как известно, теория хаоса использует фрактал для того, чтобы воссоздать или найти закономерности с целью предсказания поведения многих систем в природе, таких как, например, проблема миграции птиц. Теперь давайте посмотрим, как это в действительности происходит. Используя фрактал, называемый ... читать далее »

ДВИЖЕНИЕ БИЛЛИАРДНОГО ШАРИКА Любой, кто когда либо брал в руки кий для бильярда, знает, что ключ к игре — точность. Малейшая ошибка в угле начального удара может быстро привести к огромной ошибке в положении шарика всего после нескольких столкновений. Эта чувствительность к начальным условиям называемая хаосом возникает непреодолимым барьером для любого, кто надеется предсказать или управлять траекторией движения шарика больше чем после шести или семи столкновений. И не стоит думать, что проблема ... читать далее »

Ум и сердце Прежде всего следует сказать, что в церковной традиции проводится четкое различие между умом и разумной способностью души. Когда ум действует по природе, он пребывает в сердце, где он и должен находиться. Из-за грехопадения ум, вместо того чтобы быть в сердце, рассеивается вовне и порабощается тварным вещам. Кроме того, в этом и заключается грехопадение и действительно называется грехом. Исихазм, православный аскетизм - это богословское движение, с помощью которого ум пытается вернуться в ... читать далее »

Аскетический путь. Григорий Палама и другие святые отцы показывают не только цель духовной жизни, но и пути ее достижения. И в этом проявляется их любовь к человеку. Единственным способом, который ведет к обожению и видению нетварного света, является христианское подвижничество во Христе. Кто отвергает этот путь, никогда не сможет достичь цели, ради которой он был сотворен. Печальная и даже трагическая реальность нашего времени заключается в том, что многие люди говорят об обожении человека, об обожении ... читать далее »

Цель обожения в христианской жизни. Человек был сотворен по образ и подобию Божию. По учению святых отцов, подобие равнозначно обожению человека. Следовательно, цель человеческой жизни заключается в обожении. Однако в учении Григория Паламы обожение - это не абстрактное состояние, это не интеллектуальное развитие мыслей и воображения, не нравственная жизнь, а видение нетварного света. Когда человек обретает видение нетварного света во Христе, он обоживается. Видение нетварного света - это "единение и ... читать далее »

БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ Рис 2. Частотная диаграмма Броуновское движение — это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий с наибольшее практическое использование. Случайное Броуновское движение производит частотную диаграмму, которая может быть использована для предсказания вещей, включающих большие количества данных и статистики. Хорошим примером являются цены на шерсть, которые ... читать далее »

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ХАОСА В РЕАЛЬНОМ МИРЕ При появлении новых теорий, все хотят узнать что же в них хорошего. Итак что хорошего в теории хаоса? Первое и самое важное — теория хаоса — это теория. А значит, что большая ее часть используется больше как научная основа, нежели как непосредственно применимое знание. Теория хаоса является очень хорошим средством взглянуть на события, происходящие в мире отлично от более традиционного четко детерминистического взгляда, который доминировал в науке со времен ... читать далее »